第 3章 工程状态分析 (Ⅰ )
Working Process Analysis(Ⅰ )
先回顾一下传输线方程的求解
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00
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1
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L
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LC
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C
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ll
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始端条件
二次特征量
终端条件
电位长度电容—
单位长度电感—
一次特征量
，，已知电源阻抗条件
，已知始端条件
，已知终端条件
的边界条件，确定
传输线支配方程
上面这张表反映了微分方程的典型解法：即支
配方程加边界条件 。 支配方程求出通解 (或普遍解 )
,它已孕育着本征模 (Eigen Modes)的思想 。 凡是受
这一支配方程统率的物理规律有这些解, 而且这只
有这些解 。 例如
(3-1) )()()( zUzUzU ?? ??
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zjzj
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0
1
1
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任何传输线上的电压函数只可能是入射波和反射波的
迭加 (构成 Standing Wave)。 不同传输线的区别仅仅
在于入射波和反射波的成分不同 。 换句话说, 通解是
完备的, 我们不需要再去找, 也不可能再找到其它解 。
边界条件确定 A1和 A2。 边界条件的求取过程中,
也孕育着一种思想, 即网络思想 (Network Idea),已
知输入求输出；或已知输出求输入 。
特别需要指出：本征模思想和网络思想是贯穿本
课程最重要的两种方法。
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
反映传输线任以何一点特性的参量是反射系数 Γ
和阻抗 Z。
Z lU l
IlI`z
0z
U` z 图 3-1
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101
'
101
21
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Z
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zjzj
zjzj
zjzj
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1,反射系数 Γ
传输线上的电压和电流可表示为
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
（ 3-2）
)0'(
)0'()0'(
)0'(/)0'()0'(
)0'(/)0'()0'(
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一率采用电压反射系数
负载电流反射系数
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的电压反射系数任意出
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)]'(1)['()'(
)]'(1)['()'(
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一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
［ 性质 ］ ·反射系数的模是无耗传输线系统的不变量
(3-3)
·反射系数呈周期性
(3-4)
这一性质的深层原因是传输线的波动性, 也称为二
分之一波长的重复性 。
(3-5)
入射波电压与入射波电流之比始终是不变量 Z0,反
射波电压与反射波电流之比又是不变量 — Z0
|||)'(| lz ???
)'()2/'( zgmz ???? ?
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???
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0
0
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)'(/)'(
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ZzIzU
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
2,阻抗 Z
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负载阻抗
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'
zIzUzZ
Z
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出输入阻抗任意
ll
ll
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IzjZUz
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zU
'c o s's i n21
's i n'c o s
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)'( 0
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'ta n
'ta n)'(
0
00 zjZZ zjZZZzZ
l
l ?????输入阻抗与负载阻抗关系
［性质］ ·负载阻抗 Zl通过传输线段 变换成 ( )，因
此传输线对于阻抗有变换器 (Transformer)的作用。
'z 'z
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
阻抗有周期特性,周期是
3,反射系数与阻抗的关系
'tan z? ?
)'()2/'( zZmzZ g ?? ?
0
0
0
0
0
0
1
1
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)'(
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)'(1
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ZZ
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情况任意
情况任意
(3-6)
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
如果负载 或无限长传输线, 这时0ZZl ?
0
0
0 ?
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ZZ
ZZ
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zjzj
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0
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1
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)(
2
1
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二、传输线的行波状态
(3-7)
无反射波，我们称之为行波状态或匹配 (Matching)。
根据源条件
(3-8)
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???
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)c o s (||),(
)c o s (||),(
00
00
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ztUtzu
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0)( ZzZ ?
写成瞬态形式
0?),(),( tzitzu 和0?
0Z
表示为初相角,初相均为 是因
为 是实数。
(3-9)
(3-10)
二、传输线的行波状态
1 2 3
0 z
u (z)
图 3-2 行波状态①,②,③0?t? 4/?? ?t 2/?? ?t
二、传输线的行波状态
三、传输线的驻波状态
我们把反射系数模等于 1的全反射情况称为驻波状态 。
【 定理 】 传输线全反射的条件是负载接纯电抗, 即
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0
0
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ZZ
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，则证得计及 004
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1
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XZR
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ll
ll
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因为
设
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(3-11)
1,短路状态 10 ???? llZ,
???? ?????? lllll UUUU,此条件说明1/
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'c o s2)'(
's i n2)'(
''''
''''
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电压节点
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电流腹点
电压节点
(3-12)
电压、电流呈驻波分布
三、传输线的驻波状态
2.开路线 1????
llZ,
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's i n2)'(
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电流腹点
电压节点
||2|)'(|
0|)'(|
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llzI
zU
电流腹点
电压节点
经过观察,可以把开路线看成是短路线移动而成4/g?
三、传输线的驻波状态
z 0
0
0
0
z
z
z
I
I
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u,
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U
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图 3-3
三、传输线的驻波状态
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~
2)"(
"s i n
~
2)"(
's i n2)'('c o s2)'(
'c o s2)'('s i n2)'(
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l
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ll
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开路状态短路状态
作变换,即可由开路线转
化成短路线。
?? ??? ll UjUgzz ~4/'",?
三、传输线的驻波状态
不少教材疏忽了 的条件，严格地说，长度
( )移动条件只对 和阻抗有效，相位是不
等价的。
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"z || ?lU
"t an)"(
't an)'('t an)'(
0
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zcjZzZzjZzZ
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三、传输线的驻波状态
3,任意电抗负载 lj
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't an
't an
't an
't an
't an
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0
0
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我们写出一般情况下的阻抗公式
假设
或者
zZX l ?? ?t an
0
三、传输线的驻波状态
)'(t a n)'( 0 zzjZzZ ?? ??
zzz ??? '"
z?
可得 (3-15)
式 (3-13)是广义的阻抗等效长度公式, 可以写出
(3-16)
对于, 明显有 电抗等效长度可正
可负 。 Xl为感性时, 为正； Xl为容性时, 为负, 见
图 (3-5)所示 。
考虑到传输线的波动性 —— 重复性。因此
正、负并非绝对，严格地说，应该是 min | | 的正
负性。
??1x 4/gz ???
z?
2/g? z?
z?
三、传输线的驻波状态
z 0
z
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U
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0
z
Z
z
0
0
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图 3-4
三、传输线的驻波状态
［ 附注 ］ 对于等效长度问题, 我们也可以
采用反射系数相位 来加以研究
以 短路状态为标准
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'2
'2
0 1
1)'(
zj
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zj
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'2
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(3-17)
三、传输线的驻波状态
U
U UII
I
0 0
jx l
z 为 正
jx l
z 为 负
图 3-5
三、传输线的驻波状态
再考虑 的一般情况ljl e ???
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)'2(
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???
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???
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44
1
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(3-18)
相位因子又重新整理成
于是比较可知
(3-19)
(3-20)
三、传输线的驻波状态
0
0
0
0
1
1
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Z
X
j
Z
X
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ZZ
ZZ
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0
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2 Z
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l ?
??
计及
(3-21)
(3-22)
(3-23)
与前面的结论完全相同。
三、传输线的驻波状态
PROBLEMS 3
一, 均匀平面波入射到半无界 的介质平
面, 形成反射和透射, 其中入射波
? ?r r? ?4 1,
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E E a e
H H a e
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jk z
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jk z
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0
0
0
0
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试写出空气区域的合成场和介质区域的透射场表
示式 。
x
y
z
H i
H t
H r
S i
S t
S r
E i
E t
E r
空气区
介值区
Working Process Analysis(Ⅰ )
先回顾一下传输线方程的求解
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终端条件
电位长度电容—
单位长度电感—
一次特征量
，，已知电源阻抗条件
，已知始端条件
，已知终端条件
的边界条件，确定
传输线支配方程
上面这张表反映了微分方程的典型解法：即支
配方程加边界条件 。 支配方程求出通解 (或普遍解 )
,它已孕育着本征模 (Eigen Modes)的思想 。 凡是受
这一支配方程统率的物理规律有这些解, 而且这只
有这些解 。 例如
(3-1) )()()( zUzUzU ?? ??
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任何传输线上的电压函数只可能是入射波和反射波的
迭加 (构成 Standing Wave)。 不同传输线的区别仅仅
在于入射波和反射波的成分不同 。 换句话说, 通解是
完备的, 我们不需要再去找, 也不可能再找到其它解 。
边界条件确定 A1和 A2。 边界条件的求取过程中,
也孕育着一种思想, 即网络思想 (Network Idea),已
知输入求输出；或已知输出求输入 。
特别需要指出：本征模思想和网络思想是贯穿本
课程最重要的两种方法。
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
反映传输线任以何一点特性的参量是反射系数 Γ
和阻抗 Z。
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U` z 图 3-1
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1,反射系数 Γ
传输线上的电压和电流可表示为
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
（ 3-2）
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一率采用电压反射系数
负载电流反射系数
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)]'(1)['()'(
)]'(1)['()'(
zzIzI
zzUzU
???
???
?
?
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
［ 性质 ］ ·反射系数的模是无耗传输线系统的不变量
(3-3)
·反射系数呈周期性
(3-4)
这一性质的深层原因是传输线的波动性, 也称为二
分之一波长的重复性 。
(3-5)
入射波电压与入射波电流之比始终是不变量 Z0,反
射波电压与反射波电流之比又是不变量 — Z0
|||)'(| lz ???
)'()2/'( zgmz ???? ?
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一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
2,阻抗 Z
lll IUZ /?
负载阻抗
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'
zIzUzZ
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出输入阻抗任意
ll
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IzUzj
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's i n'c o s
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'ta n)'(
0
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l
l ?????输入阻抗与负载阻抗关系
［性质］ ·负载阻抗 Zl通过传输线段 变换成 ( )，因
此传输线对于阻抗有变换器 (Transformer)的作用。
'z 'z
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
阻抗有周期特性,周期是
3,反射系数与阻抗的关系
'tan z? ?
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情况任意
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(3-6)
一、传输线的反射系数 和阻抗? Z
如果负载 或无限长传输线, 这时0ZZl ?
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二、传输线的行波状态
(3-7)
无反射波，我们称之为行波状态或匹配 (Matching)。
根据源条件
(3-8)
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)c o s (||),(
)c o s (||),(
00
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ztItzi
ztUtzu
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写成瞬态形式
0?),(),( tzitzu 和0?
0Z
表示为初相角,初相均为 是因
为 是实数。
(3-9)
(3-10)
二、传输线的行波状态
1 2 3
0 z
u (z)
图 3-2 行波状态①,②,③0?t? 4/?? ?t 2/?? ?t
二、传输线的行波状态
三、传输线的驻波状态
我们把反射系数模等于 1的全反射情况称为驻波状态 。
【 定理 】 传输线全反射的条件是负载接纯电抗, 即
ll jXZ ?
0
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XZR
XZR
l
llllll
ll
ll
l
因为
设
lll jXZR ?? 或0
(3-11)
1,短路状态 10 ???? llZ,
???? ?????? lllll UUUU,此条件说明1/
??
???
?????
?????
???????
???????
'c o s2)'(
's i n2)'(
''''
''''
zIeIeIeIeIzI
zUjeUeUeUeUzU
l
zj
l
zj
l
zj
l
zj
l
l
zj
l
zj
l
zj
l
zj
l
?
?
????
????
't a n)'(/)'()'( 0 zjZzIzUzZ ???
2/'' gmzmz ??? ??? 4/)12('2/)12(' gmzmz ??? ????
||2|)'(|
0|)'(|
??
?
lIzI
zU
电流腹点
电压节点
0|)'(|
||2|)'(|
?
? ?
zI
UzU l
电流腹点
电压节点
(3-12)
电压、电流呈驻波分布
三、传输线的驻波状态
2.开路线 1????
llZ,
)133('t a n)'(
's i n2)'(
'c o s2)'(
1/
0 ???
??
?
?
?
?
?
????
?
?
????
zcjZzZ
zIjzI
zUzU
UUUU
l
l
lllll
?
?
?
2/'' gmzmz ??? ??? 4/)12('2/)12(' gmzmz ??? ????
0|)'(|
||2|)'(|
?
? ?
zI
UzU l
电流腹点
电压节点
||2|)'(|
0|)'(|
??
?
llzI
zU
电流腹点
电压节点
经过观察,可以把开路线看成是短路线移动而成4/g?
三、传输线的驻波状态
z 0
0
0
0
z
z
z
I
I
?
u,
?
x
3 ?? 2
?
?? ?
?
?
x
u
E i
S i
H i
S r
E r
H r
??
U
U
Z
图 3-3
三、传输线的驻波状态
"s i n
~
2)"(
"s i n
~
2)"(
's i n2)'('c o s2)'(
'c o s2)'('s i n2)'(
zIzI
zUjzU
zIjzIzIzI
zUzUzUjzU
l
l
ll
ll
?
?
??
??
?
?
??
??
?
?
??
??
开路状态短路状态
作变换,即可由开路线转
化成短路线。
?? ??? ll UjUgzz ~4/'",?
三、传输线的驻波状态
不少教材疏忽了 的条件，严格地说，长度
( )移动条件只对 和阻抗有效，相位是不
等价的。
?? ? ll UjU ~
"z || ?lU
"t an)"(
't an)'('t an)'(
0
00
zjZzZ
zcjZzZzjZzZ
?
??
?
???
三、传输线的驻波状态
3,任意电抗负载 lj
lll ejXZ ????,
't an1
't an
't an
't an
't an
't an
)'(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
z
Z
X
z
Z
X
jZ
zXZ
zZX
Z
zjZZ
zjZZ
ZzZ
l
l
l
l
l
l
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zZX l ????
?
?
???
?? ?
0
1t an (3-14)
我们写出一般情况下的阻抗公式
假设
或者
zZX l ?? ?t an
0
三、传输线的驻波状态
)'(t a n)'( 0 zzjZzZ ?? ??
zzz ??? '"
z?
可得 (3-15)
式 (3-13)是广义的阻抗等效长度公式, 可以写出
(3-16)
对于, 明显有 电抗等效长度可正
可负 。 Xl为感性时, 为正； Xl为容性时, 为负, 见
图 (3-5)所示 。
考虑到传输线的波动性 —— 重复性。因此
正、负并非绝对，严格地说，应该是 min | | 的正
负性。
??1x 4/gz ???
z?
2/g? z?
z?
三、传输线的驻波状态
z 0
z
z
U
U
I
I
E i
S i
H i
S r
E r
H r
??
0
z
Z
z
0
0
,
?
=0
图 3-4
三、传输线的驻波状态
［ 附注 ］ 对于等效长度问题, 我们也可以
采用反射系数相位 来加以研究
以 短路状态为标准
l?
'2
'2
0 1
1)'(
zj
l
zj
l
e
eZzZ
?
?
?
?
??
???
'2
'2
0 1
1)'(
zj
zj
e
eZzZ
?
?
?
?
?
??
(3-17)
三、传输线的驻波状态
U
U UII
I
0 0
jx l
z 为 正
jx l
z 为 负
图 3-5
三、传输线的驻波状态
再考虑 的一般情况ljl e ???
)'2(
)'2(
0 1
1)'(
???
???
???
???
?
??
l
l
zj
zj
e
eZzZ
?????? ?? lggz ????? 44'2
?
?
?
??
?
?
???
???
l
l
g
gz
gg
zz
?
?
?
?
?
?
??
44
1
44
'"
(3-18)
相位因子又重新整理成
于是比较可知
(3-19)
(3-20)
三、传输线的驻波状态
0
0
0
0
1
1
)(
Z
X
j
Z
X
j
ZZ
ZZ
l
l
l
l
l
?
?
??
?
?
??
???
?
???
??? ?
0
11t an2
Z
X
l ??
???
?
???
?? ?
0
11t an
2 Z
Xg
l ?
??
计及
(3-21)
(3-22)
(3-23)
与前面的结论完全相同。
三、传输线的驻波状态
PROBLEMS 3
一, 均匀平面波入射到半无界 的介质平
面, 形成反射和透射, 其中入射波
? ?r r? ?4 1,
?
?
E E a e
H H a e
i x
jk z
i y
jk z
?
?
?
?
0
0
0
0
?
?
试写出空气区域的合成场和介质区域的透射场表
示式 。
x
y
z
H i
H t
H r
S i
S t
S r
E i
E t
E r
空气区
介值区
