1
高斯定理
2
为形象描绘静电场而引入的一组空间曲线。
1.电力线规定
?方向,电力线上某点的切线
方向为该点的场强方向。
?大小,通过电场中某点垂直于场强的单位面积的电力
线根数等于该点电场强度的大小。
?
? dSdE ?
A B
AE
?
BE
?
E?
?dS
?d
一、电力线
电力线稀疏的地方场强小，
用矢量一点一点表示场强的缺点：
1）只能表示有限个点场强； 2）场中箭头零乱。
电力线密集的地方场强大。
3
2.电力线形状
正电荷 负电荷
一对等量异号电
荷的电力线
一对异号不等量点
电荷的电力线
一对等量正点电荷的电力线
4
带电平行板电容器的电场
++ ++++ +++
3.电力线的性质
1.电力线始于正电荷 （或
,?”远）,终止于负电
荷 （或,?”远）,不会
在无电荷处中断,电力线
为非闭合曲线 。
2.在没有电荷处同一电场
两条电力线不能相交。 1E?
2E
?
?3.电力线密处场强大，电力线疏处场强小。
4.沿电力线方向为电势降低的方向。
A B
AE
?
BE
?
电力线
作用：
说明场强的方向；
说明电场的强弱；
说明电场的整体分布。
5
E?
dS
?
?dS
ne
?
?
1.穿过面元 dS电通量 ?d
定义,通过任一曲面的电力线的条数
称为通过这一面元的 电通量 。
?c o s)c o s ( dSeEdSdS n ?? ?? ??
dS
?dS
面元在垂直于场强方
向的投影是,
?dS
所以通过它的电通量等于面元 的电通量,
定义,面元矢量
nedSSd
?? ?
大小等于面元的面积，方向取其法线方向。
因此电通量,?? E d Sd ? ?c o sE d S? SdE ?? ??
为面元法线方向
单位矢量。ne
?
二、电通量
?d
6
2.穿过任意曲面的电通量 ?
??? S d ?? ??
?? S SdE ??
??? S E dS ?c os
3.穿过闭合曲面的电通量 ?
规定,取闭合面 外 法线方向为正向。
电力线穿出闭合面为正通量，
电力线穿入闭合面为负通量。
SdES ?? ?? ???
S
E??d
dS
?
?
ne
?
ne
?
E?
E?2
?? ?
2
?? ?
dS有两个法线方向,dφ可
正可负。
7
定理表述,真空中穿过静电场任一闭合曲面的电通量，
等于包围在该面内的所有电荷代数和 除以 ?0 。与面
外电荷无关。
0?
?
?
?? ???
内
q
SdE
S
??
高斯定理可用库仑定律和叠加原理证明。（略）
1.以点电荷位于半径为 R的闭合球
面中心为例,Rq
E?
ne
?
高斯面
穿过球面的电通量
?? ?? S SdE ??? ??? ?c o sE d S
左边
球面上各点 E大小相等，
1co s,// ??SdE ??
三、高斯定理
8
右边
0?
?? q
0?
q?
左边 =右边
2.点电荷位于闭合面外
推广：任意闭合曲面内有多个电荷都成立。
E?
左边
?? ?? S SdE ???
穿入与穿出的电力线根数相同，正
负通量抵消。
0?
??? S dSE? 24 RE ??
2
2
0
44 1 RRq ????
0?
q?
右边
0?
?? q
由于闭合面内无电荷。电力线不会在闭合面内断开，
0? 左边 =右边
9
3.点电荷系,设有 1,2,···,k 个电荷在闭合面内，
k+1,k+2,···,n 个电荷在闭合面外。
由场叠加原理，高斯面上的场强为：
nkk EEEEE
??????? ??????
? 11
面内电荷 面外电荷
?? ?? S SdE ??? ?? ??????? ?S nkk SdEEEE ??????? )( 11
00
00
1 ?????? ??
??
kqq
0
1
?
i
k
i
q?
? ?
???? ????? S nS k SdESdE ????? 1 ?????? ???? S kS SdESdE ????? 1
0?
? ??? ????
q
SdE
S
?? ?
q 是指面内电荷代数和
10
1.高斯面为闭合面。
2,式中的电场强度 为高斯面上某点的场强，是由空间
所有电荷产生的，与面内面外电荷都有关。
3.电通量 ? 只与面内电荷有关，与面外电荷无关。
4,? = 0不一定面内无电荷，有可能面内电荷等量异号。
5,?=0，不一定高斯面上各点的场强为 0。
明确几点：
0?
?
?? ?? 内
q
SdE
S
??
高斯定理为我们提供了求场强的另一种方法。但利用
高斯定理求场强要求电荷的分布具有一定的对称性。
6,高斯定理反映了静电场的基本性质 — 静电场是有源场
四、高斯定理的应用
11
3.高斯面上所有各点的场强大小相等，方向与高斯面法
线方向一致；
或 高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方
向垂直，该部分的通量为零。而另一部分各点的场强
大小相等，方向与高斯面法线方向一致。
解题步骤
1.场对称性分析，
2.选取高斯面，
3.确定面内电荷代数和，
4.应用定理列方程求解。
2.高斯面应选取规则形状。
如何取高斯面？1.高斯面要经过所研究的场点。
?? S E dS ?c o s 0?
?? q
目的是将 E从积分号中提出来。
利用高斯定理求场强的关健：根据电荷分布的对称性，
选取合适的高斯面 。
12
o
Rq
例 1,半径 R、带电量为 q 的均匀带电球体，计算球体
内、外的电场强度。
1.球体外部 r > R
作半径为 r 的球面；
面内电荷代数和为 ? ? qq
r
高斯面
ne
?
E?
球面上各点的场强 E 大小相等，方向与法线同向。
,// SdE ??
1co s ??
解,场源的对称性决定着场强分布的对称性。
它具有与场源同心的球对称
性,故选同心球面为高斯面。 场
强的方向沿着径向，且在球面上
的场强处处相等。
13
2.球体内部 r < R
作半径为 r 的球面；
面内电荷代数和为
? ?? 3
3 3
4
3
4
r
R
q
Vq ?
?
?
q
R
r
3
3
?
2
04
1
r
qE
??
?
与电荷 q全部集中在中心的场的分布相同（ r>R）。
2
1
r?
0
c os
?
? ??? ?
q
E dS
S
,
0?
??? ? qdSE
S 0
24
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? qrE ?o R
q
r
高斯面
ne
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14
0
c o s
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R
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1
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,// SdE ??
1c o s ??
球面上各点的场强 E 大小相等，
方向与法线相同。
o R
q
r
高斯面
n
E
o R
q
R
E
o r
2
04
1
R
q
??
15
例 2,无限长带电直线，线电荷密度为 ?，计算电场强
度 E 。
解,作半径为 r高为 h的闭合圆柱面，
h
?hq ??? r
??? S E dS ?? c o s
右底侧左底 ???? ???
0?? 右底左底 ??
,SdE ??? ? 0c o s ??
0?
?? q
ne
?E?
???? 侧侧 ??? c o sE d S
侧面上各点的场强 E 大小相
等，方向与法线相同。
??? 侧 dSE? rhE ?2?
0?
?? q
r
E
02??
???
0?
?h?
16
例 3,无限大带电平面，面电荷密度为 ?，求平面附近
某点的电场强度。
r
?
解：
Sq ???
??? S E dS ?? c o s
右底侧左底 ???? ???
0?
?? q
0?侧?,SdE ??? ? 0c o s ??
S
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右底左底 ??? ??
ES?
ES2?
0?
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q
?
0
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02 ?
??? E
E? E?
如图所示作闭合圆柱面为高斯面。
17
例 4,两无限大带电平面（平行板电容器），面电荷密
度分别为 +? 和 -?,求：电容器内、外的电场强度。
?? ?-
极板左侧
?E -E -E ?E
?E
-E
-? -? EEE
0?
极板右侧
-? -? EEE
0?
-? ?? EEE
两极板间
00 22 ?
?
?
? ??
0?
??
解,该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用
高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯
定律求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生
的总场强。
高斯定理
2
为形象描绘静电场而引入的一组空间曲线。
1.电力线规定
?方向,电力线上某点的切线
方向为该点的场强方向。
?大小,通过电场中某点垂直于场强的单位面积的电力
线根数等于该点电场强度的大小。
?
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A B
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BE
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一、电力线
电力线稀疏的地方场强小，
用矢量一点一点表示场强的缺点：
1）只能表示有限个点场强； 2）场中箭头零乱。
电力线密集的地方场强大。
3
2.电力线形状
正电荷 负电荷
一对等量异号电
荷的电力线
一对异号不等量点
电荷的电力线
一对等量正点电荷的电力线
4
带电平行板电容器的电场
++ ++++ +++
3.电力线的性质
1.电力线始于正电荷 （或
,?”远）,终止于负电
荷 （或,?”远）,不会
在无电荷处中断,电力线
为非闭合曲线 。
2.在没有电荷处同一电场
两条电力线不能相交。 1E?
2E
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?3.电力线密处场强大，电力线疏处场强小。
4.沿电力线方向为电势降低的方向。
A B
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作用：
说明场强的方向；
说明电场的强弱；
说明电场的整体分布。
5
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1.穿过面元 dS电通量 ?d
定义,通过任一曲面的电力线的条数
称为通过这一面元的 电通量 。
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面元在垂直于场强方
向的投影是,
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所以通过它的电通量等于面元 的电通量,
定义,面元矢量
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大小等于面元的面积，方向取其法线方向。
因此电通量,?? E d Sd ? ?c o sE d S? SdE ?? ??
为面元法线方向
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二、电通量
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6
2.穿过任意曲面的电通量 ?
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3.穿过闭合曲面的电通量 ?
规定,取闭合面 外 法线方向为正向。
电力线穿出闭合面为正通量，
电力线穿入闭合面为负通量。
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dS有两个法线方向,dφ可
正可负。
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定理表述,真空中穿过静电场任一闭合曲面的电通量，
等于包围在该面内的所有电荷代数和 除以 ?0 。与面
外电荷无关。
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高斯定理可用库仑定律和叠加原理证明。（略）
1.以点电荷位于半径为 R的闭合球
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高斯面
穿过球面的电通量
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左边
球面上各点 E大小相等，
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三、高斯定理
8
右边
0?
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左边 =右边
2.点电荷位于闭合面外
推广：任意闭合曲面内有多个电荷都成立。
E?
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负通量抵消。
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右边
0?
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由于闭合面内无电荷。电力线不会在闭合面内断开，
0? 左边 =右边
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3.点电荷系,设有 1,2,···,k 个电荷在闭合面内，
k+1,k+2,···,n 个电荷在闭合面外。
由场叠加原理，高斯面上的场强为：
nkk EEEEE
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面内电荷 面外电荷
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10
1.高斯面为闭合面。
2,式中的电场强度 为高斯面上某点的场强，是由空间
所有电荷产生的，与面内面外电荷都有关。
3.电通量 ? 只与面内电荷有关，与面外电荷无关。
4,? = 0不一定面内无电荷，有可能面内电荷等量异号。
5,?=0，不一定高斯面上各点的场强为 0。
明确几点：
0?
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??
高斯定理为我们提供了求场强的另一种方法。但利用
高斯定理求场强要求电荷的分布具有一定的对称性。
6,高斯定理反映了静电场的基本性质 — 静电场是有源场
四、高斯定理的应用
11
3.高斯面上所有各点的场强大小相等，方向与高斯面法
线方向一致；
或 高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方
向垂直，该部分的通量为零。而另一部分各点的场强
大小相等，方向与高斯面法线方向一致。
解题步骤
1.场对称性分析，
2.选取高斯面，
3.确定面内电荷代数和，
4.应用定理列方程求解。
2.高斯面应选取规则形状。
如何取高斯面？1.高斯面要经过所研究的场点。
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目的是将 E从积分号中提出来。
利用高斯定理求场强的关健：根据电荷分布的对称性，
选取合适的高斯面 。
12
o
Rq
例 1,半径 R、带电量为 q 的均匀带电球体，计算球体
内、外的电场强度。
1.球体外部 r > R
作半径为 r 的球面；
面内电荷代数和为 ? ? qq
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高斯面
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球面上各点的场强 E 大小相等，方向与法线同向。
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解,场源的对称性决定着场强分布的对称性。
它具有与场源同心的球对称
性,故选同心球面为高斯面。 场
强的方向沿着径向，且在球面上
的场强处处相等。
13
2.球体内部 r < R
作半径为 r 的球面；
面内电荷代数和为
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球面上各点的场强 E 大小相等，
方向与法线相同。
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高斯面
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2
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1
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例 2,无限长带电直线，线电荷密度为 ?，计算电场强
度 E 。
解,作半径为 r高为 h的闭合圆柱面，
h
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??? S E dS ?? c o s
右底侧左底 ???? ???
0?? 右底左底 ??
,SdE ??? ? 0c o s ??
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侧面上各点的场强 E 大小相
等，方向与法线相同。
??? 侧 dSE? rhE ?2?
0?
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02??
???
0?
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16
例 3,无限大带电平面，面电荷密度为 ?，求平面附近
某点的电场强度。
r
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解：
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右底侧左底 ???? ???
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如图所示作闭合圆柱面为高斯面。
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例 4,两无限大带电平面（平行板电容器），面电荷密
度分别为 +? 和 -?,求：电容器内、外的电场强度。
?? ?-
极板左侧
?E -E -E ?E
?E
-E
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0?
极板右侧
-? -? EEE
0?
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两极板间
00 22 ?
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解,该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用
高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯
定律求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生
的总场强。
