1
环路定理 电势
2
一、静电场的保守性 —— 环路定理
1.电场力的功
q
ar
?
br
?
E?
b
a
F?0q
1.点电荷的场
rdr ???
r?
点电荷的场中移动点电荷 从
到,电场做的功,0
q
rdr ???
r?
ldFdA ?? ??
点电荷 q0所受电场力为：
EqF ?? 0?
?
?co s0 E d lq? rd?
,c os ?dldr ??
2
04 r
qE
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r
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2
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c
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3
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0
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b
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dl
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q
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r?
?
dr在 q 的电场中将检验电荷q0 从 a 点移动到 b 点，电场
力作功为：
b
a
dr
r
qqdAA r
r
b
a
4 20
0?? ??
??
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关。
2.任意带电体系的场
对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带
电体，可看成是由无数电荷元组成。
dr
r
qqdA
2
0
0 4 ????
由场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移动单
位电荷的功）为：
4
? ?ba ldE ??
??? ?????? ba nbaba ldEldEldE ??????? 21
任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了
的位置,而与路径无关。
结论,电场力为保守力，静电场为保守场。
2.静电场的环路定理
静电场的保守性还可表述为,在静电场中，场强沿
任意闭合路径的线积分等于零。
? ??L ldE 0??
运动电荷的场不是保守场,而是非
保守场，将在磁场部分讨论。
? ????? ba n ldEEE ????? )( 21
baA ??
静电场的环路定理
5
二、电势能和电势
1.电势能
电场力是保守力，可引入势能的概念。
静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。
设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路
径移动到 b 点，电场力作功为 Aab。
因为保守力所作的功等于势能增量的负值。
电荷 q0 在静电场中从 a 点沿任意路径移动到 b 点时，
电场力所作的作功 Aab与这两点电势能 Ea,Eb的关系为,
pab EA ??? )( papb EE ??? pbpa EE ??
?? ???? babaab ldEqldFA ????? 0
0q
E?
a
b
6
电势能也是一个相对的量，必须选择一
个零势能点作为参考。
? ???? bapbpa ldEqEE ??0
式中,Epa,Epb是电荷 q0分别在 a点和 b点时,q0与电场所
组成的系统的静电势能。
令
,0?pbE 即选定 b点为电势能零点。
电荷 q0在此系统的电场中 a点的的电势能为：
? ?? 势能零点apa ldEqE ??0
意义：电荷在静电场中某点的电势能等于 将此电荷由
该点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作
的功 。
?? ???? babaab ldEqldFA ???? 0
pbpaab EEA ??
0q
E?
a
b
7
,0??pE
电荷 q0在此系统的电场中 a点的的电势能为：
? ? ?? apa ldEqE ??0
意义,电荷 q0在静电场中某点的电势能等于将该电荷由
该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。
强调,无限带电体不能取无穷远处为电势能零点。
即：
2.电势与电势差
? ?? 势能零点apa ldEqE ??0
两边同除以 q0，得：将
? ??
势能零点
a
pa ldE
q
E ??
0
这一比值与 q0的值无关，仅取决
于电场的性质及场点的位置。
对有限带电体，通常规定无穷远
处为电势能零点。 ? ?? 势能零点apa ldEqE ??0
8
定义电势：
? ???
零点
a
pa
a ldEq
E
U
??
0
意义,把单位正电荷从场点 a经过任意路径移到零电势
参考点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在 a点所
具有的电势能。
电势差：静电场中两点电势值的差。
0q
EE
UUU pbpabaab
?
??? ? ??
b
a
ldE
??
意义,把单位正电荷从 a点沿任意路径移到 b点时电
场力所作的功。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势
的单位为：焦耳 /库仑（记作 J/C），也称为伏特（ V）
，即 1V＝ 1J/C。
0q
Aab?
9
1.电势是标量，只有正负之分。
2.电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确
定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差
的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。
?对有限带电体一般选无穷远为电势零点。
注意几点：
3,电势零点的选择：
在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。
?对 无限带电体 不宜选无穷远为电势零点。此时只有电
势的相对值（即电势差）有意义。
4.电势能与电势的区别,EP 可正可负，取决于 q 和 q0 ；
U只取决于场源电荷 q 。
? ???
零点
a
pa
a ldEq
E
U
??
0
10
当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电
场中移动时电场力所做的功：
? ?? baab ldEqA ??0
例,用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产
生的电场中的电势分布。
rer
qE ??
2
04 ??
?
? ?? ???? ppp ldEUUU ??
p
E?
q
r?
负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。
正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。
解：
)(0 ba UUq ??
p
p r
qdr
r
q
0
2
0 44 ????
?? ?
?
强调：
11
3.电势迭加原理
表述,一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个
带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
由场强叠加原理和电势的定义，可得电势叠加原理。
ldEpU p ?? ?? ??)(
1r
?
2r
?
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1q
2q
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ip
i
ii r
qldEpU
04
)(
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i i
i
r
qpU
04
)(
??
表达式：
（ 1）电势是标量，迭加的结果是求代数和；
（ 2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；
强调：
? ? ???? p ldEE ???? )( 21 ??
i
i pU )(
12
4.电势的计算 电势的求解有两种方法：
1.由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由
电势定义式 计算 P点电势。
? ?? 零点pp ldEU ??
2.根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。
（ 1） 点电荷系：先分别求出每个点电荷单独存在时
的电场的电势，再求代数和得到电势。
?? ??
i i
i
i r
qUU
04 ??
公式：
（ 2） 连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元，
将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电
荷元的电势，迭加归结于积分 。
? ??? rdqdUU
04 ??
注意电荷元的选取！
13
例 1,均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求
圆环轴线上一点的电势 U。
o x
R
q
x
dq
dU
解,将圆环分割成无限多个电荷元：
r
dqdU
04 ??
? r
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dq
r
q??
0
04
1
??
环上各点到轴线等距。
2/122
0 )(4 Rx
q
?
?
??
14
例 2,均匀带电球壳半径为 R，电量为 q，求：球壳内、
外的电势分布。
o Rq
r
高斯面
E?
解,球壳内、外的场强
作高斯球面
r0???? ?? qSdES ??
0?
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II
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2
04
1
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,Rr ? ? ? 0qI区：球面内 01 ?E
,Rr ?II区：球面外 ? ? qq 2
0
2 4
1
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15
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R
R
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2
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1
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?I区：球壳内电势
选无穷远为电势 0点，
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r
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2
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?II区：球壳外电势 Rr ?
16
o Rq I
II
Ro
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2
04 R
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o Rq I
II
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V
r
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04??
,Rr ?I区：球面内 01 ?E
,Rr ?II区：球面外 2
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1
r
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R
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0
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r
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17
例 3,无限长带电直线线电荷密度为 ?,求电势分布。
o
r?P
?
解,无限长带电直线的场强：
rE 02??
??
?? ?? PP ldEU ??
若选无穷远为电势 0 点，
??? P E d r
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rr 02 ??
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r
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2 0
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??
?
无意义
QR
选取距带电直导线为 R的 Q点为电势零点，
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Rln
2 0??
???? R
r drr
02 ??
?
当电荷分
布扩展到
无穷远时
，电势零
点不能再
选在无穷
远处。
18
例 4,在正方形四个顶点上各放置 带电量为 +q的四个
电荷，各顶点到正方形中心 O的距离为 r。求：
（ 1） O点的电势；（ 2）把试探电荷 q0从无穷远处移到
O点时电场力所作的功；（ 3）电势能的改变。
解：
?
?
?
4
1 04i i
i
O r
qU
?? r
q
r
q
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4
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q? q?
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（ 1）根据电势迭加原理
（ 2）根据电势差的定义
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0
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（ 2）根据
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OOO AEEE ??? ???
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环路定理 电势
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一、静电场的保守性 —— 环路定理
1.电场力的功
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1.点电荷的场
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点电荷的场中移动点电荷 从
到,电场做的功,0
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点电荷 q0所受电场力为：
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2.任意带电体系的场
对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带
电体，可看成是由无数电荷元组成。
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由场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移动单
位电荷的功）为：
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任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了
的位置,而与路径无关。
结论,电场力为保守力，静电场为保守场。
2.静电场的环路定理
静电场的保守性还可表述为,在静电场中，场强沿
任意闭合路径的线积分等于零。
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运动电荷的场不是保守场,而是非
保守场，将在磁场部分讨论。
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静电场的环路定理
5
二、电势能和电势
1.电势能
电场力是保守力，可引入势能的概念。
静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。
设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路
径移动到 b 点，电场力作功为 Aab。
因为保守力所作的功等于势能增量的负值。
电荷 q0 在静电场中从 a 点沿任意路径移动到 b 点时，
电场力所作的作功 Aab与这两点电势能 Ea,Eb的关系为,
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6
电势能也是一个相对的量，必须选择一
个零势能点作为参考。
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式中,Epa,Epb是电荷 q0分别在 a点和 b点时,q0与电场所
组成的系统的静电势能。
令
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电荷 q0在此系统的电场中 a点的的电势能为：
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意义：电荷在静电场中某点的电势能等于 将此电荷由
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电荷 q0在此系统的电场中 a点的的电势能为：
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强调,无限带电体不能取无穷远处为电势能零点。
即：
2.电势与电势差
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于电场的性质及场点的位置。
对有限带电体，通常规定无穷远
处为电势能零点。 ? ?? 势能零点apa ldEqE ??0
8
定义电势：
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零点
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意义,把单位正电荷从场点 a经过任意路径移到零电势
参考点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在 a点所
具有的电势能。
电势差：静电场中两点电势值的差。
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意义,把单位正电荷从 a点沿任意路径移到 b点时电
场力所作的功。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势
的单位为：焦耳 /库仑（记作 J/C），也称为伏特（ V）
，即 1V＝ 1J/C。
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9
1.电势是标量，只有正负之分。
2.电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确
定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差
的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。
?对有限带电体一般选无穷远为电势零点。
注意几点：
3,电势零点的选择：
在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。
?对 无限带电体 不宜选无穷远为电势零点。此时只有电
势的相对值（即电势差）有意义。
4.电势能与电势的区别,EP 可正可负，取决于 q 和 q0 ；
U只取决于场源电荷 q 。
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零点
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10
当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电
场中移动时电场力所做的功：
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例,用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产
生的电场中的电势分布。
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正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。
解：
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强调：
11
3.电势迭加原理
表述,一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个
带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
由场强叠加原理和电势的定义，可得电势叠加原理。
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表达式：
（ 1）电势是标量，迭加的结果是求代数和；
（ 2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；
强调：
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12
4.电势的计算 电势的求解有两种方法：
1.由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由
电势定义式 计算 P点电势。
? ?? 零点pp ldEU ??
2.根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。
（ 1） 点电荷系：先分别求出每个点电荷单独存在时
的电场的电势，再求代数和得到电势。
?? ??
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04 ??
公式：
（ 2） 连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元，
将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电
荷元的电势，迭加归结于积分 。
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注意电荷元的选取！
13
例 1,均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求
圆环轴线上一点的电势 U。
o x
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解,将圆环分割成无限多个电荷元：
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环上各点到轴线等距。
2/122
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14
例 2,均匀带电球壳半径为 R，电量为 q，求：球壳内、
外的电势分布。
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解,球壳内、外的场强
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例 3,无限长带电直线线电荷密度为 ?,求电势分布。
o
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解,无限长带电直线的场强：
rE 02??
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若选无穷远为电势 0 点，
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无意义
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选取距带电直导线为 R的 Q点为电势零点，
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当电荷分
布扩展到
无穷远时
，电势零
点不能再
选在无穷
远处。
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例 4,在正方形四个顶点上各放置 带电量为 +q的四个
电荷，各顶点到正方形中心 O的距离为 r。求：
（ 1） O点的电势；（ 2）把试探电荷 q0从无穷远处移到
O点时电场力所作的功；（ 3）电势能的改变。
解：
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（ 1）根据电势迭加原理
（ 2）根据电势差的定义
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（ 2）根据
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