1
电介质中的高斯定理
电位移矢量
2
电介质在外场中的性质相当于在
真空中有适当的束缚电荷体密度分布
在其内部。因此可用 和 的分布来
代替电介质对电场的影响。
'? '?
在外电场 中，介质极化产生的束
缚电荷，在其周围无论介质内部还是外
部都产生附加电场,称为退极化场。'E?
0E
?
'0 EEE ??? ??
+Q –Q
'?'??
退极化场
任一点的总场强为：
一、退极化场
注意：决定介质极化的不是原来的场 而是介质内实
际的场 。 0E
?
E?
'E? 又总是起着减弱总场 的作用，即起着减弱极化
的作用，故称为退极化场。
E?
3
在外电场 作用下，电介质发生极化；极化强
度矢量 和电介质的形状决定了极化电荷的面密度,
而 又激发附加电场, 又影响电介质内部的总电
场,而总电场又决定着极化强度矢量 。P?E?
0E
?
P? ??
?? E??E??
各物理量的关
系如下,0E
?
'0 EEE ??? ??
p? nP???
'E?
总结：
在电介质中，电位移矢量、极化电荷、附加电场
和总场强这此量是彼此依赖、互相制约的。
这种连环套的关系太复杂,在实际计算中比较繁
琐。 物理学追求“和谐、对称、简洁！
为了计算它们当中的任何一个量，都需要和其它量
一起综合加以考虑。
4
真空中的高斯定理
0
0
0 ??
??? ??? qSdE
S
??
自由电荷
束缚电荷
在介质中，高斯定理改写为：
总场强
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
??? ???
SS
qqSdE )(1 '0
0?
??
??? ???
SS
qSdP '
??
????? ????
SSS
SdPqSdE
????
0
0
0
11
??
??? ???
SS
qSdPE 00 )( ????
? 定义,电位移矢量
PED
d e f ???
?? 0?
1.介质中的高斯定理
5
??? ???
SS
qSdPE 00 )( ????
? 定义,电位移矢量
PED
d e f ???
?? 0?
??? ??
SS
qSdD 0
??
自由电荷
介质中的高斯定理
1）线上每一点的切线方向为该点电位移矢量的方向；
2）通过垂直于电位移矢量的单位面积的电位移线数
目应等于该点电位移矢量的大小。
建立电位移线：
介质中的高斯定理意义,通过任一闭合曲面的电位移
通量，等于该曲面内所包围的自由电荷的代数和。
??? ??
SS
qSdD 0??
介质中的高斯定理,??
??
S
D SdD
???
称为穿过闭合面 S的电位移通量。
6
??? ??
SS
qSdD 0??
介质中的高斯定理：
说明：
?介质中的高斯定理不仅适用于介质，也适用于真空。
?高斯面上任一点 D是由空间总的电荷的分布决定的，
不能认为只与面内自由电荷有关。
?电位移矢量是为消除极化电荷的影响而引入的辅助物
理量，它既描述电场，同时也描述了介质的极化。
单位,库仑 /米 2，方向,与介质中的场强方向相同。
2.电位移矢量 ? 定义,电位移矢量
PED
d e f ???
?? 0?
EP e ?? 0???
对于大多数各向同性的电介质而言，极化强度 与
电场 有如下关系：
P?
E?
e?
称为电极化率或极化率,在各向同性线性电介质
中它是一个纯数。
7
在均匀各向同性介质中
EP e ?? 0???
PED ??? ?? 0? EE e ?? 00 ??? ?? Ee ?0)1( ????
Er ?0???
称为相对介电常数或电
容率。
)1( er ?? ??
E??? 0??? r? 称为介电常数，
ED ??.强调,PED ??? ??
0?
是 关系的普遍式。
ED ??.在各向同性介质中 关系,EED r ??? ??? ?? 0
如果电荷和介质的分布具有一定对称性，可利用介
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用
介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电
位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
3.介质中高斯定理的应用
8
例 1,将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 ?r 的介
质球中心，求,I 区,II区的 D,E,及 U。
r?
I
II
Rq
解,在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
r
r
高斯面
??? ?? 0qSdDS ??
???? 0c o s qD dSS ?
球面上各点 D大小相等，
,// SdD ??
1c o s ??
,4 02 ?? qrD ?
2
0
4 r
q
D
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I区,21 4 r
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?? II区,22 4 r
qD
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由
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9
I区：
r
DE
?? 0
1
1 ?
II区：
2
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q
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r
DE
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2
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04 r
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E
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由
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r
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0
2
0 44 ?????
I区：
R
q
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11
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r
q
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?
2
04 ??
q
04 ??
?II区：
r?
I
II
Rq
r
r
高斯面
10
例 2,平行板电容器极板间距为 d,极板面积为 S，面电
荷密度为 ?0,其间插有厚度为 d’, 电容率为 ?r 的电介质。
求, ①, P1, P2点的场强 E；②,电容器的电容。
'd
0??0?
d
r?
1P 2P
解,①, 过 P1 点作高斯柱面,左右底面分别经过导体
和 P1 点。
??? ??? 0qSdDSD ???
侧右底左底 DDDD ???? ???
高
斯
面
D?
0?左底D?
0?侧D?
导体内 D=0
SdD ??? ?
右底DD ?? ? ??? 右底 ?c o s1 dSD
SD1? Sq 00 ????
01 ??? D
11
过 P2点作高斯柱面,左右底面
分别经过导体和 P2点。
侧右底左底 DDDD ???? ???
00 ??? 右底DD ??
同理
?? 0q
SD2 S0?? 02 ??D21 DD ??,
0??
01 ??? D
r
DE
?? 0
1
1 ?
0
0
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r
DE
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2
2 ?
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0
0?
0??0?
d
'd
r?
1P 2P高
斯
面
D
12
I区：,01 ??D
II区：,02 ??D
0
0
1 ?
??E
r
E
??
?
0
0
2 ?
②,求电容 C
由
abU
qC ?
EdU ab ?与
abU
qC ?
')'( 21
0
dEddE
S
???
?
')'(
0
0
0
0
0
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S
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r
d
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S
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?
'
'
0
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?
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d
'd
r?
1P 2P高
斯
面
D
13
例 3,平行板电容器极板面积为 S，充满 ?r1,?r2 两种介
质，厚度为 d1, d2。 ①,求电容 C；②,已知板间电压
U，求 ?0,E,D。
d
1d
1r?
2d
2r?
解,①,设电容带电量 q
abU
qC ?
2211 dEdE
q
?
?
2
20
0
1
10
0
0
dd
S
rr ??
?
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?
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?
2
2
1
1
0
rr
dd
S
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?
?
?
也可视为两电容器串联
,
1
10
1 d
SC r??? 2
20
2 d
SC r???
14
21
111
CCC ??
21
21
CC
CCC
?
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2
2
1
1
0
rr
dd
S
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?
?
?串联
d
1d
1r?
2d
2r?
②,已知 U，求 ?0,E,D。
S
q?
0? ?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
1
1
0
rr
dd
S
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2
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1
1
0
rr
dd
U
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?
?
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15
10
0
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E
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10
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1
0
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rr
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?
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?
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1
2
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dd
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1101 ED r???
10
0
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2
2
1
1
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rr
dd
U
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?
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2202 ED r???
20
0
20
r
r ??
????
0??
021 ??? DD
16
例,一平行板电容器内充满极化率为 的均匀电介质。
设两极板上自由电荷面密度为 。求,（ 1）电介
质表面的极化电荷面密度 ；（ 2）电介质内的极化
强度矢量 ；（ 3）电介质内的场强 ；（ 4）电容器
的电容 C与没有电介质时的电容 C0的比值。
?
0??
??
P? E?
'E?
0??0? '?? '?
解,在外电场作用下，在介质的右
表面出现正极化电荷，在介质的左
表面出现负极化电荷。
极化电荷面密度,P???
极化电荷场
0
''
?
??E
0?
P?
水平向左
外场为：
0
0
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??E
水平向右
0E
?
17
解以上五式可得：
EP 0??? ???
ABU
qC ?
电介质内部的总场强
'0 EEE ??
00
0 '
?
?
?
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此外还有：
EP 0???
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0
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0?
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Ed
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d
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相对介电常数。
'E?
0??0? '?? '?
0E
?
E?
P???
0
''
?
??E
0
0
0 ?
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电介质中的高斯定理
电位移矢量
2
电介质在外场中的性质相当于在
真空中有适当的束缚电荷体密度分布
在其内部。因此可用 和 的分布来
代替电介质对电场的影响。
'? '?
在外电场 中，介质极化产生的束
缚电荷，在其周围无论介质内部还是外
部都产生附加电场,称为退极化场。'E?
0E
?
'0 EEE ??? ??
+Q –Q
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退极化场
任一点的总场强为：
一、退极化场
注意：决定介质极化的不是原来的场 而是介质内实
际的场 。 0E
?
E?
'E? 又总是起着减弱总场 的作用，即起着减弱极化
的作用，故称为退极化场。
E?
3
在外电场 作用下，电介质发生极化；极化强
度矢量 和电介质的形状决定了极化电荷的面密度,
而 又激发附加电场, 又影响电介质内部的总电
场,而总电场又决定着极化强度矢量 。P?E?
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?
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?? E??E??
各物理量的关
系如下,0E
?
'0 EEE ??? ??
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'E?
总结：
在电介质中，电位移矢量、极化电荷、附加电场
和总场强这此量是彼此依赖、互相制约的。
这种连环套的关系太复杂,在实际计算中比较繁
琐。 物理学追求“和谐、对称、简洁！
为了计算它们当中的任何一个量，都需要和其它量
一起综合加以考虑。
4
真空中的高斯定理
0
0
0 ??
??? ??? qSdE
S
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自由电荷
束缚电荷
在介质中，高斯定理改写为：
总场强
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
??? ???
SS
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0?
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SS
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SS
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? 定义,电位移矢量
PED
d e f ???
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1.介质中的高斯定理
5
??? ???
SS
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? 定义,电位移矢量
PED
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?? 0?
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SS
qSdD 0
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自由电荷
介质中的高斯定理
1）线上每一点的切线方向为该点电位移矢量的方向；
2）通过垂直于电位移矢量的单位面积的电位移线数
目应等于该点电位移矢量的大小。
建立电位移线：
介质中的高斯定理意义,通过任一闭合曲面的电位移
通量，等于该曲面内所包围的自由电荷的代数和。
??? ??
SS
qSdD 0??
介质中的高斯定理,??
??
S
D SdD
???
称为穿过闭合面 S的电位移通量。
6
??? ??
SS
qSdD 0??
介质中的高斯定理：
说明：
?介质中的高斯定理不仅适用于介质，也适用于真空。
?高斯面上任一点 D是由空间总的电荷的分布决定的，
不能认为只与面内自由电荷有关。
?电位移矢量是为消除极化电荷的影响而引入的辅助物
理量，它既描述电场，同时也描述了介质的极化。
单位,库仑 /米 2，方向,与介质中的场强方向相同。
2.电位移矢量 ? 定义,电位移矢量
PED
d e f ???
?? 0?
EP e ?? 0???
对于大多数各向同性的电介质而言，极化强度 与
电场 有如下关系：
P?
E?
e?
称为电极化率或极化率,在各向同性线性电介质
中它是一个纯数。
7
在均匀各向同性介质中
EP e ?? 0???
PED ??? ?? 0? EE e ?? 00 ??? ?? Ee ?0)1( ????
Er ?0???
称为相对介电常数或电
容率。
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E??? 0??? r? 称为介电常数，
ED ??.强调,PED ??? ??
0?
是 关系的普遍式。
ED ??.在各向同性介质中 关系,EED r ??? ??? ?? 0
如果电荷和介质的分布具有一定对称性，可利用介
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用
介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电
位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
3.介质中高斯定理的应用
8
例 1,将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 ?r 的介
质球中心，求,I 区,II区的 D,E,及 U。
r?
I
II
Rq
解,在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
r
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高斯面
??? ?? 0qSdDS ??
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球面上各点 D大小相等，
,// SdD ??
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?II区：
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I
II
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高斯面
10
例 2,平行板电容器极板间距为 d,极板面积为 S，面电
荷密度为 ?0,其间插有厚度为 d’, 电容率为 ?r 的电介质。
求, ①, P1, P2点的场强 E；②,电容器的电容。
'd
0??0?
d
r?
1P 2P
解,①, 过 P1 点作高斯柱面,左右底面分别经过导体
和 P1 点。
??? ??? 0qSdDSD ???
侧右底左底 DDDD ???? ???
高
斯
面
D?
0?左底D?
0?侧D?
导体内 D=0
SdD ??? ?
右底DD ?? ? ??? 右底 ?c o s1 dSD
SD1? Sq 00 ????
01 ??? D
11
过 P2点作高斯柱面,左右底面
分别经过导体和 P2点。
侧右底左底 DDDD ???? ???
00 ??? 右底DD ??
同理
?? 0q
SD2 S0?? 02 ??D21 DD ??,
0??
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r
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1
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12
I区：,01 ??D
II区：,02 ??D
0
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2 ?
②,求电容 C
由
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EdU ab ?与
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0
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1P 2P高
斯
面
D
13
例 3,平行板电容器极板面积为 S，充满 ?r1,?r2 两种介
质，厚度为 d1, d2。 ①,求电容 C；②,已知板间电压
U，求 ?0,E,D。
d
1d
1r?
2d
2r?
解,①,设电容带电量 q
abU
qC ?
2211 dEdE
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2
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也可视为两电容器串联
,
1
10
1 d
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14
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111
CCC ??
21
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②,已知 U，求 ?0,E,D。
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2202 ED r???
20
0
20
r
r ??
????
0??
021 ??? DD
16
例,一平行板电容器内充满极化率为 的均匀电介质。
设两极板上自由电荷面密度为 。求,（ 1）电介
质表面的极化电荷面密度 ；（ 2）电介质内的极化
强度矢量 ；（ 3）电介质内的场强 ；（ 4）电容器
的电容 C与没有电介质时的电容 C0的比值。
?
0??
??
P? E?
'E?
0??0? '?? '?
解,在外电场作用下，在介质的右
表面出现正极化电荷，在介质的左
表面出现负极化电荷。
极化电荷面密度,P???
极化电荷场
0
''
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0?
P?
水平向左
外场为：
0
0
0 ?
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水平向右
0E
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17
解以上五式可得：
EP 0??? ???
ABU
qC ?
电介质内部的总场强
'0 EEE ??
00
0 '
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?
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此外还有：
EP 0???
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