1
稳恒磁场
2
前 言
静止的电荷周围 — 电场。
主要内容：
1.描述磁场的基本物理量 —— 磁感应强度。
2.反映磁场性质的两条定理 —— 磁场的高斯定理和安
培环路定理。
磁现象与电现象有很多相似之处，但要注意不同之处。
3.磁场对运动电荷、载流导线的作用 —— 洛仑兹力，
安培力和磁力矩。
运动的电荷周围 — 电场和磁场。
4.磁介质的性质。
3
磁场 磁感应强度
毕奥 — 萨伐尔定律
4
NS SN
I
NS
一、磁的基本现象
N
S
F?
I
电与磁之间存在着内在的联系。
安培, 分子环流假说,,
一切磁现象都起源于电流。
总结,一切磁现象都可以归结为运动电荷（即电流）
之间的相互作用。磁力是电荷之间的另一种力。
5
磁铁和运动电荷（电流）会在周围空间激发场 ---磁场。
注意,无论电荷是运动还是静止，它们之间都存在库仑
相互作用，但只有运动着的电荷才存在着磁相互作用。
磁场的基本性质：对运动电荷（电流）有力的作用。
二、磁场
1）磁场对磁铁、对电流、对运动电荷均有作用力；
2）载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对它作功。
磁场是一种物质，
恒定磁场 — 在空间的分布不随时间变化的磁场。
其物质性体现在：
3） 变化的磁场在空间传播，表明磁场具有动量。
6
当运动电荷速度与磁场方向垂直时受到洛伦兹力 fL
最大。
当电荷运动速度与磁场 方向一
致时电荷受力为 零 。
当把运动电荷放在磁场中后，
它会受到一种与其速度有关的力，
这个力称为 洛仑兹力 。
三、磁感应强度
描述磁场性质的基本物理量。
1.磁感应强度的定义
v?
B?
q
Lf
?
v?? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
B?
q
定义,磁感应强度
大小,电荷运动速度电荷电量
仑兹力运动电荷受到的最大洛
??B
7
单位,特斯拉（ T）。
方向,小磁针在该点平衡时 N 极的指向。
qv
fB L m ax?
B?注意,的大小和方
向是分别定义的；四、毕奥 — 萨伐尔定律
研究一段电流元产生磁感应强度的规律。
lId? ? P
r?
lId?表述：电流元 在空间 点产生的磁场 为：P Bd?
3
0
4 r
rlIdBd ?
??
??
?
?
lId?电流元,
Idl
?方向,线元上通过的电流的方向。
?大小：
2
0
4 r
elId r?
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?
8
)/(1041 272 ANc
o
o
???? ?
??
3
0
4 r
rlIdBd ?
??
??
?
?
真空中的磁导率
r? 的方向：从电流元所在位置指向场点 P。
?? ??? L roL r elIdBdB 24 ??
????一段载流导线产生的磁场：
Bd? 的方向垂直于 和 所形
成的平面。
lId? r?
的方向。rlId ?? ?
?大小,20 si n4 rI d ldB ????
?方向：
lId?
r
lId? ? P
r? ?
Bd?
? 为 与 之间的夹角。lId? r
?
Bd?
2
0
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9
3
0
4 r
rlIdBd ?
??
??
?
?
4.求 B 的分量 Bx, By, Bz ;
222
zyx BBBB ???
求总场。5.由
3,确定电流元的磁场
2.分割电流元 ;
1.建立坐标系 ;
计算一段载流导体的磁场
2.应用毕萨定律解题的方法
,?? xx dBB,?? yy dBB ?? zz dBB
,kBjBiBB zyx ???? ??? 222 zyx BBBB ???
直角坐标系：
?? ??? L roL r elIdBdB 24 ??
????
10
例 1:一段有限长载流直导线,通有电流为 I,求距 a 处
的 P 点磁感应强度。
解,
2
0 si n
4 r
I d ldB ?
?
??
)c t g( ?? ?? al?
?
r ?Bd?
a
xo
l
l
lId?
P
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1?
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22
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4
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I si n
4
02
1?
? ? ?210 c o sc o s4 ???? ?? aI
分割电流元
I
11
? ?210 c o sc o s4 ???? ?? aIB
讨论,
1.无限长载流直导线的磁场：
,01 ?? ; 2 ?? ?
a
IB
?
?
2
0??
2.半无限长载流直导线的磁场：
?
r ?Bd?
a
xo
l
llId
?
P
2?
1?
I
R
P?,1 ?? ? ;2 ?? ? )1( co ss i n4 0 ??? ??? ?R IB
3.载流导线延长线上任一点的磁场
0?? B? I
a
P,// rlId ??? 0?? rlId ??
12
I
分割电流元为无限多宽为 dx
的无限长载流直导线；
解,以 P 点为坐标原点，向右为坐
标正向；
电流元电流
a
P
b
dx
o x
xdxa
IdI ?
dI
例 2,一宽为 a 无限长载流平面，通有
电流 I,求距平面左侧为 b 与电流共
面的 P 点磁感应强度 B 的大小。
x
dIdB
?
?
2
0?
ax
I d x
?
?
2
0?
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?
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ba
b ax
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2
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ba
a
I ?? ln
2
0
?
?
??B?
13
?
例 3,一载流圆环半径为 R
通有电流为 I，求圆环轴线
上一点的磁感应强度 B。
解,将圆环分割为无限
多个电流元；
电流元在轴线上产生的
磁感应强度 dB 为：
r?
I o x
R
x P
Bd?
,4 20 rI d ldB ???
由对称性可知，
?dB
xdB
'?dB
'xdB
'Bd?
lId ??
?
,0??B 22 ???? BBB x xB?
lId?
r
R??s in??? xdBB ?? ?s i ndB
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r
R
r
IR
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0
2
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4
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r
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?
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03
0
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2
0
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IR
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14
Io R
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2
0
2 Rx
IRB
?
?? ?
讨论,
1.载流圆环环心处 x = 0;
R
IB
o 2
0??有：
??B?
I o x
R
x P
B?
2.圆弧电流中心处
?
R O??
B?
?
??
22
0 ??
R
IB
o
有：
R
I
?
??
4
0?
15
例 4,一根无限长导线通有电流 I，中部弯成圆弧形，
如图所示。求圆心 o点的磁感应强度 B。
R
o
IIa b c d
0120
解：直线段 ab在 o点产生
的磁场：
030
)30c o s0( c o s30s i n4 00001 ?? R IB ? ?
)231(2 0 ?? RI??
垂直纸面向里
cd段：
)1 8 0c o s1 5 0( c o s30s i n4 00003 ?? R IB ? ? )2
31(
2
0 ??
R
I
?
?
R
I
R
IBcb
63
1
2
00
2
?? ???产生的磁场圆弧 ? 垂直纸面向里
321 BBBB ???
R
I
R
I
6
)
2
31( 00 ?
?
? ???
16
例 5,计算组合载流导体在 o 点的磁感应强度。
解,o 点 B 由三段载流导体产生。
cdbcabo BBBB
???? ???
规定垂直纸面向里为正向，
bcabo BBB ??? R
I
R
I
44
00 ?
?
? ??? ?
?
??
?
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?
? 11
4
0
R
I
R
a
b c d
例 6,一正方形载流线圈边长为 b,通有电流为 I,求正
方形中心的磁感应强度 B。
解,B= B1+ B2+ B3+ B4= 4B1
Io
b
?B?
2?
1?
,41 ?? ? 432 ?? ?
?????? ?? 43c o s4c o s2/44 0 ???? IB b I? ? 022?
17
五、运动电荷的磁场
考虑一段导体，其截面积
为 S，其中自由电荷的密度
为 n，载流子带正电 q，以
同一平均速度 运动。v? v
v?
I
S
+
+
+
+ ++
+ +
++ +
+ +
+
+
+
+
+ ++
++
+
+
+ +
+
+
t
qI
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3
0
4 r
rldIBd ?
??
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?
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lId?在该导体上选取一个电流元,
lId?
? P
r? ?
Bd?
S
dN
电流元产生的磁场相当于电流元内 dN 个运动电
荷产生的磁场。
dN = ndV体 = nSdl而电流元内电荷的数目为：
电流元产生的磁场为：
18
一个运动电荷产生的磁场为：
3
0
4 r
rldIBd ?
??
??
?
?
dN
BdB
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?
dN = ndV体 = nSdl
电流元内电荷的数目为：
3
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3
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4 r
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?
?运动电荷的磁场公式：
lId? ? P
r? ?
Bd?
S
dN
电流元产生的磁场：
19
例 7,氢原子中的电子，以速率 v在半径为 r的圆周轨道
上作匀速率运动。求电子在轨道中心产生的磁感应强
度。
解：
?
B?
r?O e
v?应用运动电荷的磁场公式：
3
0
4 r
rvqB ??? ??
?
?
可得：
2
0
e
4 r
vB
?
?? 方向如图所示。
本题亦可应用圆电流在中心产生的磁场公式
求解。 rIB 20??
T
qI
?? T
e
? r
ev
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r
IB
2
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r
ev
r ?
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2
0
e
4 r
v
?
?? 方向如图所示。
20
解：
例 8,一塑料圆盘，半径为 R，电荷 q均匀分布于表面，
圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度 ?，求盘
心的磁感应强度。
将圆盘分划成许多圆环，
r dr
r d rRqdq ?? 22? 2
2 R
r d rqdqdI
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2
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22 R
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21
例 9,在半径 R=1cm的, 无限长, 半圆柱形金属片中，
有电流 I=5A从下而上地通过，如图，试求圆柱轴线上
一点 P的磁感强度。
解：
Bd?
?
?? RdRIdI ?
将金属片分划成许多细长条，
R
dIdB
?
?
2
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2
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???
x
y
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根据对称性
)(103.6 5 T???
稳恒磁场
2
前 言
静止的电荷周围 — 电场。
主要内容：
1.描述磁场的基本物理量 —— 磁感应强度。
2.反映磁场性质的两条定理 —— 磁场的高斯定理和安
培环路定理。
磁现象与电现象有很多相似之处，但要注意不同之处。
3.磁场对运动电荷、载流导线的作用 —— 洛仑兹力，
安培力和磁力矩。
运动的电荷周围 — 电场和磁场。
4.磁介质的性质。
3
磁场 磁感应强度
毕奥 — 萨伐尔定律
4
NS SN
I
NS
一、磁的基本现象
N
S
F?
I
电与磁之间存在着内在的联系。
安培, 分子环流假说,,
一切磁现象都起源于电流。
总结,一切磁现象都可以归结为运动电荷（即电流）
之间的相互作用。磁力是电荷之间的另一种力。
5
磁铁和运动电荷（电流）会在周围空间激发场 ---磁场。
注意,无论电荷是运动还是静止，它们之间都存在库仑
相互作用，但只有运动着的电荷才存在着磁相互作用。
磁场的基本性质：对运动电荷（电流）有力的作用。
二、磁场
1）磁场对磁铁、对电流、对运动电荷均有作用力；
2）载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对它作功。
磁场是一种物质，
恒定磁场 — 在空间的分布不随时间变化的磁场。
其物质性体现在：
3） 变化的磁场在空间传播，表明磁场具有动量。
6
当运动电荷速度与磁场方向垂直时受到洛伦兹力 fL
最大。
当电荷运动速度与磁场 方向一
致时电荷受力为 零 。
当把运动电荷放在磁场中后，
它会受到一种与其速度有关的力，
这个力称为 洛仑兹力 。
三、磁感应强度
描述磁场性质的基本物理量。
1.磁感应强度的定义
v?
B?
q
Lf
?
v?? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
B?
q
定义,磁感应强度
大小,电荷运动速度电荷电量
仑兹力运动电荷受到的最大洛
??B
7
单位,特斯拉（ T）。
方向,小磁针在该点平衡时 N 极的指向。
qv
fB L m ax?
B?注意,的大小和方
向是分别定义的；四、毕奥 — 萨伐尔定律
研究一段电流元产生磁感应强度的规律。
lId? ? P
r?
lId?表述：电流元 在空间 点产生的磁场 为：P Bd?
3
0
4 r
rlIdBd ?
??
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lId?电流元,
Idl
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2
0
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8
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真空中的磁导率
r? 的方向：从电流元所在位置指向场点 P。
?? ??? L roL r elIdBdB 24 ??
????一段载流导线产生的磁场：
Bd? 的方向垂直于 和 所形
成的平面。
lId? r?
的方向。rlId ?? ?
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?方向：
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r
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Bd?
? 为 与 之间的夹角。lId? r
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9
3
0
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4.求 B 的分量 Bx, By, Bz ;
222
zyx BBBB ???
求总场。5.由
3,确定电流元的磁场
2.分割电流元 ;
1.建立坐标系 ;
计算一段载流导体的磁场
2.应用毕萨定律解题的方法
,?? xx dBB,?? yy dBB ?? zz dBB
,kBjBiBB zyx ???? ??? 222 zyx BBBB ???
直角坐标系：
?? ??? L roL r elIdBdB 24 ??
????
10
例 1:一段有限长载流直导线,通有电流为 I,求距 a 处
的 P 点磁感应强度。
解,
2
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分割电流元
I
11
? ?210 c o sc o s4 ???? ?? aIB
讨论,
1.无限长载流直导线的磁场：
,01 ?? ; 2 ?? ?
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2.半无限长载流直导线的磁场：
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3.载流导线延长线上任一点的磁场
0?? B? I
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12
I
分割电流元为无限多宽为 dx
的无限长载流直导线；
解,以 P 点为坐标原点，向右为坐
标正向；
电流元电流
a
P
b
dx
o x
xdxa
IdI ?
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例 2,一宽为 a 无限长载流平面，通有
电流 I,求距平面左侧为 b 与电流共
面的 P 点磁感应强度 B 的大小。
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13
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例 3,一载流圆环半径为 R
通有电流为 I，求圆环轴线
上一点的磁感应强度 B。
解,将圆环分割为无限
多个电流元；
电流元在轴线上产生的
磁感应强度 dB 为：
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I o x
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,4 20 rI d ldB ???
由对称性可知，
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14
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讨论,
1.载流圆环环心处 x = 0;
R
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o 2
0??有：
??B?
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x P
B?
2.圆弧电流中心处
?
R O??
B?
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R
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有：
R
I
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4
0?
15
例 4,一根无限长导线通有电流 I，中部弯成圆弧形，
如图所示。求圆心 o点的磁感应强度 B。
R
o
IIa b c d
0120
解：直线段 ab在 o点产生
的磁场：
030
)30c o s0( c o s30s i n4 00001 ?? R IB ? ?
)231(2 0 ?? RI??
垂直纸面向里
cd段：
)1 8 0c o s1 5 0( c o s30s i n4 00003 ?? R IB ? ? )2
31(
2
0 ??
R
I
?
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R
I
R
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63
1
2
00
2
?? ???产生的磁场圆弧 ? 垂直纸面向里
321 BBBB ???
R
I
R
I
6
)
2
31( 00 ?
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? ???
16
例 5,计算组合载流导体在 o 点的磁感应强度。
解,o 点 B 由三段载流导体产生。
cdbcabo BBBB
???? ???
规定垂直纸面向里为正向，
bcabo BBB ??? R
I
R
I
44
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? 11
4
0
R
I
R
a
b c d
例 6,一正方形载流线圈边长为 b,通有电流为 I,求正
方形中心的磁感应强度 B。
解,B= B1+ B2+ B3+ B4= 4B1
Io
b
?B?
2?
1?
,41 ?? ? 432 ?? ?
?????? ?? 43c o s4c o s2/44 0 ???? IB b I? ? 022?
17
五、运动电荷的磁场
考虑一段导体，其截面积
为 S，其中自由电荷的密度
为 n，载流子带正电 q，以
同一平均速度 运动。v? v
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I
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电流元产生的磁场相当于电流元内 dN 个运动电
荷产生的磁场。
dN = ndV体 = nSdl而电流元内电荷的数目为：
电流元产生的磁场为：
18
一个运动电荷产生的磁场为：
3
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dN = ndV体 = nSdl
电流元内电荷的数目为：
3
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?
?运动电荷的磁场公式：
lId? ? P
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Bd?
S
dN
电流元产生的磁场：
19
例 7,氢原子中的电子，以速率 v在半径为 r的圆周轨道
上作匀速率运动。求电子在轨道中心产生的磁感应强
度。
解：
?
B?
r?O e
v?应用运动电荷的磁场公式：
3
0
4 r
rvqB ??? ??
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可得：
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?? 方向如图所示。
本题亦可应用圆电流在中心产生的磁场公式
求解。 rIB 20??
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4 r
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?? 方向如图所示。
20
解：
例 8,一塑料圆盘，半径为 R，电荷 q均匀分布于表面，
圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度 ?，求盘
心的磁感应强度。
将圆盘分划成许多圆环，
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r d rRqdq ?? 22? 2
2 R
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21
例 9,在半径 R=1cm的, 无限长, 半圆柱形金属片中，
有电流 I=5A从下而上地通过，如图，试求圆柱轴线上
一点 P的磁感强度。
解：
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将金属片分划成许多细长条，
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根据对称性
)(103.6 5 T???
