1
静电场的能量
2
一、电容器储存的能量
电场是一种物质，具有物质的属性，它具有能量。
我们从电容器具有能量来说明电场的能量。
电容器带电过程可看成从一个极板移
动电荷到另一个极板的过程。 q?q?
E?
u
dq
能量的来源：电容器带电过程中外力克服电
场力所作的功转化为电容器贮存的能量。
移动 dq, 外力克服电场力所作的功为：
udqdA ?
某一瞬时，电容器所带电量为 q，极
板间的电势为 u。
dqCq?
dqdqdq
当电容器极板带电量从 0 到 Q 时，外力所作的总功为：
?? dAA 外 ?? Q dqCq
0 C
Q
2
2
?
3
?? dAA 外 ?? Q dqCq0 CQ2
2
?
外力所作的功全部转化为储存于电容器中的电能。
C
QAW
e 2
2
??? 外
2
2
1 CU?由 CUQ ? 有：
C
QW
e 2
2
?
2
2
1 CU?
C
QW
e 2
2
?
电荷是能量的携带者。两种观点：
电场是能量的携带者 — 近距观点。
这在静电场中难以有令人信服的理由，在电磁波的传播
中，如通讯工程中能充分说明场才是能量的携带者。
所以储存在电容器中的能量为：
QU21?
4
以充满介质的平行板电容器为例。
,0 d SC r??? EdU ?
2
2
1 CUW
e ?
20 )(
2
1 Ed
d
Sr??? SdE
r
2
02
1 ???
体VE
2
2
1 ??
体ED VW e 2
1?
由 ED ?? ?? 有：
体VEW e
2
2
1 ??? 体
ED V21? 体VD?
2
2
1?
体V
D
?
2
2
1?
结果讨论：
?电容器所具有的能量与极板间电场 和 有关,和
是极板间每一点电场大小的物理量，所以能量与电场
存在的空间有关，电场携带了能量。
E?
D?
E? D?
二、电场能量
5
?电容器所具有的能量还与极板间体积成正比，于是可
定义能量的体密度，它虽然是从电容器间有均匀场而
来但有其普遍性。
定义 电场能量密度：
体V
Ww e
e ?
意义,单位体积内的电场能量。
2
2
1 Ew
e ?? ED2
1?
?
2
2
1 D?
非均匀电场能量计算
?? Ve w d VW
只要确定 we 就可计算电场能量 We。
强调,电容器的能量亦可由 计算。
2
2
1 CU?
C
QW
e 2
2
?
6
例 1,平行板电容器真空时,,,,0000 DUE? 00 eWC
求,①,充电后断开电源，插入 ? r
的介质； ②,充电后保持电压不变，
插入 ?r 的介质；这两种情况下的
,,,,DUE? eWC,
r?
d
0??0?
K
0U
1.充电后断开电源极板上电量不变，
0?? ?
2.介质中场强
r
EE
?
0?
3.电压 dEU 00 ?
解：
插入介质后
EdU ? d
E
r?
0?
r
U
?
0?
① 断开电源后，插入 介质；
7
4.电位移矢量 00 ??D真空时
插入介质后
ED r?? 0?
r
r
E
?
?? 00?
0??
00 E??
0D?
由于 D = ?0,断开电源后 ?0 不
变,D 也不变。
0??0?
r?
d
K
0U
5.电容
由于电容器电容与电量无关，与介
质有关，充满介质时 0CC r??
6.能量,2
0
2
0
0 C
qW
e ?
C
qW
e 2
2
0?
0
2
0
2 C
q
r?
?
r
eW
?
0?插入介质后
8
解,电压不变即电键 K 不断开。 0??0?
r?
d
K
0U
1.电压 0UU ?
2.场强 0UU ??
,0 dEEd ? 0EE ??
3.自由电荷面密度
,
00
0
r??
?
?
? ?
0??? r?
②,充电后保持电压不变，插入 ?r 介质；
4.电位移矢量 D
00 ??D?
0??r? 0Dr????D
9
5.电容
由于电容器电容与电量无关，与
介质有关，充满介质时：
0CC r??
6.电容器能量 We
000 2
1 UqW
e ?
02
1 qUW
e ? 002
1 Uq
r??
0erW??
由于 q增多而增加的能量，大
于插入介质损失的能量，所以
We也增加。
真空时
0??0?
r?
d
K
0U
10
例 2,同轴电缆由内径为 R1、外径为
R2的两无限长金属圆柱面构成，单位
长度带电量分别为 +?,-?，其间充
有 ?r 电介质。求,①两柱面间的场
强 E；②电势差 U；③单位长度电容 ；
④单位长度贮存能量。 2R
1R
?
??
r? rh解,① 极板间作高为 h 半径为 r
的高斯柱面，
0??? ?? qSdD
??
,2 hrhD ?? ?
rD ?
?
2??
场强
r
DE
?? 0? rr???
?
02
?
由介质中高斯定理：
11
② 极间电压
?? 21RR Ed r? ?? 2
1
12
R
R
ldEU ?? 1
2
0
ln
2 R
R
r???
??
?? 21
02
R
R
r r
dr
???
?
?
2R
1R
??
r?
rh
③ 单位长度电容
h 长电容
12U
hC ??
)/l n (
2
12
0
RR
hr????
单位长度电容 )/l n (
2
12
0
RR
r????
h
Cc ?
1
2
0
2
ln
4 R
Rh
r???
??
单位长度贮存能量 h
Ww e
e ?
1
2
0
2
ln4 RR
r???
??
④ h 长贮存能量
122
1 qUW
e ?
1
2
0
ln221 RRh
r???
???
12
例：一平板电容器面积为 S，间距 d，用电源充电后，两
极板分别带电为 +q和 -q,断开电源，再把两极板拉至 2d
，试求：外力克服电力所做的功。 两极板间的相互作用
力？
解, 根据功能原理可知，外力的功等于系统能量的增量。
电容器两个状态下所存贮的能量差等于外力的功。
q?q
d2
1
2
2
2
22 C
q
C
qWA ???? q?q
d
初态
末态
S
dq
r?? 0
2
2
?
1
2
2C
q?
若把电容器极板拉开一倍的距离，所需外力的
功等于电容器原来具有的能量。
21
21
2
2 CC
CCq ??
外力反抗极板间的电场力作功 dFA ???
S
q
Sd
dq
d
AF
rr ???? 0
2
0
2
22
????
静电场的能量
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一、电容器储存的能量
电场是一种物质，具有物质的属性，它具有能量。
我们从电容器具有能量来说明电场的能量。
电容器带电过程可看成从一个极板移
动电荷到另一个极板的过程。 q?q?
E?
u
dq
能量的来源：电容器带电过程中外力克服电
场力所作的功转化为电容器贮存的能量。
移动 dq, 外力克服电场力所作的功为：
udqdA ?
某一瞬时，电容器所带电量为 q，极
板间的电势为 u。
dqCq?
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当电容器极板带电量从 0 到 Q 时，外力所作的总功为：
?? dAA 外 ?? Q dqCq
0 C
Q
2
2
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3
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2
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外力所作的功全部转化为储存于电容器中的电能。
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2
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2
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C
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2
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2
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电荷是能量的携带者。两种观点：
电场是能量的携带者 — 近距观点。
这在静电场中难以有令人信服的理由，在电磁波的传播
中，如通讯工程中能充分说明场才是能量的携带者。
所以储存在电容器中的能量为：
QU21?
4
以充满介质的平行板电容器为例。
,0 d SC r??? EdU ?
2
2
1 CUW
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20 )(
2
1 Ed
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2
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2
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2
2
1?
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2
2
1?
结果讨论：
?电容器所具有的能量与极板间电场 和 有关,和
是极板间每一点电场大小的物理量，所以能量与电场
存在的空间有关，电场携带了能量。
E?
D?
E? D?
二、电场能量
5
?电容器所具有的能量还与极板间体积成正比，于是可
定义能量的体密度，它虽然是从电容器间有均匀场而
来但有其普遍性。
定义 电场能量密度：
体V
Ww e
e ?
意义,单位体积内的电场能量。
2
2
1 Ew
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1?
?
2
2
1 D?
非均匀电场能量计算
?? Ve w d VW
只要确定 we 就可计算电场能量 We。
强调,电容器的能量亦可由 计算。
2
2
1 CU?
C
QW
e 2
2
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6
例 1,平行板电容器真空时,,,,0000 DUE? 00 eWC
求,①,充电后断开电源，插入 ? r
的介质； ②,充电后保持电压不变，
插入 ?r 的介质；这两种情况下的
,,,,DUE? eWC,
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1.充电后断开电源极板上电量不变，
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2.介质中场强
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3.电压 dEU 00 ?
解：
插入介质后
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0?
① 断开电源后，插入 介质；
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4.电位移矢量 00 ??D真空时
插入介质后
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由于 D = ?0,断开电源后 ?0 不
变,D 也不变。
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5.电容
由于电容器电容与电量无关，与介
质有关，充满介质时 0CC r??
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8
解,电压不变即电键 K 不断开。 0??0?
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1.电压 0UU ?
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3.自由电荷面密度
,
00
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②,充电后保持电压不变，插入 ?r 介质；
4.电位移矢量 D
00 ??D?
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9
5.电容
由于电容器电容与电量无关，与
介质有关，充满介质时：
0CC r??
6.电容器能量 We
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02
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由于 q增多而增加的能量，大
于插入介质损失的能量，所以
We也增加。
真空时
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10
例 2,同轴电缆由内径为 R1、外径为
R2的两无限长金属圆柱面构成，单位
长度带电量分别为 +?,-?，其间充
有 ?r 电介质。求,①两柱面间的场
强 E；②电势差 U；③单位长度电容 ；
④单位长度贮存能量。 2R
1R
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的高斯柱面，
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场强
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由介质中高斯定理：
11
② 极间电压
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1
12
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③ 单位长度电容
h 长电容
12U
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2
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2
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单位长度贮存能量 h
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④ h 长贮存能量
122
1 qUW
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12
例：一平板电容器面积为 S，间距 d，用电源充电后，两
极板分别带电为 +q和 -q,断开电源，再把两极板拉至 2d
，试求：外力克服电力所做的功。 两极板间的相互作用
力？
解, 根据功能原理可知，外力的功等于系统能量的增量。
电容器两个状态下所存贮的能量差等于外力的功。
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功等于电容器原来具有的能量。
21
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外力反抗极板间的电场力作功 dFA ???
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