1
磁通量 磁场的高斯定理
磁场的安培环路定理
2
为形象的描绘磁场分布的而引
入的一组有方向的空间曲线。
?方向,磁力线上某点的切线方向为该点磁场方向。
?大小,通过磁场中某点垂直于磁
感应强度的单位面积的磁力线根数
等于该点磁感应强度的大小。
?dS
?
?
dS
dB m?
B?
磁感应强度大小为磁力线的面密度。
md?
一、磁场的高斯定理
1.磁力线
1.规定 A
B
AB
? BB?
可用磁力线的 疏密程度表示磁感应强度的大小 。
3
?直线电流的磁力线分布
I
2.磁力线形状
1.磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远；
2.磁力线密处 B 大；磁力线疏处 B 小；
3.闭合的磁力线和载流回路象锁链互套在一起；
4.磁力线和电流满足右手螺旋法则。
3.磁力线的性质
?载流螺线管的磁力线分布
4
1.穿过一面元的磁通量
md?
nedSSd
?? ?
ne
? 为法线方向单位矢量。
?
ne
?
B?
dS
式中：
2.磁通量
定义,通过任一曲面的磁力线的条
数称为通过这一面元的 磁通量 。
SdBd m ?? ???
称为 面元矢量 。
??? mm d ??
?c o s??? B d S
?? ?? SdB ??
S
B?
md?
dS2.穿过某一曲面的磁通量
磁通量单位,韦伯,Wb
5
3.穿过闭合曲面的磁通量
规定,取闭合面外法线方向为正向。
磁力线穿出闭合面为正通量，
磁力线穿入闭合面为负通量。
??? mm d ??
?
?
ne?
ne?
B?
B?2
?? ?
2
???
定理表述,穿过任意闭合面的磁通量等于零。
0??? ?? SdBm ???
磁场中的高斯定理阐明了磁场的性质：
?磁场是无源场，磁力线为闭合曲线。
3.磁场中的高斯定理
证明,由于磁力线为闭合曲线，穿入穿出闭合
面的磁力线根数相同，正负通量抵消。
?? ?? SdB ??
6
磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围的
电流代数和乘以 ?0。
? ???L IldB 0???
二、安培环路定理
1.定理表述
数学表达式：
(3)环路定理只适用于闭合电流或无限电流,有限电流
不适用环路定理，只能用毕奥 — 萨伐尔定律。
(1)电流正负规定,电流方向与环路方向满足右手定
则时电流 I 取正；反之取负。
2.明确几点
(2) 为环路上一点的磁感应强度，不是任意点的，它
与环路内外电流都有关。
B?
(4)安培环路定理说明磁场性质 — 磁场是有旋场。
7
长直导线周围的 B 线为一系列的同心圆，选取路
径方向与磁 感应强度方向 相同；
左边 = ?? L B d l ?c o s
由于环路上各点的磁感应强
度大小相等；且
1c o s,0 ?? ??
I? ?L ldB
??
左边 = rr
IdlB
L
??? 22 0? ?I0??
右边 = ? ? II 00 ??
推广到任意路径都成立，证毕。
左边 =右边 定理成立。
特例,以无限长载流直导线为例。
ldB ?? //
B
L?
8
3.选取环路原则
目的是将,
或
(1)环路要经过所研究的场点。
利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁
场分布的对称性,选取合适的闭合环路 。
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种
方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求 磁场具有
高度的对称性 。
(2)环路的长度便于计算；
(3)要求环路上各点 大小相等,的方向与环路方向
一致，
B?B?
的方向与环路方向垂直，B?
? ???L IldB 0???
写成
?
??
dl
IB 0?
0co s,?? ?ldB ?? ? ??
L ldB 0
??
9
例 1,密绕载流螺线管通有电流为 I,线圈密度为 n，
求管内一点的 磁感应强度 。,..............
解,理想密绕螺线管，管内的磁
场是均匀的，管外的磁场为 0 ；
作闭合环路 abcda,环路内的
电流代数和为：
a b
d c 0?外B?IabnI? ?
????? ?????????
a
d
d
c
c
b
b
a
ldBldBldBldBldB
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0???
d
c
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??螺线管外：
?
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b
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10
2
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II ?
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R
I
IRr 2
2
?
环路内电流代数和为：
L
r
r < R 区域选取半径为 r 的环路，
解,导体内外的磁场是以中心轴线为对称分布的。
例 2,圆柱形载流导体半径为 R,通有电流为 I,电
流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁感
应强度的分布。
由于环路上各点 磁感应强度 大小相
等，方向与环路一致。
,// ldB ?? 1c o s ??
1.圆柱体内部
11
环路内电流代数和为,II? ?
2.圆柱体外一点 r > R 区域在圆柱体外作一环路，
R
I
L r
L
r
rRIB 202 ??? r?
同理：
r
IB
?
?
2
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r
1??
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??? ldB ??
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2
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分布曲线,rB ? rB
1?
R
B
o r
R
I
?
?
2
0
12
例 3,一环形载流螺线管，匝数为
N,内径为 R1,外径为 R2,通
有电流 I,求管内磁感应强度。
解,在管内作环路半径为 r的圆环,
? ? NII
r
o 1R
2R
环路内电流代数和为：
? ???L IldB 0????
NIrB 02 ?? ?
r
NIB
?
?
2
0??
当 r >> ( R2 – R1) 时
nrN ??2 为沿轴向线圈密度；
nIB 0?? 与直螺管的结论一致。
13
例 4,无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体
薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外
的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直
的单位长度的电流）到处均匀。大小为 。j
'dl ''dl
''Bd?
'Bd?
Bd? p
o
解,视为无限多平行长
直电流的场。
分析求场点 p的对称性
做 po 垂线，取对称的长
直电流元，其合磁场方
向平行于电流平面。
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点 B
的大小相等。 在该平面两侧的磁场方向相反。
无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。
14
'dl ''dl
''Bd?
'Bd?
Bd? p
o
a b
cd
作一安培回路如图：
bc和 da两边被电流平
面等分。 ab和 cd 与电
流平面平行,则有,
jllBldB oL ????? 2??
l
2
jB o???
结果
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均
匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
方向如图所示。
15
I
2d
1d
h
r
rBldB
L
?2
)(
????
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r
INB
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nrN ??2
nIB 0?? 与直螺管的结论一致 。
当 r >> ( R2 – R1) 时
为沿轴向线圈密度；
例 5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，
其上均匀绕有 N匝线圈，线圈中通有电流 I。试求：
（ 1）环内距轴线为 r 远处的磁感应强度；（ 2）通过
螺线管截面的磁通量。
磁通量 磁场的高斯定理
磁场的安培环路定理
2
为形象的描绘磁场分布的而引
入的一组有方向的空间曲线。
?方向,磁力线上某点的切线方向为该点磁场方向。
?大小,通过磁场中某点垂直于磁
感应强度的单位面积的磁力线根数
等于该点磁感应强度的大小。
?dS
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B?
磁感应强度大小为磁力线的面密度。
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一、磁场的高斯定理
1.磁力线
1.规定 A
B
AB
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可用磁力线的 疏密程度表示磁感应强度的大小 。
3
?直线电流的磁力线分布
I
2.磁力线形状
1.磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远；
2.磁力线密处 B 大；磁力线疏处 B 小；
3.闭合的磁力线和载流回路象锁链互套在一起；
4.磁力线和电流满足右手螺旋法则。
3.磁力线的性质
?载流螺线管的磁力线分布
4
1.穿过一面元的磁通量
md?
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? 为法线方向单位矢量。
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式中：
2.磁通量
定义,通过任一曲面的磁力线的条
数称为通过这一面元的 磁通量 。
SdBd m ?? ???
称为 面元矢量 。
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dS2.穿过某一曲面的磁通量
磁通量单位,韦伯,Wb
5
3.穿过闭合曲面的磁通量
规定,取闭合面外法线方向为正向。
磁力线穿出闭合面为正通量，
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?磁场是无源场，磁力线为闭合曲线。
3.磁场中的高斯定理
证明,由于磁力线为闭合曲线，穿入穿出闭合
面的磁力线根数相同，正负通量抵消。
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6
磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围的
电流代数和乘以 ?0。
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二、安培环路定理
1.定理表述
数学表达式：
(3)环路定理只适用于闭合电流或无限电流,有限电流
不适用环路定理，只能用毕奥 — 萨伐尔定律。
(1)电流正负规定,电流方向与环路方向满足右手定
则时电流 I 取正；反之取负。
2.明确几点
(2) 为环路上一点的磁感应强度，不是任意点的，它
与环路内外电流都有关。
B?
(4)安培环路定理说明磁场性质 — 磁场是有旋场。
7
长直导线周围的 B 线为一系列的同心圆，选取路
径方向与磁 感应强度方向 相同；
左边 = ?? L B d l ?c o s
由于环路上各点的磁感应强
度大小相等；且
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推广到任意路径都成立，证毕。
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8
3.选取环路原则
目的是将,
或
(1)环路要经过所研究的场点。
利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁
场分布的对称性,选取合适的闭合环路 。
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种
方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求 磁场具有
高度的对称性 。
(2)环路的长度便于计算；
(3)要求环路上各点 大小相等,的方向与环路方向
一致，
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例 1,密绕载流螺线管通有电流为 I,线圈密度为 n，
求管内一点的 磁感应强度 。,..............
解,理想密绕螺线管，管内的磁
场是均匀的，管外的磁场为 0 ；
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例 2,圆柱形载流导体半径为 R,通有电流为 I,电
流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁感
应强度的分布。
由于环路上各点 磁感应强度 大小相
等，方向与环路一致。
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例 3,一环形载流螺线管，匝数为
N,内径为 R1,外径为 R2,通
有电流 I,求管内磁感应强度。
解,在管内作环路半径为 r的圆环,
? ? NII
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环路内电流代数和为：
? ???L IldB 0????
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13
例 4,无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体
薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外
的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直
的单位长度的电流）到处均匀。大小为 。j
'dl ''dl
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解,视为无限多平行长
直电流的场。
分析求场点 p的对称性
做 po 垂线，取对称的长
直电流元，其合磁场方
向平行于电流平面。
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点 B
的大小相等。 在该平面两侧的磁场方向相反。
无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。
14
'dl ''dl
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作一安培回路如图：
bc和 da两边被电流平
面等分。 ab和 cd 与电
流平面平行,则有,
jllBldB oL ????? 2??
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结果
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均
匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
方向如图所示。
15
I
2d
1d
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当 r >> ( R2 – R1) 时
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例 5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，
其上均匀绕有 N匝线圈，线圈中通有电流 I。试求：
（ 1）环内距轴线为 r 远处的磁感应强度；（ 2）通过
螺线管截面的磁通量。
