1
运动电荷产生的磁场
磁场对运动电荷的作用
2
一、运动电荷的磁场
考虑一段导体，其截面积
为 S，其中自由电荷的密度
为 n，载流子带正电 q，以
同一平均速度 运动。v? v
v?
I
S
+
+
+
+ ++
+ +
++ +
+ +
+
+
+
+
+ ++
++
+
+
+ +
+
+
t
qI
?
?? Nq?? n q v S?Vqn ??
3
0
4 r
rldIBd ?
??
??
?
?
lId?在该导体上选取一个电流元,
lId?
? P
r? ?
Bd?
S
dN
电流元产生的磁场相当于电流元内 dN 个运动电
荷产生的磁场。
dN = ndV体 = nSdl而电流元内电荷的数目为：
电流元产生的磁场为：
3
一个运动电荷产生的磁场为：
3
0
4 r
rldIBd ?
??
??
?
?
dN
BdB
??
?
dN = ndV体 = nSdl
电流元内电荷的数目为：
3
0
4 rdl
rvd l q ?? ??
?
?
3
0
4 rdN
rldI ?
?
??
?
?
3
0
4 rdlnS
rldvS n q ?
?
??
?
?
3
0
4 r
rvq ?? ??
?
?
3
0
4 r
rvqB ??? ??
?
?运动电荷的磁场公式：
lId? ? P
r? ?
Bd?
S
dN
电流元产生的磁场：
4
例, 氢原子中的电子，以速率 v在半径为 r的圆周轨道
上作匀速率运动。求电子在轨道中心产生的磁感应强
度。
解：
r? O?
B?
e
v?应用运动电荷的磁场公式：
3
0
4 r
rvqB ??? ??
?
?
可得：
2
0
e
4 r
vB
?
?? 方向如图所示。
本题亦可应用圆电流在中心产生的磁场公式
求解。 rIB 20??
T
qI
?? T
e
? r
ev
?2 ?
r
IB
2
0???
r
ev
r ?
?
22
0 ??
2
0
e
4 r
v
?
?? 方向如图所示。
5
解：
例, 一塑料圆盘，半径为 R，电荷 q均匀分布于表面，
圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度 ?，求盘
心的磁感应强度。
将圆盘分划成许多圆环，
r dr
r d rRqdq ?? 22? 2
2 R
r d rqdqdI
?
?
?
? ??
2
00
22 R
drq
r
dIdB
?
??? ??
R
q
R
drqdBB R
?
??
?
??
22
0
0 2
0?? ???
,2 2Rq r d r?
2
0
2
0
24 R
drq
r
dqvdB
?
??
?
? ??或
6
B?
电量为 q 电荷在磁场中受到的洛
仑兹力,?
v?
Bvqf L ??? ??
大小,
Bvfq L ??? ?? //,0
Bvfq L ??? ??? )//(,0
?
Lf
?
B???
Lf
?
二、洛仑兹力
?s inq v Bf L ?
方向,
垂直由 和 构成的平面。
Lf
? v? B?
q
B??
v?
q
? v?q洛仑兹力不对运动电荷作功，
它只改变带电粒子的运动方向，并
不改变带电粒子的速率和动能。
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以速度 v 置入一带电量为
q 的粒子，粒子受到电场和磁
场的共同作用。
+
+
+
-
-
-
E 速
度
选
择
器
Fe fL?
?
?
?
B
当粒子速度较小时，电场力大于洛伦兹力，粒子
向左偏转被左极板吸收。
(1)质谱仪的工作原理
1.质谱仪
当粒子速度较大时，电场力小于洛伦兹力，粒子向
右偏转被右极板吸收。
当粒子速度满足电场力等于洛伦兹力时，
,Le fF ?,qv BqE ?
B
Ev ?
粒子竖直向下运动穿过狭缝进入下方磁场 B’ ；
通过调整 E
和 B可选择
粒子速度。
v?
三、带电粒子在磁场和电场中的运动
8
R?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B’
?
?
?
?
+
+
+
-
-
- v
E
速
度
选
择
器
Fe fL
B
'qB
mvR ?
质量大的同位素粒子，轨道半径大，质量小的同位素粒
子，轨道半径小。不同质量的粒子在胶片屏上留下不同
的质谱线。
在 B’ 中作圆周运动的轨道
半径为：
根据质谱线的位置，可推出同位素的质量。
(2)同位
素 有相同的质子数和电子数，
但中子数不同的元素。它们的
化学性质相同，无法用化学的
方向将它们分离开。
'qB
mvR ?
由 知, 质谱线：
9
其结构为金属双 D 形盒，在其
上加有磁场和交变的电场。
2.回旋加速器
由于金属具有静电屏蔽作用，
带电粒子在磁场的作用下作圆
周运动，进入缝隙后，电场极
性变换，粒子被反向加速，进
入右半盒，由于速度增加，轨
道半径也增加。然后又穿过缝
隙，电场极性又变换，粒子不
断地被加速。
将一粒子置于双 D形盒
的缝隙处，在电场的作用
下，进入左半盒。
~
?
?
?
?B
?
?
?
?B
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(1)原因, 是由于运动电荷在
磁场中受洛伦兹力的结果。
载流导体的宽为 b,厚为 d。通有电流 I 。
1879年霍耳发现，把一载流导体放在磁场中，如果磁场方
向与电流方向垂直，则在与磁场和电流二者垂直的方向上出现
横向电势差，这一现象称之为霍耳现象。
I
b
d
VH q
3.霍尔效应
以载流子是正电荷为例,
B?
Lf
?
v?
eF
?
E?nqR H
1?
为霍尔系数。
d
IBRV
HH ??
11
Bv ?? ?
运动轨迹为一圆周，洛伦兹
力充当向心力。
,
2
R
vmf
L ?
? ????? ????
? ???? ???
? ????
B?R
Lf
?
v?q
R
vmq v B 2
2si n ?
?
qB
mvR ??
周期,v RT ?2? qB
mv
v
?2?
qB
m?2?
2.带电粒子在均匀磁场中的运动
1.带电粒子垂直进入磁场
,2s i n ?q v Bf L ??
有：
结论
周期与粒子运动速度无关，速度大的粒子轨道半
径大，走的路程长，速度小的粒子轨道半径小走的路
程短，但周期都是相同的。
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Bv ?? //
00s i n ?? q vBf L0??由于,
带电粒子不受力，作匀速直线运动。
B?v?
q
2.带电粒子平行进入磁场
3.带电粒子以任意角度进入磁场
?v v?
? B?
//v
播放动画
带电粒子以 ? 角进入磁场 。 其合运动为螺旋线运动。
在垂直 磁场 的方向上作圆
周运动，在平行于磁场 的方向
上作匀速直线运动。
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螺距 h：
Tvh //?
qB
mvh ?? c o s2?
qB
mT ?2? Tv c o s ??
螺线上相邻两个圆周的对应点之间的距离。
?v v?
? B?
//v
h
* 磁聚焦
一束发散角不大的带电粒子束，若这些粒子沿磁场方
向的分速度大小又一样，它们有相同的螺距，经过一
个周期它们将重新会聚在另一点这种发散粒子束会聚
到一点的现象叫 磁聚焦。
h
B?
??? vvvvvv ???? ? s i n,c o s//
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它广泛应用于电真空器件中如电子显微镜中。它
起了光学仪器中的透镜类似的作用。
3.带电粒子在非均匀磁场中的运动
x?
B?
y?一个带电粒子
进入轴对称会
聚磁场，如图
所示，在 YZ平
面内的速度分
量与磁场的 X
分量的洛仑兹
力，使其在 YZ
平面内做圆周
运动。
y
V?
z
x
F?
y
z
xB
zV
yV
由于磁场的不均匀，洛
仑兹力的大小要变化，
所以不是匀速圆周运动。
且半径逐渐变小。
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yB
zV
F?
yB
zV
F?
当有一个向强场方向
的速度分量，它不仅
螺旋前进，而且还受
一个反方向的力，阻
止它前进。 最后使沿磁场
的运动被抑制，
而被迫反转。
象被“反射”
回来一样。这
称之为 磁镜。
x?
B?
y?
a
b
在 a点受力分析：
有使得粒子 Vz逐渐
增大的力，也有使
其减少的力。
xB
yV
zF
yB
xVzF
结论,带电粒子进入轴对称的会聚磁场，它便被约
束在一根磁力线附近的很小范围内，它只有纵向沿磁
力线的运动，而无横向跨越。或说在横向输运过程中
它受到很大的限制。
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* 磁约束 用于受控热
核反应中
B?
I I
* 范阿仑辐射带 Van Allen belts 地轴
带电粒子（如宇宙射线的带
电粒子）被地磁场捕获，绕地磁
感应线作螺旋线运动，在近两极
处地磁场增强，作螺旋运动的粒
子被折回，结果沿磁力线来回振
荡形成 范阿仑辐射带。 因为它具有较高的能量，
曾在人造卫星的发射等
空间科学中发现了它，
并给予了必要的考虑。
当太阳黑子活动引起空间磁场的变
化，使粒子在两极处的磁力线引导
下，在两极附近进入大气层，能引
起美妙的北极光。