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电介质的极化
电介质中的高斯定理
2
一、电介质的极化
从电场这一角度看,电介质就是绝缘体。
我们只讨论静电场与各向同性电介质的相互作用。
将电介质放入电场，表面出现电荷。
0E
?
这种在外电场作用下电介质表面
出现电荷的现象叫做 电介质的极化 。
所产生的电荷称之为“极化电荷”。
在电介质上出现的极化电荷是正负
电荷在分子范围内微小移动的结果，
所以极化电荷也叫“束缚电荷”。
极化现象
特点：电介质体内只有极少自由电子。
3
0E
?
'0 EEE ??? ?? 0E??
电介质内部的总场强
极化电荷所产生的附加电场不足以将介质中的外电
场完全抵消，它只能削弱外电场。 称为退极化场。
介质内部的总场强不为零！
'E?
E?
'?'??
电介质在外场中的性质相当于在
真空中有适当的束缚电荷体密度分布
在其内部。因此可用 和 的分布来
代替电介质对电场的影响。
'? '?
在外电场 中，介质极化产生的束
缚电荷，在其周围无论介质内部还是外
部都产生附加电场 。'E?
0E
?
在各向同性均匀电介质中：
r
EE
?
0
??
?
称为相对介电常数或电容率。
r?
4
真空中的高斯定理
0
0
0 ??
??? ??? qSdE
S
??
自由电荷
总场强
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
??? ??
SrS
qSdE 0
0
1
??
??
??? ??
SS
r qSdE 00
????
? 定义,电位移矢量
ED r
d e f ??
?? 0?
1.介质中的高斯定理
在各向同性均匀
电介质中：
r
EE
?
0
??
?
在介质中：
0
0 )(
?
? ???
??
???
qq
SdE
S
??
极化电荷
r
q
qq
?
?? ??? 0
0 )(
0E
?
'0 EEE ??? ??
?? 'E?
5
? 定义,电位移矢量
ED r
d e f ??
?? 0?
??? ??
SS
qSdD 0
??
介质中的高斯定理
1）线上每一点的切线方向为该点电位移矢量的方向；
2）通过垂直于电位移矢量的单位面积的电位移线数
目应等于该点电位移矢量的大小。
建立电位移线：
介质中的高斯定理意义,通过任一闭合曲面的电位移
通量，等于该曲面内所包围的自由电荷的代数和。
??? ??
SS
qSdD 0??
介质中的高斯定理：
?? ??
S
D SdD
??? 称为穿过闭合面 S的电位移通量。
??? ??
SS
r qSdE 00
????
6
??? ??
SS
qSdD 0??
说明：
?介质中的高斯定理不仅适用于介质，也适用于真空。
?高斯面上任一点 D是由空间总的电荷的分布决定的，
不能认为只与面内自由电荷有关。
?电位移矢量是为消除极化电荷的影响而引入的辅助物
理量，它既描述电场，同时也描述了介质的极化。
单位,库仑 /米 2，方向,与介质中的场强方向相同。
2.电位移矢量 ? 定义,电位移矢量 ED
r
d e f ??
?? 0?
ED r ?? 0??? E??? 0??? r? 称为介电常数，
ED ??.在各向同性介质中 关系,EED r ??? ??? ?? 0
在各向同性均匀电介质中
7
如果电荷和介质的分布具有一定对称性，可利用介
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用
介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电
位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
3.介质中高斯定理的应用
8
例 1,将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 ?r 的介
质球中心，求,I 区,II区的 D,E,及 U。
r?
I
II
Rq
解,在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
r
r
高斯面
??? ?? 0qSdDS ??
???? 0c o s qD dSS ?
球面上各点 D大小相等，
,// SdD ??
1c o s ??
,4 02 ?? qrD ?
2
0
4 r
q
D
?
???
I区,21 4 r
qD
?? II区,22 4 r
qD
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由
ED r?? 0?
9
I区：
r
DE
?? 0
1
1 ?
II区：
2
04 r
q
r???
?
r
DE
?? 0
2
2 ? 2
04 r
q
??
?
r
E
?
0?
0E?
? ? ?? aa ldEU ??
由
??? a E d r
?? ??? RRr drEdrEU 211
drrqdrrq RRr
r
???? ? 2
0
2
0 44 ?????
I区：
R
q
Rr
q
r 00 4
11
4 ????? ???
??
?
? ??
??? r drEU 22
dr
r
q
r??
?
2
04 ??
q
04 ??
?II区：
r?
I
II
Rq
r
r
高斯面
10
例 2,平行板电容器极板间距为 d,极板面积为 S，面电
荷密度为 ?0,其间插有厚度为 d’, 电容率为 ?r 的电介质。
求, ①, P1, P2点的场强 E；②,电容器的电容。
'd
0??0?
d
r?
1P 2P
解,①, 过 P1 点作高斯柱面,左右底面分别经过导体
和 P1 点。
??? ??? 0qSdDSD ???
侧右底左底 DDDD ???? ???
高
斯
面
D?
0?左底D?
0?侧D?
导体内 D=0
SdD ??? ?
右底DD ?? ? ??? 右底 ?c o s1 dSD
SD1? Sq 00 ????
01 ??? D
11
过 P2点作高斯柱面,左右底面
分别经过导体和 P2点。
侧右底左底 DDDD ???? ???
00 ??? 右底DD ??
同理
?? 0q
SD2 S0?? 02 ??D21 DD ??,
0??
01 ??? D
r
DE
?? 0
1
1 ?
0
0
?
??
r
DE
?? 0
2
2 ?
r??
?
0
0?
0??0?
d
'd
r?
1P 2P高
斯
面
D
12
I区：,01 ??D
II区：,02 ??D
0
0
1 ?
??E
r
E
??
?
0
0
2 ?
②,求电容 C
由
abU
qC ?
EdU ab ?与
abU
qC ?
')'( 21
0
dEddE
S
???
?
')'(
0
0
0
0
0
ddd
S
r??
?
?
?
?
??
?
r
d
dd
S
?
?
'
'
0
??
?
0??0?
d
'd
r?
1P 2P高
斯
面
D
13
例 3,平行板电容器极板面积为 S，充满 ?r1,?r2 两种介
质，厚度为 d1, d2。 ①,求电容 C；②,已知板间电压
U，求 ?0,E,D。
d
1d
1r?
2d
2r?
解,①,设电容带电量 q
abU
qC ?
2211 dEdE
q
?
?
2
20
0
1
10
0
0
dd
S
rr ??
?
??
?
?
?
?
2
2
1
1
0
rr
dd
S
??
?
?
?
也可视为两电容器串联
,
1
10
1 d
SC r??? 2
20
2 d
SC r???
14
21
111
CCC ??
21
21
CC
CCC
?
?
2
2
1
1
0
rr
dd
S
??
?
?
?串联
d
1d
1r?
2d
2r?
②,已知 U，求 ?0,E,D。
S
q?
0? ?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
1
1
0
rr
dd
S
SU
??
?
2
2
1
1
0
rr
dd
U
??
?
?
? S
CU?
15
10
0
1
r
E
??
??
10
2
2
1
1
0
r
rr
dd
U
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
2
1
1
r
rr
dd
U
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
20
0
2
r
E
??
??
20
2
2
1
1
0
r
rr
dd
U
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
1
1
r
rr
dd
U
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
1101 ED r???
10
0
10
r
r ??
????
0??
2
2
1
1
0
rr
dd
U
??
?
?
?
2202 ED r???
20
0
20
r
r ??
????
0??
021 ??? DD