1
等势面 电势梯度
2
?? ?? aa ldEU ??引,….,场强电势的积分关系
等势面,将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫
做等势面,即 的空间曲面称为等势面。等
势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。
CzyxU ?),,(
规定,画等势面时，相邻两个等势面的电势差为常数。
等势面 等势面
一、等势面
3
等势面的性质：
证明：
1.在静电场中，沿等势面移动电荷时，静电场力对此
电荷不作功。
ld?
M
N
E?
)(0 ba UUq ??
? ??? ba abUqldEqA 00 ?? a
b
等势面0?
2.除电场强度为零处外，电力线与等势面垂直。
证明：
0c o s ???? ?E d lldEdA MN ??? ldE ???
3.由于 规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等
势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方
，场强较小。
因为将单位正电荷从等势面上 M点移到
N点，电场力做功为零，而路径不为零。
4
因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，
电势能减少。
4.电力线 的方向 指向电势降低的方向。
证明,假设电荷 q0由 2移到 1，
12 UU ??012 ?? UU
E?
2
等势面
ld?1
122121 )( pppp EEEEA ????? 0)( 120 ??? UUq
的方向为电势降低的方向。E?
U
ld?
dn
dUU ?
3P
1P
2P
E?
ne
?
1
2
取两个相邻近的等势面 1
和 2，电势分别为 U和 U+dU,
且 dU>0,.
规定,等势面的法线正方向为指
向电势升高的法线方向。
二、电势梯度
5
nedn
dUg r a d U ??
定义电势梯度矢量：
大小：
方向：
dn
dU
写成矢量式,U??
算符 ??g r a d
k
z
j
y
i
x
???
?
??
?
??
?
??
电势梯度 是一个矢量，U?
它的方向是沿电力线的切向并指向电势升高的方向。
如果过 P1沿 方向的电势增加率为, 与 的夹角
为 ?。
ld?
dl
dU ld?
ne
?
?c o sdndUdldU ?
沿着等势面的正法线方向。
?
有：
U
ld?
dn
dUU ?
3P
1P
2P
E?
ne
?
1
2
)c os( ?dldn ??
6
根据场强与电势的积分关系，有：
21 UUldE ???
?? )( dUUU ??? dU??
即,dUdlE ???c o s
?c o sdl
dUE ???
dn
dU??
电场强度的方向与电势梯度矢量
的方向相反，即 与 反向。E?
ne
?
写成矢量式：
nedn
dUE ?? ??
电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量
的负值。
场强与电势的微分关系
gr adU?? U???
?U
ld?
dn
dUU ?
3P
1P
2P
E?
ne?
1
2
三、场强与电势的微分关系
7
在直角坐标系中：
k
z
Uj
y
Ui
x
UE ????
?
??
?
??
?
???
在任意方向上，场强的分量为：
?c o sdndU??
注意几点：
1.“–”表示电场强度的方向为电势降低的方向。
2.沿等势面法线方向场强最大。
3.等势面密处，场强大，电力线也密。等势面疏处，
场强小，电力线也疏。
4.场强反映场点处的电势的“变化率”,E 与 V 无直
接的关系。 电势为零的地方，场强不一定零。场强为
零的地方，电势不一定为零。
nedn
dUE ?? ??
?co sEE l ?
dl
dU??
8
6.只要知道一个量的分布就可得知另一个量的分布。
q
+ +
q
o
q
+ -
q?
o
0,0 ?? EU ?
0,0 ?? EU ?
5.电势不变的空间场强一定为零。
如果知道电场强度在空间的分布情况，则根据电
场强度与电势的积分关系,可以求出电
势的分布； ?
? ??
aa ldEU
??
如果知道电势在空间的分布，则根据电场强度与电
势的微分关系 进行偏微商运算求得电场
强度的分布。
g r a d UE ???
4.场强反映场点处的电
势的“变化率”,E 与
V 无直接的关系。 电势
为零的地方，场强不一
定零。场强为零的地方，
电势不一定为零。
9
例,均匀带电圆盘半径为 R,面电荷密度为 ?,求 轴
线上一点的场强。
解,由带电圆盘轴线上一点的电势公式
)(
2
22
0
xRxU ???
?
?
由于等势面法线方向与 x 轴相同，
i
x
U ?
?
???
o
R
x
nen
UE ??
?
???
x
UE
?
??? ??
?
??
? ??
?
??? )(
2
22
0
xxR
x ?
?
)1221(2 22
0
?
?
??
xR
x
?
? ?
?
??
?
?
?
?? 22
0
12
xR
x
?
?
等势面 电势梯度
2
?? ?? aa ldEU ??引,….,场强电势的积分关系
等势面,将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫
做等势面,即 的空间曲面称为等势面。等
势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。
CzyxU ?),,(
规定,画等势面时，相邻两个等势面的电势差为常数。
等势面 等势面
一、等势面
3
等势面的性质：
证明：
1.在静电场中，沿等势面移动电荷时，静电场力对此
电荷不作功。
ld?
M
N
E?
)(0 ba UUq ??
? ??? ba abUqldEqA 00 ?? a
b
等势面0?
2.除电场强度为零处外，电力线与等势面垂直。
证明：
0c o s ???? ?E d lldEdA MN ??? ldE ???
3.由于 规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等
势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方
，场强较小。
因为将单位正电荷从等势面上 M点移到
N点，电场力做功为零，而路径不为零。
4
因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，
电势能减少。
4.电力线 的方向 指向电势降低的方向。
证明,假设电荷 q0由 2移到 1，
12 UU ??012 ?? UU
E?
2
等势面
ld?1
122121 )( pppp EEEEA ????? 0)( 120 ??? UUq
的方向为电势降低的方向。E?
U
ld?
dn
dUU ?
3P
1P
2P
E?
ne
?
1
2
取两个相邻近的等势面 1
和 2，电势分别为 U和 U+dU,
且 dU>0,.
规定,等势面的法线正方向为指
向电势升高的法线方向。
二、电势梯度
5
nedn
dUg r a d U ??
定义电势梯度矢量：
大小：
方向：
dn
dU
写成矢量式,U??
算符 ??g r a d
k
z
j
y
i
x
???
?
??
?
??
?
??
电势梯度 是一个矢量，U?
它的方向是沿电力线的切向并指向电势升高的方向。
如果过 P1沿 方向的电势增加率为, 与 的夹角
为 ?。
ld?
dl
dU ld?
ne
?
?c o sdndUdldU ?
沿着等势面的正法线方向。
?
有：
U
ld?
dn
dUU ?
3P
1P
2P
E?
ne
?
1
2
)c os( ?dldn ??
6
根据场强与电势的积分关系，有：
21 UUldE ???
?? )( dUUU ??? dU??
即,dUdlE ???c o s
?c o sdl
dUE ???
dn
dU??
电场强度的方向与电势梯度矢量
的方向相反，即 与 反向。E?
ne
?
写成矢量式：
nedn
dUE ?? ??
电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量
的负值。
场强与电势的微分关系
gr adU?? U???
?U
ld?
dn
dUU ?
3P
1P
2P
E?
ne?
1
2
三、场强与电势的微分关系
7
在直角坐标系中：
k
z
Uj
y
Ui
x
UE ????
?
??
?
??
?
???
在任意方向上，场强的分量为：
?c o sdndU??
注意几点：
1.“–”表示电场强度的方向为电势降低的方向。
2.沿等势面法线方向场强最大。
3.等势面密处，场强大，电力线也密。等势面疏处，
场强小，电力线也疏。
4.场强反映场点处的电势的“变化率”,E 与 V 无直
接的关系。 电势为零的地方，场强不一定零。场强为
零的地方，电势不一定为零。
nedn
dUE ?? ??
?co sEE l ?
dl
dU??
8
6.只要知道一个量的分布就可得知另一个量的分布。
q
+ +
q
o
q
+ -
q?
o
0,0 ?? EU ?
0,0 ?? EU ?
5.电势不变的空间场强一定为零。
如果知道电场强度在空间的分布情况，则根据电
场强度与电势的积分关系,可以求出电
势的分布； ?
? ??
aa ldEU
??
如果知道电势在空间的分布，则根据电场强度与电
势的微分关系 进行偏微商运算求得电场
强度的分布。
g r a d UE ???
4.场强反映场点处的电
势的“变化率”,E 与
V 无直接的关系。 电势
为零的地方，场强不一
定零。场强为零的地方，
电势不一定为零。
9
例,均匀带电圆盘半径为 R,面电荷密度为 ?,求 轴
线上一点的场强。
解,由带电圆盘轴线上一点的电势公式
)(
2
22
0
xRxU ???
?
?
由于等势面法线方向与 x 轴相同，
i
x
U ?
?
???
o
R
x
nen
UE ??
?
???
x
UE
?
??? ??
?
??
? ??
?
??? )(
2
22
0
xxR
x ?
?
)1221(2 22
0
?
?
??
xR
x
?
? ?
?
??
?
?
?
?? 22
0
12
xR
x
?
?
