静电场 ----相对于观察者静止的电荷产生的电场
稳恒电场 —不随时间改变的电荷分布产生不随时间
改变的电场
两个物理量, 场强、电势；
一个实验规律, 库仑定律；
两个定理, 高斯定理、环流定理
电荷守恒定律, 在一个孤立系统内发生的过程中，
正负电荷的代数和保持不变。
电荷的 量子化效应, Q=Ne
8-1 电场 电场强度
一、电荷
电荷的 种类,正电荷、负电荷
电荷的 性质：同号相吸、异号相斥
电量,电荷的多少 单位,库仑 符号, C
二、库仑定律
02
21
1221 rr
qqkFF ??? ???
0?
——真空介电常数。
or
? ——单位矢量，由 施力物体指向受力物体 。
——电荷 q1作用于电荷 q2的力。
21F
?
真空中两个静止的点电荷之间的作用力 （ 静电力 ），
与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平
方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线。
1q 2qror?
04
1
??
?k
229
0
21212
0
109
4
1
10858
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??
CNmk
mNC
??
?,
讨论
库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。
(a)q1和 q2同性，则 q1 q2>0,和 同向，
方程说明 1排斥 2
21F
?
0r
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12F
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21F
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00
21
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斥力
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21
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r
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??
?
(b)q1和 q2异性，则 q1 q2<0,和 反向，
方程说明 1吸引 2
21F
?
0r
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12F
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21F
?
0r
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00
00
21
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引力
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0
21 4
1 r
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r
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qqr
r
qqF ???
3
21
0
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21
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1
4
1
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??
注意：只适用两
个点电荷之间
数学表达式
离散状态
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N
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iFF
1
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02
04
i
i
i
i rr
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连续分布 ?? FdF ??
02
04
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1q
2q
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q
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?
20r
?
2F
?
F?
静电力的叠加原理
作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独
存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。
所以库仑力与万有引力数值之比为 391032 ??,
G
E FF
牛）(102.84 82
0
2 ????
ReF E ??
电子与质子之间静电力（库仑力）为吸引力
NRG m MF G 472 1063 ????,
电子与质子之间的万有引力为
例,在氢原子中，电子与质子的距离为 5.3?10-11米，试求
静电力及万有引力，并比较这两个力的数量关系。
忽略！
解：由于电子与质子之间距离约为它们自身直径的 105倍，
因而可将电子、质子看成点电荷。
三、电场强度
电场 ★ 叠加性
★ 研究方法：
能法 —引入电势 u
E?力法 —引入场强
★ 对外表现,a.对电荷（带电体）施加作用力
b.电场力对电荷（带电体）作功
电场强度
0q
FE
??
?
场源
电荷
试验
电荷
q
0q
F?
),,( zyxEE ?? ?
电场电荷 电荷
1.由 是否能说,与 成正比，与 成反比？
0q
FE
??
? E? F
? 0q
Q
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? q
P
?
?
?
?
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?
Q
0E
?
?
?
?
P
?
0Eq
F ?
讨论
2.一总电量为 Q>0的金属球，在它附近 P点产生的场强
为 。将一点电荷 q>0引入 P点，测得 q实际受力 与
q之比为,是大于、小于、还是等于 P点的
0E
0E
F
qF
1q
2q
P
四、场强叠加原理
点电荷系
连续带电体
10r?
1E
?
E?2E?
20r?
P
dq
Ed?0r?
?? ??? ii Eq FqFE
?
??
?
00
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?
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?
N
i
iFF
1
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1,点电荷的电场
五、电场强度的计算
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0r
?
)( 0?q PE?
2,点电荷系的电场
设真空中有 n个点电荷 q1,q2,… qn，则 P点场强
02
04
1
i
i
i
i
i
i
r
r
qEE ???
??
????
iziziyiyixix EEEEEE ??????,,
场强在坐标轴上的投影
kEjEiEE zyx ????? ???
例 1,电偶极子
如图已知,q,-q、
r>>l，
电偶极矩 lqp ?? ?
求,A点及 B点的场强
i
)
l
r(
q
E
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2
0 24 ?
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i
)
l
r(
q
E
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2
0 24 ?
?
??
??
解,A点 设 +q和 -q 的场强 分别为 和
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y
x
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B
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xxxx EEEE ??? ??? 2 4
2
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l
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??? ? c o s2 E
0??? ?? yyy EEE
对 B点：
2
3
2
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B
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结论
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04
1
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pE
B
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x
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?
B
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r
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?
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BE
?
AE
?
3,连续带电体的电场
0
04
rdqEd ?
?
??
? ?
02
04
1 r
r
dqEdE ???
???????
??? ??? zzyyxx dEEdEEdEE
kEjEiEE zyx ???? ???
电荷元随不同的电荷分布应表达为
体电荷 dVdq ??
面电荷 dSdq ??
线电荷 ldqd ??
例 2 求一均匀带电直线在 O点的电场。
已知,q, a, ?1,?2,?。
解题步骤
1,选电荷元 ldqd ??
2
04
1
r
lddE ?
??
?
???? s i nc o s dEdEdEdE yx
5,选择积分变量
一个变量是变量，而线积分只要、,lr ?
4,建立坐标，将 投影到坐标轴上Ed?
2.确定 的方向Ed?
3.确定 的大小Ed?
xEd
?
yEd
?
dlq
1?
2??
l
y
x
a r
O
?
Ed?
选 θ作为积分变量
??????? a c t ga c t gl )(
???? dald 2c s c
??
???
??
22
222
222
c s ca
c t gaa
lar
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1
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xEd
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dEE xx c o s
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1 0
4
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a
dEE yy s i n
)c o s( c o s 21
04
????? ?? a
22
yx EEE ??
)( xy EEa r c t g
xEd
?
yEd
?
dlq
1?
2??
l
y
x
a r
O
?
Ed?
当直线长度
?
?
?
?
?
???
??
?
2
1 00,aL 或
0?xE
无限长均匀带
电直线的场强
a
E
02 ??
?
?
当
EE y ?,0,0 ??? 方向垂直带电导体向外，
当
EE y ?,0,0 ??? 方向垂直带电导体向里。
讨论
)s in( s in 12
04
????? ?? aE x )c o s( c o s 21
04
????? ?? aE y
a
EE y
02 ??
???
课堂练习
求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q,L,a
2
04 )xaL(
dqdE
??
?
??
? ???
L
)xaL(
dxE
0
2
04 ??
?
)(
aLa ?
?? 11
4 0??
?
a
P
L X
O
x dx
Ed?
)()( aLa
q
aLaL
qL
?
?
?
?
00 44 ????
例 3 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知,q, a, x。
dl
a
q
dldq
?
?
2
?
?
idEEd ?? ?// kdEjdEEd zy ??? ???
2
04 r
dqdE
??
?
y
z
xx
pa
dq
r
//Ed
?
?Ed
? Ed?
当 dq位置发生变化时，它所激发的电场
矢量构成了一个圆锥面。
由对称性
a
,y
z
x
dq
Ed?
0?? zy EE
y
z
xx
pa
dq
r
//Ed
?
?Ed
? Ed?
?
? ?c o s
//
Ed
EdE
?
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2122 )(
c o s
xar
rx
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c os2
2
0 24
1
r
ld
a
q
E
a
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c o s
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1
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q?
2322
04
1
)( xa
qx
?
?
??
i
)ax(
xqE ??
2
322
04 ?
?
??
讨论 （ 1） 当 的方向沿 x轴正向
当 的方向沿 x轴负向Eq ?，0?
Eq ?，0?
（ 2） 当 x=0,即在圆环中心处,0?E?
当 x?? 0?E?
i
)ax(
xq
E
??
2
322
04 ?
?
??
2
ax ?
时0?dxdE
2
3
2
2
0
2
4
2
)
a
a(
q
a
EE m a x
?
??
??
（ 3） 当 时，ax ?? 222 xax ??
2
04
1
x
qE
??
?
这时可以 把带电圆环看作一个点电荷
这正反映了 点电荷概念的相对性
i
)ax(
xq
E
??
2
322
04 ?
?
??
1.求均匀带电半圆环圆心处的,已知 R,?E?
2
04 R
dqdE
???
电荷元 dq产生的场
根据对称性 ?
? 0ydE
? ? ????
?
?
??
???
0
2
04
s i n
R
Rds i ndEdEE
x
?
?
??
?
0
2
04
)c o s( ??
R R02??
??
课堂练习：
o
R X
Y
? ?d
?
dq
Ed?
O X
Y
?
R
2
04 R
dldE
??
??
? ??? ???? cosRdldEE y 2
04
224
2
0
2
0
2
0
?
??
?
?
??
??
?
s i n
c o s
R
d
R
R
?? ?
取电荷元 dq则
? ? 0xdE由对称性
方向：沿 Y轴负向
?
dl
?d
Ed?
2.求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知 ?,?,R
例 4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
已知,q,R,x 求,Ep
解：细圆环所带电量为
22 R
qr d rdq
???? ??由上题结论知：
2322
04
1
)( xr
xdqdE
?? ??
2322
04
2
)( xr
r d rx
?
?
??
??
23220
0 )(2 xr
r d rxdEE R
?? ?
??
?? )1(2 22
0 xR
x
?
????
R r
Pxdr
22 xr ?
Ed?
讨论
1,当 R>>x
（无限大均匀带电平面的场强）
0?? 0??
)
xR
x(E
220
1
2 ?
??
?
?
02?
??E
2
1
2
2
22
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?
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? x
R
xR
x ????????? 2)(
2
11
x
R
)1(
2 220 xR
xE
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?
?
?? ?
?
?
?
?
?
?????????? 2
0
)(
2
111(
2 x
R
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?
2
04 x
q
??
?
)
xR
x(E
220
1
2 ?
??
?
?
2,当 R<<x
例 5,两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度
为 ??,计算场强分布。 ?? ??
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
?E
?
?E
? 002
2 ???? ???? ?? EEE
两板之间：
两板之外,E=0
六．带电体在外电场中所受的力
EqF ?? ?
课堂讨论,如图已知 ?q,d,S
求两板间的所用力
q? q?
d
S
qqf
0
2
0 22 ??
? ??
解：由场强叠加原理
2
0
2
4 d
qf
??
?
?? dqEF ??
例 6 计算电偶极子在均匀电场中所受的合力和合力矩
,qlp ??已知 E?
qEF ???
qEF ???
q?
E?
q?
?o
0??? ?? FFF ???
解：合力
??? s i ns i n2s i n2 q l ElFlFM ??? ??
合力矩
EpM ??? ??将上式写为矢量式
力矩总是使电矩 转向 的方向，以达到稳定状态p? E?
可见,力矩最大； 力矩最小。Ep ?? ? Ep ?? //
在电场中画一组曲线，
曲线上每一点的切线方向
与该点的电场方向一致，
这一组曲线称为 电力线 。
E?
dS
E?
通过无限小面元 dS的 电
力线数目 d?e与 dS的比值
称为电力线密度。我们规
定 电场中某点的场强的大
小等于该点的电力线密度
一、电场的图示法电力线
8-2 电通量 高斯定理
E?
cE?
大小：
E?
方向, 切线方向
=电力线密度
电力线性质：
b
c
aE?
bE?
a
2、任何两条电力线不相交。
1、不闭合，不中断起于正电荷、止于负电荷；
总结：
点电荷的电力线
正电荷负电荷
+
+
一对等量异号电荷的电力线
一对等量正点电荷的电力线
+ +
一对异号不等量点电荷的电力线
2q q+
带电平行板电容器的电场
++ ++++ +++
二、电通量
通过电场中某一面的电力线数称为 通过该面的电通量 。
用 ?e表示。
ESe ??
S
E?
均匀电场
S与电场强度方向垂直
?
S n?
? E?
SEESe ?? ??? ?? c o s
均匀电场,S 法线方向 与
电场强度方向成 ?角
??? Ed Sd e
? ??
S
dSE c o s
?? c o sE d S
SdE ?? ??
? ???
S ee
d
? ? ????
S S
dSnESdE ????
?
??
dS
dE e
电场不均匀,S为任意曲面
S为任意闭合曲面
?? ??? SSe SdEdSE ???? c o s
规定,法线的正方向为指向
闭合曲面的外侧。
求均匀电场中一半球面的电通量 。
E?
R
O
n?
n?
n?
n?
1S
2S
? ?? 11 SS SdE ???
2SE ??
2
1 RES ?? ?
课堂练习
三、高斯定理
在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲
面 S的电通量 ?e,等于该闭合曲面所包围的电荷电
量的代数和除以 ?0 而与闭合曲面外的电荷无关。
?? ??? i
s
e qSdE
0
1
?
?
??
1,高斯定理的引出
(1)场源电荷为点电荷且在闭合曲面内
r+
q
E?
Sd?
? ?? Se SdE ???
? ?? S Sdrrq ??02
04 ???
? S dS
r
q
2
04 ??
?? SdSrq 2
04 ??
0
2
2
0
44 ???? qrrq ???
与球面半径无关，即以点电荷 q为中心的任一球面，
不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
讨论：
c、若封闭面不是球面，
积分值不变。
00,??? eqa ?
电量为 q的正电荷有 q/?0条电
力线由它发出伸向无穷远
电量为 q的负电荷有 q/?0
条电力线终止于它
00 ??? eq ?
+ q
b、若 q不位于球面中心，
积分值不变。
0?
qSdE
s
???
??
(2) 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。
+q
因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线
从面内出来。
0?e? 0??? ?
s
SdE
??
(3) 场源电荷为点电荷系 (或电荷连续分布的带电体 )，
高斯面为任意闭合曲面
nEEEE
????? ????
21
?
?
?????
n
i
eienee
1
21 ???? ?
? ?? Se SdE ???
?? ? ?????????????
s
n
s S
SdESdESdE ?????? 21
?? ??? 内qSdESe
0
1
?
?
??
3,高斯定理的理解
a,是闭合面各面元处的电场强度,是由全部电
荷（ 面内外电荷 ）共同产生的矢量和，而过曲面的
通量由曲面内的电荷决定。
E?
因为曲面外的电荷（如 ）
对闭合曲面提供的通量有正有
负才导致 对整个闭合曲面贡
献的通量为 0。
4q
4q
1q
2q
3q
4q
?? ??? i
s
e qSdE
0
1
??
??
b, 对连续带电体，高斯定理为
表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面,
所以 正电荷是静电场的源头 。
静电场是 有源场
表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，
所以 负电荷是静电场的尾 。
? ??? dqSdE
0
1
?
??
00 ???? eiq.c ?
00 ???? eiq ?
四、高斯定理的应用
1, 利用 高斯定理求某些电通量
例：设均匀电场 和半径 R为的半球面的轴平行，
计算通过半球面的电通量。
E?
?? ??? i
s
e qSdE
0
1
?
?
??
0?? iq? 0???? ? SdE
Se
???
021 ?? SS ??
021 ??? )RE(S ??
2
1 RES ?? ?
步骤：
1.对称性分析，确定 E? 的大小及方向分布特征
2.作高斯面，计算电通量及 ? iq
3.利用高斯定理求解
当场源分布具有高度对称性时求场强分布2.
解, 对称性分析 E? 具有球对称 作高斯面 ——球面
Rr ?
电通量
电量 ?
? 0iq
用高斯定理求解
04 21 ?rE ? 01 ?? E
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+
+ +
q
E?
r
例 1,均匀带电球面的电场。 已知 R,q>0
2
11
1
4
1
rEdSE
SdE
s
e
?
?
??
??
?
?
??
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+ +
r
q
Rr ?
? ? qq i 022 4 ?? qrE ?
2
0
2 4 r
qE
??
?
E?
2
222 4
2
rESdESdE
s
e ?? ???? ? ?
???
E
2
04 R
q
??
2
1
r
r
RO
O
R
q
解,r<R
? ? 3
3 3
4
3
4
r
R
q
q i ?
?
3
3
0
2 14
R
qrrE
?
? ?
场强
3
04 R
qrE
??
?
例 2,均匀带电球体的电场。 已知 q,R
r
E?
高斯面
? ??? 24 rESdEe ?? ??
R
r
高斯面
E?
r>R
电量 ? ? qq
i
高斯定理
0
24 ?? qrE ?
场强
2
04 r
q
E
??
?
? ??? 24 rESdEe ?? ??
电通量
均匀带电球体电场强度分布曲线
ε
R
O
E?
O
r
E
R
2
04 R
q
??
E?
2S
σ
高
斯
面
解, E? 具有面对称 高斯面,柱面
SESES ?
?
????
0
21
10
SES ?
? 0
12 ?
02 ?
?
?? E
例 3,均匀带电无限大平面的电场,已知 ?
E?
S
1S侧S
? ? ? ? ????????
1 2S S S
e SdESdESdESdE
侧
????????
?
rlErlE ?? 2200 ????
? ? 0iq
0?E
高
斯
面
l
r
E?
解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面
例 4,均匀带电圆柱面的电场。
沿轴线方向单位长度带电量为 ?
? ? ?? ????????
s
e SdESdESdESdE
上底 侧面下底
????????
?
(1) r <R
(2) r >R
? ? ?? Rlq i 2
0?
?
r
RE ?
??? R2?
令
r
E
02 ??
??
高
斯
面
lr
E?
rlE ?? 2
? ? ?? ????????
s
e SdESdESdESdE
上底 侧面下底
????????
?
位于中 心
q 过每一面的通量
课堂讨论
● q
1,立方体边长 a，求
位于一顶点
● q
1q?
2q?
移动两电荷对场强及通量的影响
2,如图 讨论
06?
? qe ?
??
?
?
?
?
??
024
0
q
e
课堂练习：
求均匀带电圆柱体的场强分布，已知 R,?
2
02 R
r
??
?
?E
Rr ?
Rr ?
r02??
?
0
2
?
?? lrlE ?
Rr ?
Rr ?
lr
R
rlE 22
0
2 ?
??
???
8-3 电场力的功 电势
r
drr ?
c
ld?
c?
E?
?
b
a
保守力
dlEqldEqldFdA ?c o s00 ????? ????
drdl ??c o s其中
???
b
a
E d rqA 0
Ed rqdA 0?则
与路径无关
?q
ar
br
dr
? ???
b
a
r
r ba
o )rr(
qqdr
r
qq 11
44 0
0
2
0 ????
一．电场力做功
推广
? ?????
b
a
nab ld)EEE(qA
??
??
??
210
? ? ? ??????
b
a
b
a
b
a
n ldEqldEqldEq
??
??
????
02010
? ??????
i ibia
i
n )rr(
qqAAA 11
4 0
0
21 ????
(与路径无关 )
结论
试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做
的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
? ? ?????
a cb adb
ldEqldEq 000 ????
二、静电场的环路定理
a
bc
d
即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。
00 ?q? ? ??? 0ldE ??
q0沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功
? ? ? ??????
a c b bda
ldEqldEqldEqA ?????? 000
在静电场中，电场强度的环流恒为零。
——静电场的 环路定理
静电场的两个基本性质,有源且处处无旋
三、电势差与电势
1、电势能
静电场力的功，等于电势能的减少
a
b
a?b电场力的功：
? ??
b
a
ab ldEqA
??
0
ba WW ??
0??W取 ??
?? aa ldEqW ??0
注意, 电势能是电荷与电场所组成的系统共有的
2、电势差
0q
WWVV ba
ba
???
定义,a,b两点的电势差为
ldEVV baba ?? ??? ?
a,b两点的电势差等于将单位正电荷从 a点移
到 b时，电场力所做的功。
3、电势
单位正电荷在电场中某点具有的电势能，
称为电场在该点的 电势 。
0q
WV a
a ?
ldEV aa ?? ?? ??
电势的大小等于场强从该点到 电势零点 （ 通常
取无穷远处 ）的积分。
注意
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
四、电势叠加原理
点电荷产生的电势,
r
qV
a
04??
?
?q
a
r?
1、点电荷系
各点电荷单独存在时，在该点产生的电势的 代数和
??
i i
i
a r
qV
04 ??
1r
2r
nr
?1q
?2q
nq?
a
2、电荷连续分布的带电体
dq
a
r
r
dqdV
04 ??
?
? ??? Qa rdqdVV
04 ??
注意,表示对整个带电体求积分。?
Q
方法 2,电势叠加原理
??
i i
i
a r
qV
04 ??
或 ??
Qa r
dqV
04 ??
五、电势的计算方法
方法 1,已知电场分布求电势,ldEV
aa
?? ?? ??
通常，用在能够用高斯定理计算场强的场合
例 1,求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知,R,q
p
xx
R
dq
r
R
x x0
例 2、电量 q均匀分布在半径为 R的圆盘上，求圆盘
轴线上与盘心相距为 x 的 P点的电势。
r
dq
例 3,求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 R,q
r
R
O
+
+
+
+ +
+ ++
+ +
+
+
+ + +
+
功、电势差、电势能之间的关系
? ??????
b
a
babaab WWuuqldEqA )(
??
讨
论 ba uu ?
ba uu ?
2,0?
abA ba WW ?
则
则0?q
0?q
１, 0?abA ba WW ?
0?q 则
0?q 则
ba uu ?
ba uu ?
8-4 场强与电势的关系
一,等势面
等势面, 电场中电势相等的点组成的曲面
+
+
电偶极子的等势面
等势面的性质
⑴ 等势面与电力线处处正交，
电力线指向电势降落的方向。
a
b
u
0)( ??? baab uuqA
2
?? ??
ba uu ??
★ 令 q在面上有元位移 ld?
0c o s ???? dlqEldEqdA ???
0)( ????? dcdccd uuqWWA
★ 沿电力线移动 q? c d E?
dc uu ??
★ a,b为等势面上任意两点移动 q,从 a到 b
⑵ 等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。
规定,场中任意两相临等势面间的电势差相等
课堂练习,由等势面确定 a,b点的场强大小和方向
1u
2u
3u
a
b
03221 ???? uuuu已知
aE
? bE
?
E?
a b
ld?
n?
?
u
duu?二、场强与电势梯度的关系
)(co s duuudlEldE ????? ???
dudlE ???c o s
单位正电荷从 a到 b电场力的功
dudlE l ??
dl
duE
l ??
电场强度沿某
一方向的分量
沿该方向电势的
变化率的负值
),,( zyxuu ?一般
x
uE
x ?
???
y
uE
y ?
???
z
uE
z ?
???所以
lE
方向上的分量在E? ld?
kEjEiEE zyx ???? ????
)( kzujyuixu
???
?
??
?
??
?
???
ug r a d uE ?????? ?
gradu u?或u的梯度,
的方向与 u的梯度反向，即指向 u降落的方向E?
0ndn
duE ?? ??
物理意义,电势梯度是一个 矢量,它的 大小 为电势沿
等势面法线方向的变化率，它的 方向 沿等势面法线方
向且指向电势增大的方向。
例 1,利用场强与电势梯度的关系,计算均匀带电
细圆环轴线上一点的场强。
22
04
1)(
xR
qxuu
?
?? ??解,
)4 1(
22
0 xR
q
xx
uE
x ??
???
?
????
??
2
322
0 )(4
1
xR
qx
?
?
??
0?? zy EE
iEE x ?? ? i
xR
qx ?
2
322
0 )(4
1
?
?
??
例 2,计算电偶极子电场中任一点的场强
解：
2
322
0 )(4
1),(
yx
pxyxuu
?
??
??
(xxuE x ???????? )
)(4
1
2
322
0 yx
px
???
(yyuE y ???????? )
)(4
1
2
322
0 yx
px
???
l?
q?
r
x
y
?
?
q?
B?
O ?
A
l
?
iypE
??
3
04 ??
??B点 (x=0)
ixpE
??
3
02 ??
?
A点 (y=0)
8-5 静电场中的导体和电介质
一、静电场中的导体
1、静电平衡条件 E
外+
+
+
+
+
将导体放入外电场中，在导体的两端出现
等量异号的 感应电荷 。
导体达到静电平衡状态：
+
+
+
+
+
+
+
E外
E感
0??? 感外内 EEE ???
感应电荷感应电荷
导体处于 静电平衡状态的特征 是电荷的宏观
运动完全停止。
⑴ 导体内部的场强处处为零。
⑵ 导体表面附近的场强方向处处
与表面垂直。
静电平衡
条件
1、导体是 等势体,导体表面是 等势面 。
2、导体内部处处没有未被抵消的 净电荷,净电荷只
能分布在导体的表面上。
?
3、导体外表面附近处的场强大小与导体表面在该处
的面电荷密度 的关系为
0?
??E
处于静电平衡状态的导体的性质：
等势体
等势面
b
ab
a
u u E dl? ? ??
0?内E??
? ? ?????
Q
P
Q
P
QP dlco sEldEuu 090
0??
QP uu ??
a
b
abuu??
p
Q
导体内
导体表面
讨论
1）实心导体
2）腔内没有电荷的空腔导体
电荷只能分布
在导体的 表面 上 。
S
空腔 内表面 无电荷，电
荷只能分布在 外表面 上。
qS
3）腔内有电荷 q1的空腔导体
未引入 q1时 放入 q1后
2q
+
2q
1q
?1q
1q?
若设空腔导体带电 q2，则空腔 内表面 带电 – q1，
外表面 带电 q1+q2
0
0
c os 0
E dS E S
S?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
0?
??? E
表面附近作足够小的圆柱形高斯面
? E?
S?
尖端放电
尖端场强特别强，足以使周围空气分子电离
而使空气被击穿，导致“尖端放电”。
2、静电屏蔽
接地封闭导体壳（或金属丝网）外部的场
不受壳内电荷的影响。
封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场
不受外电场的影响；
+++
+
??
E?
0?E? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
电荷守恒定律
静电平衡条件
电荷分布
E? u
3、有导体存在时场强和电势的计算
AB
例 2.已知 R1 R2 R3 q Q
q?
O
q
1R 2
R
3R
Q q?
求 ①电荷及场强分布；球心的电势
② 如用导线连接 A,B，再作计算
解,
由高斯定理得
电荷分布 q q? Q q?
场
强
分
布
2
04 r
??
?
2
04 r
q
???E
0 1Rr ? 32 RrR ??
21 RrR ??
3Rr ?
球心的电势
A
O
B
qq?
1R 2
R
3R
Q q?
场
强
分
布
2
04 r
??
?
?E
0
2
04 r
q
??
1Rr ? 32 RrR ??
21 RrR ??
3Rr ?
? ? ? ??
? ?
??????
0 0
2
1
3
2 3
1 R
R
R
R R
R
o E d rE d rE d rE d rrdEu
??
30210 4
111
4 R
Qq)
RR(
q ????
????
球壳外表面带电
② 用导线连接 A,B，再作计算
A
O
1R 2
R
3R
Q q?
B
qq?
3Rr ?
??
? ?
???
3
3
300 4R
R
o R
qQE d rE d ru
??
3Rr ? 2
04 r
qQE
??
??
?
? ?
??
r r
QqE d ru
04 ??
Q q?
0?E
连接 A,B,中和q )q(??
练习 已知, 两金属板带电分别为 q1,q2
求,?1, ?2, ?3, ?4
1q 2q
4?1? 3?2?
S
2
21
41
?????
S
2
21
32
??????
有极分子, 无外电场作用时,分子正负电荷中心不重合
无极分子,无外电场作用时,分子正负电荷中心重合
C
H+
H+H+
H+
正负电荷
中心重合
甲烷分子
4CH
+
正电荷中心
负电荷
中心
H++H
O
水分子 OH2
ep
?
—— 分子电偶极矩
ep
?0?
ep
?
二,静电场中的电介质
1,无极分子的 位移极化
0?ep?
e
无外电场时
ep?
?
f f
l
外E
?
加上外电场后 0??
ep
?
+
+ ++
++
+
外E
?
极化电荷极化电荷
2,有极分子的转向极化
f?f?
外EpM e
??? ??
+
+ ++
++
+
外E
?
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
无外电场时 电矩取向不同
两端面出现
极化电荷
转向 外电场
ep
?
外E
?
ep
?
加上外场
三、有电介质时的高斯定理
1、电位移矢量
ED ?? ??
?D?
E?0? 真空中
Er ??? 0 介质中
D S D d S? ? ???
电位移通量,
2、有介质时高斯定理
iS D d S q?? ???
通过任意闭合曲面的电位移通量，等于该
闭合曲面所包围的 自由电荷 的代数和。
设一平行板电容器，极板上的自由电荷面密度
分别为 。极板间充满了相对电容率为
的电介质。
????和 r?
+ + + + +
ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ
??
??
+ + +
ˉ ˉ ˉ
???
??? )(
1 /
0
jis qqsdE ??????? ?
??
/
0
1 () s??
?
? ? ?
r??
?
?
??
00
/
??
iS D d S q?? ???
A B
CD
?S
与 的区别,D E
D? 线E? 线? ??
???
是自由电荷产生，其大小仅决定于 自由电
荷 的空间分布，与极化电荷无关。 是自由电荷
和极化电荷共同产生的，其量值与 自由电荷和极
化电荷 的空间分布都有关。
D
E
r?
R
Pr
S
求,（ 1）空间上 任一点的 D和 E；
（ 2） 导体球的电势 V。
R Q
r?
例 3, 导体球半径为,带电量为,球外电介质
的相对介电常数为 。
解,（ 1）应用高斯定理
2
0 ( )
( )
4
rR
D Q
rR
r?
??
?
? ?
??
?
2
0
0 ( )
( )
4 r
rR
E Q
rR
r? ? ?
??
?
? ?
??
?
RV E d r
????
R
Q
r??? 04
?
r?
R
P
（ 2） 导体球的电势
2
04
R
r
Q dr
r? ? ?
?? ?
8-6 电容 电容器
一、孤立导体的电容
孤立导体,附近没有其他导体和带电体
qC V?
例：孤立导体球的电容 C = 4??0R
电容 —— 使导体升高单位电势所需的电量。
定义：
BA uu
q
C
?
?
二、电容器的电容
定义：
1、平行板电容器 dA B
E?
q? q?
已知,S,d,?0
0 SC
d
??
讨论
C 与 d S 0? 有关
S C ； d C
插入介质
0
0
r SCC
d
?? ??? C
2、球形电容器
已知
AR BR
A
B
r
q?
q?
BR
AR
???? BAB RRR 或
04 AB
BA
RRC
RR
???
?
讨论
ARC 04???
孤立导体的电容
3、圆柱形电容器
已知：
AR BR L
AB RRL ???
BA
l
r L
AR
BR
????
02
l n /BA
LC
RR
???
（ 3）根据电容定义，求 C。
计算电容的方法及步骤,
（ 1）设两极板带电 +q,-q，用高斯定理求场强分布。
AB ABu u E d l?? ? ?? ABuu?
（ 2）由,求 。
8-8 电场的能量
一,电容器储存的能量
dq
任
一
时
刻
q? q?
Au Bu
终
了
时
刻
Q? Q?
AU BU
C
quuu
BA ??? B
dq A
外力做功
dqCqud qdAdW ???
? ??
Q
C
Qdq
C
qA
0
2
2
? 电容器的电能
2
2
2
1
2
1
2
CUQU
C
Q
W ???
二、电场的能量
电场能量体密度 —— 单位体积中的电场所储存的能量
1、对平行板电容器
2
2
1 CUW ? 20
2
1 )Ed)(
d
S( ??
)Sd(E 2021 ?? VE 2
02
1 ??
电场存在的空间体积
d
S0?
q? q?
11
22ew D E D E? ? ?
对任一电场，电场强度非均匀
dVwdW ee ?
2、电场能量
???? ??
VVV
D Ed VdVEdWW 2121 20?
例,计算球形电容器的能量
已知 RA,RB,?q
AR
BR
q?
q?
r解：场强分布
2
04 r
qE
???
取体积元 drrdV 24 ??
dVEw d VdW 2021 ??? drr)
r
q( 22
2
0
0 442
1 ?
????
能量
? ???
V
R
R
B
A
dr
r
qdWW
2
0
2
8 ??
)
RR
(q
BA
11
8 0
2
??
??
AB
BA
RR
RR
q
?
?
0
2
42
1
??
2
2
1 q
C?
