三峡大学：大学物理：ch2 运动定律与力学中的守恒定律.PPT

一、惯性定律与惯性系
任何物体只要不受其它物体的作用，都将保
持静止或匀速直线运动状态。这一规律称为 惯性
定律, 又称为 Newton first law。
惯性定律在其中严格成立的参考系，称为惯
性参考系，简称为 惯性系 。 否则称为 非惯性系 。
实验表明,太阳是 个较好的 惯性系, 地球是
个近似的 惯性系 。
2-1 牛顿运动定律
二、牛二律的微分形式
2
2
dt
rdm
dt
dmamF ???? ??? ?
直角坐标系下,
2
2
dt
ydm
dt
dmF y
y ??
?
2
2
dt
xdm
dt
dmF x
x ??
?
2
2
dt
zdm
dt
dmF z
z ??
?
自然坐标系下,
dt
dmF ?
? ? ?
? 2mF
n ?
三、动力学中的两类基本问题
1、第一类问题
2、第二类问题
已知, 求)(trr ?? ? F?
方法, 采用求导运算计算出,然后由牛二律
计算 F?
a?
已知 和初始条件，求质点的运动规律。F?
下面以直线运动为例，讨论 求解的方法,
（ 1） 力是时间的函数
)( tFdtdm ??
方法,分离变量后，再积分。
（ 2） 力是位置的函数
)( xFdtdm ??
dx
d
dt
dx
dx
d
dt
d ???? ???
方法, 换元法
dxxFmd )(1 ???
（ 3） 力是速度的函数
)(?? Fdtdm ?
方法,分离变量后，再积分。
解：动力学方程为
kxFdtdm ?? 0?
dx
d
dt
d ??? ? 又
dxxmkmFx )(d
0 0
0? ? ??? ?
?
??
)
2
2 2020 x
m
kx
m
F ??? （??
例 1、一质点沿 x轴运动，所受的力和坐标的关系
为,其中 均为常量，质点在 x=0
处的速度为,求质点的速度与坐标的关系。
kxFF ?? 0 kF,0
0?
例 2、质量为 m的轮船在停靠码头之前，发动机停止
开动，这时轮船的速率为,设水的阻力与轮船的
速率成正比，比例系数为 k，求轮船在发动机停机后
所能前进的最大距离。
0?
解：动力学方程为
dt
dxkk
dt
dm ???? ??
?
?
dkmdxx ?? ??? 0
0 0
k
mx 0??
2-3 动量 动量守恒定律
物理学
大厦的基石
三大
守恒定律
动量守恒定律
机械能守恒定律
角动量守恒定律
一、质点的动量定理
1、动量的概念
物体的质量与其速度的乘积，称为物体的 动量
??? mP ?
动量是物体运动的矢量量度
2、力与冲量的概念
牛顿将物体动量对时间的变化率，定义为 作
用在该物体上的力 。
dt
md
dt
pdF )( ???? ??
力与力的作用时间的乘积，称为 力的冲量 。
??
?
t
t
dtFI
dtFId
0
??
??
冲量是描述力的时间累积作用的物理量。
3、质点的动量定理
0 PPIdt
pdF ????? ??? 或
分量式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dt
md
F
dt
md
F
dt
md
F
z
z
y
y
x
x
)(
)(
)(
?
?
?
0
0
xx
t
t x mmdtF ?? ???
0
0
yy
t
t y mvmdtF ??? ?
0
0
zz
t
t z mmdtF ?? ???
二、质点系的动量定理
设第 i 个质点受到 系统外 物体作用的 合力 为,
受到 系统内 其它质点作用的 合力 为
外iF
?
内iF
?
对每个质点应用动量定理：
…………
dt
pdFF 1
11
???
?? 内外
dt
pdFF 2
22
???
?? 内外
dt
pdFF n
nn
???
?? 内外
累加各式得
??? ?? dtpdFF iii
???
内外
??? ?? dtpdFF iii
???
内外
内力是成对出现的作用力与反作用力，所以 0?? 内iF?
（微分形式）外 ?? ? ii PdtdF
??
系统所受外力的矢量和，等于系统总动量对时
间的变化率。
（积分形式）外 0
0
? ?? ? ??? iitt i PPdtF ???
系统所受合外力的冲量，等于系统总动量的增量。
则有，若 外 0 ?? iF?
一个系统若在一段时间内 不受外力或所受
外力的矢量和为零,则系统在该段时间内总动
量不变，称为 动量守恒定律 。
三、动量守恒定律
常矢量??? ? 0ii pp ??
强调,
? 动量守恒定律是自然界的普适定律。
? 一个系统若 在某个方向上 不受外力或所受的合
外力为零，则系统的总动量 在该方向上守恒 。
? 对碰撞、爆炸的问题，可以使用动量守恒定律
来处理。
? 在运用系统的动量定理和动量守恒定律时，系统
内 各物体的动量都是相对于同一惯性系而言的 。
u?
例,如图，在光滑水平面上停有质量为 M、长为 L的平
板车，一质量为 m 的小孩从车上的一端由静止开始走
到车的另一端，求平板车在路面上移动的距离。
解,以人和车为研究
系统，取地面为参照
系。水平方向系统动
量守恒。
x?
o
? ?
L
x
设小孩相对于车的速度为,车相对于地面
的速度为 u
?
??
umM m???
? ???t t u d tmM mdt0 0?
0)( ??? ?? ??? umM
0)( ???? ?? umM
u?
x?
o
? ?
L
x
解之得
LmM mx ???
2-4 功、动能、势能、机械能守恒
一、功与动能
1、功
a
b
?
rdFrdFdA ??? ?c o s???
rd?
F?
力 在曲线 ab上作的总功：F?
? ?? ? ??? ba ba rdFdAA ??
讨论：
（ 1）恒力的功
? ?? ? ???????? ba ba rFrFF d rrdFA ???? ?? c o sc o s
F?
r??
?
（ 2）合力的功
nFFFF
???? ???????
21
? ???? ??? ???????????? ba ba nbaba rdFrdFrdFrdFA ???????? 21
nAAAA ??????? 21
合力的功等于各分力作功的代数和
2、功率
??
?
c o s F
F
dt
rd
F
dt
dA
N
?
?????
??
??
3、动能和动能定理
称质点的动能 21 2?mE k ?
a
b
?rd?
F?
F?设质量为 m 的质点在合力
的作用下，由 a 点运动到 b
点，速率由 变化到 ?
0?
在 a b 路径上作的功：F?
0
2
0
2
2
1
2
1
kk EE
mmA
??
?? ??
质点动能的增量，等于力对质点作功的代数和，
这一结论称为 质点的动能定理 。
4、质点系的动能定理
分别对系统内的每个质点应用动能定理,
2
101
2
111 2
1
2
1 ?? mmA ??
2
202
2
222 2
1
2
1 ?? mmA ??
2
0
2
2
1
2
1
nnnnn mmA ?? ??
??????
累加得
2
0
2
2
1
2
1
iiiii mmA ?? ?????
0kk EEAA ??? 内外即：
系统总动能的增量，等于作用在系统中各质
点的力所作功的代数和。这一结论称为 质点系的
动能定理 。
式中,— 系统内所有质点的外力作功之和。
外A
— 系统内所有质点的内力作功之和。
内A
— 系统初状态的总动能。
0kE
— 系统末状态的总动能。
kE
二、保守力与势能
1、几种常见力的功
（ 1）重力的功
? ?? baG rdgmA ??
X
Y
Z
O
a
b
?
??
gm?
rd?
? ?? bazz m g d z
? ????? ba )kdzjdyidx(k)mg( ????
ba m g zm g z ??
重力的功只 与 物体的
始、末位置有关, 与路径
无关 。
（ 2）万有引力的功
m受力方向与矢径方向相反。
r
a
b
r
dr
FM mr
dr
a
b
2
1
rG M mF ?
2r
drG M mdA ??
注意, 为元位移在径向的投影。dr
)1()1
ba r
G M m
r
G M mA ????（
万有引力的功只 与物
体始、末位置有关，与 质
点的 路径无关。
（ 3）弹性力的功
kxF ??
? ??
弹簧振子
22
2
1
2
1
ba kxkxA ??
)
2
1
2
1( 22
ab
x
x
kxkxk x d xA b
a
????? ?
弹性力的功只 与物体
始、末位置有关，与 质点
的 路径无关。
0??? ? rdFA ??
2、保守力与非保守力
功的大小只与运动物体的始、末位置有关，与
路径无关,这样的力称为 保守力 。例如：重力、万
有引力、弹性力、静电场力等。
保守力作功的特点：
功的大小与物体的始、末位置和运动路径都有
关,这样的力称为 非保守力 。如摩擦力、流体阻力
等。 特点：
0??? ? rdFA ??
3、势能
保守力场中，物体空间位置的单值函数称为 势能 。
PbPaba EErdFA ???? ? ?
??
保
注意,
（ 1）势能值具有相对性，与零势能点的选取有
关。若选 b点为势能零点，则 a 点的势能：
? ?? 零势能点 aPa rdFE ??
重力势能 （以地面为零势能点）：
m g hE P ?
引力势能 （以无穷远为零势能点）：
rG M mE P
1??
弹性势能 （以弹簧的平衡位置为零势能点）：
2
2
1 kxE
P ?
（ 2）势能是属于系统的。
例如，弹性势能是属于弹簧振子和弹簧所共有。
（ 3）非保守力场中无势能概念。
三、机械能守恒定律
系统的动能定理,
0kk EEAA ??? 内外
非保内保内内 AAA ??
)0PP EEA ??? （保内
)() 00 PkPk EEEEAA ?????? （非保内外
称为系统的机械能 Pk EE ?
0 EEAA ??? 非保内外
外力和非保守内力做功之和等于系统机械能
的增量。这称为 系统的功能原理 。
CEEAA Pk ????,则若 非保内外 0
上式称为 机械能守恒定律 。
注意,
（ 1）守恒条件。
外力的矢量和为零，外力作功的代数和不一
定为零。
（ 2）系统的总机械能不变，动能和势能可以相
互转化。
（ 3）应用该定律时，首先应指明所选择的 系统 和
零势能点 。
例,一陨石从距地面高为 h处由静止开始落向地面，
忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功
是多少？
解,取地心为原点，引力与矢径方向相反
a
bh
R
o ? ? ??
R
hR rdFA
)( hRR
G M m h
?
?
2?
?
?? R
hR
drrMmG
?
?
??
?
?
?
???? ?
? hRR
G M m
r
drG M m R
hR
11
2
陨石落地的速度多大？
2-5 角动量 角动量守恒定律
一、质点的角动量及其守恒定律
质点对 O点的矢径 与质点
的动量 的矢积，定义为
质点对 O点的角动量,
r?
??m
???? mrL ??
?? s in mrL ?
1、质点的角动量
o
r? ??m
?
方向：用右手螺旋定则判定 。
的方向垂直于 和 所决定的平面 。L? r? ??m
2、力矩
?s inFrM ?
o
r? F?
?FrM ??? ??
方向：用右手螺旋定则判定 。
r?力 的作用点的矢径 与 的矢积，称为力
对 O点的力矩。
F? F?
的方向垂直于 和 所决定的平面 。M? r? F?
（ 2）力 的作用线与矢径 共线（即 ）F? r? 0??s in
力矩为零的情况,
（ 1）力 等于零；F?
3、质点的角动量定理
0
1
0
LLdtMt
t
??? ???
积分形式,
作用在质点上的力矩，等于质点角动量对
时间的变化率 。
dt
LdM
??
?
微分形式,
质点角动量的增量，等于它所获得的冲量矩。
常矢量时，当 ??? 00 LLM ???
二、质点角动量守恒定律
当质点所受到的 力矩为零 时，其 角动量守恒 。
2-6 刚体的定轴转动
一、质点系 对固定点 的角动量定理
质点系的角动量,
?? ??? iiii mrLL ?????
求导得：
?? ????? ])([ dtmdrmdt rddt Lddt Ld iiiiiii ??
??????
?
im
?
jm
?? ????? ])([ dtmdrmdt rddt Lddt Ld iiiiiii ??
??????
? ???? )](0[ 外内 iii FFr ???
?? ?? 外内 ii MM ??
任一对 内力 的力矩的矢量和为：
jjiiji FrFrM
????? ????
内,
o
ir?
iF
?
jF
?
0 ?? ? 内iM?
0?
F iji rr ??? ??? )(
jr?
作用于质点系的外力矩的矢量和，等
于质点系角动量 对时间的变化率 。
dt
LdM
i
??
? ?外
注意, 内力矩 对系统的总角动量的变化 无贡献 。
质点系获得的冲量矩，等于其角动量的增量。
0
0
LLdtMt
t i
??? ??? ?
外
积分形式：
二、质点系的角动量守恒定律
常矢量时，当 外 ???? 00 LLM i ???
当质点系所受的外力矩的矢量和为零时，
其总角动量守恒。
注意,
外力的矢量和为零时，外力矩的矢量和 不
一定 为零。
三、刚体的转动定律
1、转动惯量
质点 的转动惯量, 2mrI ?
质点系 的转动惯量, ? ??
ii mrI
2
dmrI ?? 2
刚体 的转动惯量,
式中,r 为 dm 至转轴的距离。
刚体转动惯量的大小与三个因素有关：
? 刚体的总质量
? 质量相对于定轴的分布
? 转轴的位置
例 1,P58例 2-18。计算质量为 m，长为 L的匀质细
杆绕垂直中心轴 Z的转动惯量。
Z
O X
dm
解：建立坐标系，如图。
dxLmdxdm ?? ?
2
12
1 mLI ?
同理，转轴过端点并与杆垂直时，其转动惯量：
2
3
1 mLI ?
?? ??? 2
2
22
L
L dxxL
mdmxI
r
dm
例 2,P59例 2-19。计算质量为 m，半径为 R的匀质圆
盘对通过盘心并垂直于盘面的轴的转动惯量。
O
R
解：
r dr
R
m
r dr
R
m
dsdm
2
2
2
)2(
?
?? ?
?
?
2
0
3
2
2
2
12 mRdrr
R
mdmrI R ??? ??
2
2
1 mRI ?
2、力对转轴的力矩
frM ??? ??
Z
2f
?
r? P
O
转动平面
1f
?
f?
Z
f?r?
Pd
O
M?
转动平面
?
fdrfM ?? ?s in
（ 1）外力在转动平面内
方向：沿转轴 Z方向 。
（ 2）外力不在转动平面内
把外力分解成两个分力：
21 ff
??和
2frM
??? ??
与转轴平行的力 对物体
转动不起作用。 1f
?
（ 3）合外力矩
在 定轴转动 中,
iMM ??
3、转动定律
在 定轴转动 中,
?IM ?
刚体获得的角加速度的大小 与刚体受
到的合外力矩 M 成正比，与刚体的转动惯量 I
成反比。
?
?注意, M,的 +,- 号规定。
刚体定轴转动的转动定律的应用
例 3:(教材 P61，例 2-20） 质量均为 m的两个物体 A、
B,A放在倾角为的光滑斜面上，通过绕在定滑轮的
细绳与 B相连，定滑轮是质量为 m，半径为 R的圆盘。
求绳中张力 T1和 T2，以及 A,B的加速度。
A
B?
1T
2T
mg
2T
对这类问题的处理方法,
先 隔离 各物体，
分析受 力情况。
再根据 牛顿定律 研究 平动,根据 转动定律 研究
转动,找出平动与转动的 牵连关系 。
mg
1T
N
A
B?
1T
2T
mg
2T
mg
1T
N
解：物体 A,B、定滑轮受力如图。
联立（ 1） -（ 4），可得
对物体 A,）（ 1 s in
1 AmamgT ?? ?
对物体 B,）（ 2
2 BmaTmg ??
对定滑轮,）（ 3
2
1 2
12 ?? mRIRTRT ???
牵连关系,）（ 4 ?Raa BA ??
mgT 5s in321 ???
mgT 5s in232 ???
gaa BA 5 )s in1(2 ????
四、刚体定轴转动中的动能定理
1、力矩的功
O
转动平面
r?
F?
?
rd?
rdFdA ?? ??
?? s inFr d?
??
?
dMA ?? 2
1
)2c o s ( ?? ?? F d s
?MddA ?
转动平面内的外力 的元功：F?
力矩 M做的元功,
Z
刚体从 转到 角时，
力矩 M所作的总功,1
? 2?
2、转动动能
2
2
1
iik mE ??? ?
整个刚体的转动动能，等于刚体上所有
质元动能之和。
）（ 22
2
1 ?
ii rm? ??
22 )(
2
1 ?? ??
ii rm
2
2
1 ?IE
k ?
3、动能定理
合外力矩 M 作的元功：
积分得
2
1
2
2 2
1
2
12
1
????
?
IIdM ???
12 kk EEA ??
外力矩对刚体作功之和，等于刚体转动
动能的增量。
五、定轴转动刚体的角动量及其守恒定律
1、质点对轴的角动量
O
??
??m
L?
?
r?
?? ???? 2mrmrL ???
2 rmrmL ?? ??
在定轴转动的刚体
上，各质元对轴的角动
量都沿转轴方向。
2、刚体对轴的角动量
?IL ?
推导,..
圆周运动,
质元对轴的角动量：
?? ???? 2iiiiii rmmrL ?????
刚体对轴的角动量,
iLL
?? ??
??)( 2ii rm???
)( 2??ii rm???
??I?
、, 的方向，都沿转轴方向。所以
iL
? L? ??
?IL ?
推导,
3、刚体角动量定理和角动量守恒定律
由质点系角动量定理：
00 ??
??? IIdtMt
i ??? ?
dt
LdM
i
??
? ? )(dtId ?
?
?
标量式,
dt
Id
dt
dLM
i
)( ????
刚体角动量对时间的变化率，等于作用于
刚体上的外力矩之和。
00 ?? IIdtM
t
i ??? ?
刚体角动量的增量，等于刚体受到的冲量矩 。
常量时，当 ???? ?ILM i 0
上式称为刚体的角动量守恒定律。当 刚体所受
的外力矩之和等于零 时，刚体的角动量保持不变。
强调, 当系统为质点和刚体组成时，当 系统对某
一定轴的外力矩之和为零 时，系统对该轴的总角
动量保持不变。即：
常矢量???? ? ?? ??? mrI
dt
rd ?? ?? 速度
dt
da ??? ? 加速度
六、质点与刚体力学规律对照表
dt
d ?? ? 角速度
dt
d ?? ? 角加速度
mF,质量力 ?
amF ?? ? 牛二律
，力矩 FrM ??? ?? ?? dmrI 2转动惯量
?IM ? 转动定律
? tt dtFm 0 ??,冲量动量 ?
dt
PdF ?? ? 动量定理
质 点 刚体（定轴转动）
?? tt M d tIL 0,冲量矩角动量 ?
dt
dLM ? 角动量定理
六、质点与刚体力学规律对照表 （续）
质 点 刚体（定轴转动）
动量守恒定律,
则有，若 外 0 ?? iF?
常矢量??? ? 0ii pp ??
角动量守恒定律：
常量?? ?IL
2
2
1 ?m平动动能
? ? ?? ba rdFA ?? 力的功
2
0
2
2
1
2
1 ?? mmA ??动能定理
2
0
2
2
1
2
1 ?? IIA ??动能定理
?? ?? ?0 MdA力矩的功
2
2
1 ?I转动动能
时，则有当 0?? iM
刚体动力学规律的应用举例
例 1：如图，质量 m，长为 L的匀质细杆，可绕水
平的光滑轴在竖直平面内转动，转轴 O在杆的 A
端。若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求
杆摆到铅直位置时的角速度。
O
mg
N
?
方法一, 应用动能定理
?? ?MdA
??
?
dLmg c o s22
0?
?
m gL21? 021 2 ?? ?I
L
g3 ?? ?
?O
mg
N
方法二, 应用转动定律
dt
dILmgM ?? ??? c o s
2
?
???
?
?
d
dI
dt
d
d
dI ???
分离变量后，积分
? ??20 0 c o s2
? ?
???? dIdLmg
L
g3 ?? ?
方法四, 应用机械能守恒定律（见下一个例题 ）
方法三, 应用角动量定理
dt
IdM )?（?
sMm
lm
2
2
)3(
6
?
??
例 2：（教材 P67,例 2-25）质量 m，长为 L的均匀细棒，
可绕过其一端的水平轴 O转动。现将棒拉到水平位置
（ OA’）放手，棒下摆到铅直位置（ OA）时，与水平
面 A处的质量为 M的物块作完全弹性碰撞，物体在水平
面上向右滑行了一段距离 s后停止。设物体与水平面间
的摩擦系数处处 相同，求证?
思 路,
分清过程
分析受力
选择系统
应用规律
M M
s
O
A
A’
解,（ 1） 第一阶段：棒从水平位置下摆到铅直位置
但尚未与物块碰撞。以棒和地球为系统，系统的机械
能守恒。选择地面处的 EP = 0 。
M M
s
O
A
A’
）（ 1 2210 2 lmgIm g l ??? ?
）（式中,2 31 2mlI ?
（ 2） 第二阶段：棒与物
块作完全弹性碰撞。以
棒和物块为系统，系统
的角动量守恒和机械能
守恒。
M M
s
O
A
A’
）（ 3 ??? lMII ???
）（ 4 212121 22 ??? MII ???
（ 3） 第三阶段：碰撞后物块在水平面上滑行。应
用动能定理。
)5( 210 2?? MM g s ???
联立以上五式，可证明：
sMm
lm
2
2
)3(
6
?
??