光在传播过程中遇到障碍物时，会偏离直线传
播的现象，称为 光的衍射现象 。
13-1 光的衍射 惠更斯 -菲涅耳原理
一、惠更斯 -费涅耳原理
惠更斯原理,
波面上的任一点都可以看作能向外发射子波
的新波源，波的前方空间某一点 P的振动就是 到达
该点的所有子波的相干叠加 。
波前上每一点都可以看作是发出球面子波的新
波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波前。
惠更斯 -菲涅耳原理,
dSrTtrKCdE )(2c o s)( ??? ??
S n?
?
P
rdS
面元 dS 处的振动媒质在 P点引起的振动：
式中, C 为比例系数,K(θ)是随 θ变化的函数,r
是 P 点到面元 dS 的距离。
P点的光振动为：
?? ??? dSrTtrKCdEE )(c o s)( ??? 2
缝较大时，光是直线传播的 缝很小时，衍射现象明显
阴
影
屏幕 屏幕
二、光的衍射现象及其分类
光源
障碍物 接收屏
S
光源
障碍物 接收屏
衍射的分类,
菲涅耳衍射,
夫琅禾费衍射,
衍射系统由光源、衍射屏、接收屏组成 。
当光源与观察屏 (或其
中之一 )离障碍物为 有
限远 时产生的衍射。
当光源和观察屏离障
碍物的距离都为 无限
远 时所产生的衍射 。
S*
单缝衍射实验装置 屏幕
1L
K 2L
E
13-2 单缝夫琅禾费衍射
宽度远小于长度的矩形狭缝，称为 单缝 。
一,菲涅耳半波带
A
B
f
x
C
?
0P
?
a
)(1
)(1
)(1
P
)(2
)(2
)(2
单缝两端点 A和 B发出两条光线到达 P点的光程差,
?? s ina?
衍射角不同，
最大光程差也
不同,P点位
置不同，光的
强度分布取决
于最大光程差
将单缝上的波阵面划分为若干面积相等的部分，
若每部分最边缘的两条光线到屏上的光程差,
这样的波带称 半波带 。 2
?
A
B
3A
1A
2A
C
?
AB面可以分成多少个半波
带由下式确定,
2s in
?? ?? ma
式中,
m为 半波带数目 。
二、明纹和暗纹公式
PO点的干涉相互加强,
出现明纹 。 A
B
f
0P
a
)(1
)(1
)(1
1、中央明纹
菲涅耳半波带法
A
B
3A
1A
2A
C
?
两个相邻的半波带
上对应点发出的子
波会聚于 P点时, 其
光程差恰好为 λ/2，
因此干涉相消 。
AB面 分成 奇数个半波带,出现 亮纹
A
A
A
B
C
a x
f
φ
1
2φ.
.
.
..
P
..
2、亮纹公式
),3,2,1(
2
)12(s in
??
????
k
ka
?
?
φ.
A
A
A
B
C
a x
f
φ
1
2.
.
.
.
.
A 3
P
...
AB面 分成 偶数个半波带,出现 暗纹
3,暗纹公式
),3,2,1(
s in
??
??
k
ka ??
结论,分成偶数半波带为暗纹。
分成奇数半波带为明纹。
?
?
?
?
?
???
??
?
中央明纹
明纹
暗纹
0
21212
21
),,k()k(
),,k(k
s i na ?
?
?
?
?
正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧
对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带，
在屏幕上光强介于最明与最暗之间。
三、单缝衍射条纹分布的特点
1、中央明纹最亮、最宽，其角宽度等于其他明
纹角宽度的 2倍。
中央明纹的角宽度,
I
a2
5??
a2
3?? 0
a2
5?
a2
3? ?sin
a
?? 2??
其他明条纹的角宽度,
a
?? ??
2,条纹的光强随着级次的增大而减小 。
I
a2
5??
a2
3?? 0
a2
5?
a2
3? ?sin
当 ? 角增加时，半波带数增加，未被抵消的半
波带面积减少，所以光强变小。
3,当用白光照射时, 除 中央明纹仍为白色 外,
其它明纹均为由紫到红的 彩色条纹 。 不同波长,
不同级次的条纹可能产生 重叠现象 。
明纹与明纹重叠条件,
2)12(2)12(s i n
2
2
1
1
??? ?????? kka
明纹与暗纹重叠条件,
22
1
1 2)12(s i n ?
?? kka ????
例、一束波长为 ?=5000?的平行光垂直照射在一个单
缝上。 (1)已知单缝衍射的第一暗纹的衍射角 ?1=300，
求该单缝的宽度 a=?
解,(1) )3,2,1(s i n ???? kka ??
第一级暗纹 k=1,?1=300
ma ?
?
? 0.125.0
s i n 1
????
例、一束波长为 ?=5000?的平行光垂直照射在一个
单缝上。 (2)如果所用的单缝的宽度 a=0.5mm，缝后
紧挨着的薄透镜焦距 f=1m，求,(a)中央明条纹的角
宽度； (b)中央亮纹的线宽度； (c)第一级与第二级暗
纹的距离；
(a)
aa
??? ??? s in
mmmfx 2102 300 ???? ????(b)
r a dmma 330 102105.0 5.022 ??????? ?????
(c)
mmmaafx 1)101102(1)2( 3321 ???????? ?????
例、一束波长为 ?=5000?的平行光垂直照射在一个
单缝上。 a=0.5mm,f=1m (3) 如果在屏幕上离中央亮
纹中心为 x=3.5mm处的 P点为一亮纹，试求 (a)该 P处
亮纹的级数； (b)从 P处看，对该光波而言，狭缝处的
波阵面可分割成几个半波带？
亮纹212 ?? )k(s i na)a( ??
f
xtg ??? ???s in 3
2
1 ???
f
axk
?
(b)当 k=3时，光程差
27212
??? ???? )k(s i na
狭缝处波阵面可分成 7个半波带。
13-4 光栅衍射
一,光栅衍射现象
衍射光栅,由大量等间距、等宽度的平行狭缝
所组成的光学元件。
用于透射光衍射的叫透射光栅 。
用于反射光衍射的叫反射光栅 。
ab 光栅常数,a+b
数量级为 10-5~10-6m
a
b
x
f
0
屏
?
a b+ ?
? 衍射角
(a+b) sin ?—— 相邻两缝光线的光程差
二,光栅的衍射规律
光栅 每个缝 形成各自的 单缝衍射图样 。
光栅衍射条纹是单缝衍射与多缝干涉的总效果。
光栅 缝与缝之间 形成的 多缝干涉图样 。
1、光栅公式
任意相邻两缝对应点在衍射角为 ?方向的两衍射光
到达 P点的光程差为 (a+b)sin?
光栅公式
光栅衍射明条纹位置满足：
(a+b)sin? =k?
k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
(a+b)sin?=k? k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
单色平行光倾斜地射到光栅上
0?
?
0?
?)(a )(b
相邻两缝的入射光在入射到光栅前已有光程差
(a+b)sin?0
(a+b)(sin?? sin?0 )=k? k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
2、暗纹条件
暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉相消形成的。
?,,,k)Nnk(s i n)ba( 210 ?????? ??
主极大级数—k 光栅缝总数—N
121 ?? N,,nn ?为正整数
在两个相邻主极大之间，
分布着 N-1条暗条纹和 N-2条次级明条纹。
光栅衍射是单缝衍射和缝间光线干涉两种效应
的叠加，亮纹的位置决定于缝间光线干涉的结果。
缝数 N = 4 时
光栅衍射的光
强分布图
k=1
k=2k=0 k=4
k=5k=-1
k=-2k=-4
k=-5 k=3k=-3 k=6
k=-6
3、单缝对光强分布的影响
4、缺级现象
a sin ? =k'?
k'=0,± 1,± 2,· · ·
缺极时衍射角同时满足：
(a+b)sin? =k?
k=0,± 1,± 2,· · ·
即, k =(a+b) /a· k'
k 就是所缺的级次
缺级 由于单缝衍射的
影响，在应该出现亮纹的
地方，不再出现亮纹
缝间光束干
涉极大条件
单缝衍射
极小条件
k=1
k=2k=0 k=4
k=5k=-1
k=-2k=-4
k=-5 k=3k=-3
k=6
?????????? 392613kka ba若
缺 级
k=-6
缺级,k = 3,6,9,...
缺级
光栅衍射
第三级极
大值位置单缝衍射第一级极
小值位置
白光投射在光栅上，在屏上除零级主极大明
条纹由各种波长混合仍为白光外，其两侧将形成
由紫到红对称排列的彩色光带，即光栅光谱。
三、光栅光谱
1?k 2?k
3?k
例、波长为 6000?的单色光垂直入射在一光栅上，第
二级明纹出现在 sin?2=0.2处，第 4级为第一个缺级。
求 (1)光栅上相邻两缝的距离是多少？ (2)狭缝可能的
最小宽度是多少？ (2)狭缝可能的最小宽度是多少？
(3)按上述选定的 a,b值，实际上能观察到的全部明
纹数是多少？
解, (1)
?? kba ?? s in)( mkba ?
?
? 6
s in
)( ???
1,4)()2( ?????? kkka bak 取
madbmbaa ?? 5.45.14 m i nm i n ??????
m a x1s i n)3( kk ??,由光栅方程 ?
106.0 6m a x ???? mmbak ???
在 -900<sin?<900范围内可观察到的明纹级数为
k=0,?1,?2,?3,?5,?6,?7,?9,共 15条明纹
例、一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有
两种波长 ?1=4400?,?2=6600?实验发现，两种波长的
谱线 (不计中央明纹 )第二重合于衍射角 ?=600的方向
上，求此光栅的光栅常数 d。
解：
111s in ?? kd ? 222s in ?? kd ?
2
1
22
11
2
1
3
2
s in
s in
k
k
k
k ??
?
?
?
?
????? 4623
2
1
21 k
k，所以两谱线重合,??
第二次重合 k1=6,k2=4
mmdd 310 1005.3660s i n ???? ?
13-4 圆孔夫琅和费衍射
一、圆孔衍射
S D
????
2221 dD/.s i n ???
第一暗环所围成的中央光斑称为 爱里斑
爱里斑半径 d 对透镜光心的张角称为 爱里斑的半角宽度
点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射的影响，
所成的象不是一个点而是一个明暗相间的圆形光斑。
S1
S2
D
**
爱里斑
二、光学仪器的分辨率
若两物点距离很近，对应的两个爱里斑可能部分重
叠而不易分辨
瑞利判据,如果一个点光源的衍射图象的中央最亮处
刚好与另一个点光源的衍射图象第一个最暗处相重合
，认为这两个点光源恰好能为这一光学仪器所分辨。
恰
能
分
辨
能
分
辨
不
能
分
辨
s1
s2
?0D
**
在恰能分辨时，两个点光源在透镜前所张的角度，
称为最小分辨角 ?0,等于爱里斑的半角宽度。
D/,?? 2210 ?
D为 光学仪器的透光孔径
最小分辨角的倒数 称为光学仪器的 分辨率
0
1
?
?? 221
1
0,
D?
13-6 X射线的衍射
1895年伦琴发现 X 射线。
X 射线是波长很短的电磁波。
X 射线的波长,0.01 ~ 10nm
阳极
（对阴极）
阴极X射线管
~10 4 10 5 V
+
X 射线衍射 ---劳厄实验
劳
厄
斑
点
根据劳厄斑点的分
布可算出晶面间距，掌
握晶体点阵结构。
晶体可看作三维
立体光栅。
晶体
底
片
铅
屏X射
线
管
布喇格父子 (W.H.Bragg,W.L.Bragg)对伦琴射线衍射
的研究：
d 晶格常数
(晶面间距 )
? 掠射角
光程差,
干涉加强条件（布喇格公式）：
A
? ?O
.,
.
C.
Bd φ
?s i ndBCAC 2??
?2102,,kks i nd ?? ??
讨论：
1,如果晶格常数已知，可以用来测定 X射线的
波长，进行伦琴射线的光谱分析。
2,如果 X 射线的波长已知，可以用来测定晶体
的晶格常数，进行晶体的结构分析。
符合上述条件时，各层晶面的反射线干涉后
将相互加强。
?2102,,kks i nd ?? ??
播的现象，称为 光的衍射现象 。
13-1 光的衍射 惠更斯 -菲涅耳原理
一、惠更斯 -费涅耳原理
惠更斯原理,
波面上的任一点都可以看作能向外发射子波
的新波源，波的前方空间某一点 P的振动就是 到达
该点的所有子波的相干叠加 。
波前上每一点都可以看作是发出球面子波的新
波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波前。
惠更斯 -菲涅耳原理,
dSrTtrKCdE )(2c o s)( ??? ??
S n?
?
P
rdS
面元 dS 处的振动媒质在 P点引起的振动：
式中, C 为比例系数,K(θ)是随 θ变化的函数,r
是 P 点到面元 dS 的距离。
P点的光振动为：
?? ??? dSrTtrKCdEE )(c o s)( ??? 2
缝较大时，光是直线传播的 缝很小时，衍射现象明显
阴
影
屏幕 屏幕
二、光的衍射现象及其分类
光源
障碍物 接收屏
S
光源
障碍物 接收屏
衍射的分类,
菲涅耳衍射,
夫琅禾费衍射,
衍射系统由光源、衍射屏、接收屏组成 。
当光源与观察屏 (或其
中之一 )离障碍物为 有
限远 时产生的衍射。
当光源和观察屏离障
碍物的距离都为 无限
远 时所产生的衍射 。
S*
单缝衍射实验装置 屏幕
1L
K 2L
E
13-2 单缝夫琅禾费衍射
宽度远小于长度的矩形狭缝，称为 单缝 。
一,菲涅耳半波带
A
B
f
x
C
?
0P
?
a
)(1
)(1
)(1
P
)(2
)(2
)(2
单缝两端点 A和 B发出两条光线到达 P点的光程差,
?? s ina?
衍射角不同，
最大光程差也
不同,P点位
置不同，光的
强度分布取决
于最大光程差
将单缝上的波阵面划分为若干面积相等的部分，
若每部分最边缘的两条光线到屏上的光程差,
这样的波带称 半波带 。 2
?
A
B
3A
1A
2A
C
?
AB面可以分成多少个半波
带由下式确定,
2s in
?? ?? ma
式中,
m为 半波带数目 。
二、明纹和暗纹公式
PO点的干涉相互加强,
出现明纹 。 A
B
f
0P
a
)(1
)(1
)(1
1、中央明纹
菲涅耳半波带法
A
B
3A
1A
2A
C
?
两个相邻的半波带
上对应点发出的子
波会聚于 P点时, 其
光程差恰好为 λ/2，
因此干涉相消 。
AB面 分成 奇数个半波带,出现 亮纹
A
A
A
B
C
a x
f
φ
1
2φ.
.
.
..
P
..
2、亮纹公式
),3,2,1(
2
)12(s in
??
????
k
ka
?
?
φ.
A
A
A
B
C
a x
f
φ
1
2.
.
.
.
.
A 3
P
...
AB面 分成 偶数个半波带,出现 暗纹
3,暗纹公式
),3,2,1(
s in
??
??
k
ka ??
结论,分成偶数半波带为暗纹。
分成奇数半波带为明纹。
?
?
?
?
?
???
??
?
中央明纹
明纹
暗纹
0
21212
21
),,k()k(
),,k(k
s i na ?
?
?
?
?
正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧
对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带，
在屏幕上光强介于最明与最暗之间。
三、单缝衍射条纹分布的特点
1、中央明纹最亮、最宽，其角宽度等于其他明
纹角宽度的 2倍。
中央明纹的角宽度,
I
a2
5??
a2
3?? 0
a2
5?
a2
3? ?sin
a
?? 2??
其他明条纹的角宽度,
a
?? ??
2,条纹的光强随着级次的增大而减小 。
I
a2
5??
a2
3?? 0
a2
5?
a2
3? ?sin
当 ? 角增加时，半波带数增加，未被抵消的半
波带面积减少，所以光强变小。
3,当用白光照射时, 除 中央明纹仍为白色 外,
其它明纹均为由紫到红的 彩色条纹 。 不同波长,
不同级次的条纹可能产生 重叠现象 。
明纹与明纹重叠条件,
2)12(2)12(s i n
2
2
1
1
??? ?????? kka
明纹与暗纹重叠条件,
22
1
1 2)12(s i n ?
?? kka ????
例、一束波长为 ?=5000?的平行光垂直照射在一个单
缝上。 (1)已知单缝衍射的第一暗纹的衍射角 ?1=300，
求该单缝的宽度 a=?
解,(1) )3,2,1(s i n ???? kka ??
第一级暗纹 k=1,?1=300
ma ?
?
? 0.125.0
s i n 1
????
例、一束波长为 ?=5000?的平行光垂直照射在一个
单缝上。 (2)如果所用的单缝的宽度 a=0.5mm，缝后
紧挨着的薄透镜焦距 f=1m，求,(a)中央明条纹的角
宽度； (b)中央亮纹的线宽度； (c)第一级与第二级暗
纹的距离；
(a)
aa
??? ??? s in
mmmfx 2102 300 ???? ????(b)
r a dmma 330 102105.0 5.022 ??????? ?????
(c)
mmmaafx 1)101102(1)2( 3321 ???????? ?????
例、一束波长为 ?=5000?的平行光垂直照射在一个
单缝上。 a=0.5mm,f=1m (3) 如果在屏幕上离中央亮
纹中心为 x=3.5mm处的 P点为一亮纹，试求 (a)该 P处
亮纹的级数； (b)从 P处看，对该光波而言，狭缝处的
波阵面可分割成几个半波带？
亮纹212 ?? )k(s i na)a( ??
f
xtg ??? ???s in 3
2
1 ???
f
axk
?
(b)当 k=3时，光程差
27212
??? ???? )k(s i na
狭缝处波阵面可分成 7个半波带。
13-4 光栅衍射
一,光栅衍射现象
衍射光栅,由大量等间距、等宽度的平行狭缝
所组成的光学元件。
用于透射光衍射的叫透射光栅 。
用于反射光衍射的叫反射光栅 。
ab 光栅常数,a+b
数量级为 10-5~10-6m
a
b
x
f
0
屏
?
a b+ ?
? 衍射角
(a+b) sin ?—— 相邻两缝光线的光程差
二,光栅的衍射规律
光栅 每个缝 形成各自的 单缝衍射图样 。
光栅衍射条纹是单缝衍射与多缝干涉的总效果。
光栅 缝与缝之间 形成的 多缝干涉图样 。
1、光栅公式
任意相邻两缝对应点在衍射角为 ?方向的两衍射光
到达 P点的光程差为 (a+b)sin?
光栅公式
光栅衍射明条纹位置满足：
(a+b)sin? =k?
k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
(a+b)sin?=k? k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
单色平行光倾斜地射到光栅上
0?
?
0?
?)(a )(b
相邻两缝的入射光在入射到光栅前已有光程差
(a+b)sin?0
(a+b)(sin?? sin?0 )=k? k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
2、暗纹条件
暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉相消形成的。
?,,,k)Nnk(s i n)ba( 210 ?????? ??
主极大级数—k 光栅缝总数—N
121 ?? N,,nn ?为正整数
在两个相邻主极大之间，
分布着 N-1条暗条纹和 N-2条次级明条纹。
光栅衍射是单缝衍射和缝间光线干涉两种效应
的叠加，亮纹的位置决定于缝间光线干涉的结果。
缝数 N = 4 时
光栅衍射的光
强分布图
k=1
k=2k=0 k=4
k=5k=-1
k=-2k=-4
k=-5 k=3k=-3 k=6
k=-6
3、单缝对光强分布的影响
4、缺级现象
a sin ? =k'?
k'=0,± 1,± 2,· · ·
缺极时衍射角同时满足：
(a+b)sin? =k?
k=0,± 1,± 2,· · ·
即, k =(a+b) /a· k'
k 就是所缺的级次
缺级 由于单缝衍射的
影响，在应该出现亮纹的
地方，不再出现亮纹
缝间光束干
涉极大条件
单缝衍射
极小条件
k=1
k=2k=0 k=4
k=5k=-1
k=-2k=-4
k=-5 k=3k=-3
k=6
?????????? 392613kka ba若
缺 级
k=-6
缺级,k = 3,6,9,...
缺级
光栅衍射
第三级极
大值位置单缝衍射第一级极
小值位置
白光投射在光栅上，在屏上除零级主极大明
条纹由各种波长混合仍为白光外，其两侧将形成
由紫到红对称排列的彩色光带，即光栅光谱。
三、光栅光谱
1?k 2?k
3?k
例、波长为 6000?的单色光垂直入射在一光栅上，第
二级明纹出现在 sin?2=0.2处，第 4级为第一个缺级。
求 (1)光栅上相邻两缝的距离是多少？ (2)狭缝可能的
最小宽度是多少？ (2)狭缝可能的最小宽度是多少？
(3)按上述选定的 a,b值，实际上能观察到的全部明
纹数是多少？
解, (1)
?? kba ?? s in)( mkba ?
?
? 6
s in
)( ???
1,4)()2( ?????? kkka bak 取
madbmbaa ?? 5.45.14 m i nm i n ??????
m a x1s i n)3( kk ??,由光栅方程 ?
106.0 6m a x ???? mmbak ???
在 -900<sin?<900范围内可观察到的明纹级数为
k=0,?1,?2,?3,?5,?6,?7,?9,共 15条明纹
例、一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有
两种波长 ?1=4400?,?2=6600?实验发现，两种波长的
谱线 (不计中央明纹 )第二重合于衍射角 ?=600的方向
上，求此光栅的光栅常数 d。
解：
111s in ?? kd ? 222s in ?? kd ?
2
1
22
11
2
1
3
2
s in
s in
k
k
k
k ??
?
?
?
?
????? 4623
2
1
21 k
k，所以两谱线重合,??
第二次重合 k1=6,k2=4
mmdd 310 1005.3660s i n ???? ?
13-4 圆孔夫琅和费衍射
一、圆孔衍射
S D
????
2221 dD/.s i n ???
第一暗环所围成的中央光斑称为 爱里斑
爱里斑半径 d 对透镜光心的张角称为 爱里斑的半角宽度
点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射的影响，
所成的象不是一个点而是一个明暗相间的圆形光斑。
S1
S2
D
**
爱里斑
二、光学仪器的分辨率
若两物点距离很近，对应的两个爱里斑可能部分重
叠而不易分辨
瑞利判据,如果一个点光源的衍射图象的中央最亮处
刚好与另一个点光源的衍射图象第一个最暗处相重合
，认为这两个点光源恰好能为这一光学仪器所分辨。
恰
能
分
辨
能
分
辨
不
能
分
辨
s1
s2
?0D
**
在恰能分辨时，两个点光源在透镜前所张的角度，
称为最小分辨角 ?0,等于爱里斑的半角宽度。
D/,?? 2210 ?
D为 光学仪器的透光孔径
最小分辨角的倒数 称为光学仪器的 分辨率
0
1
?
?? 221
1
0,
D?
13-6 X射线的衍射
1895年伦琴发现 X 射线。
X 射线是波长很短的电磁波。
X 射线的波长,0.01 ~ 10nm
阳极
（对阴极）
阴极X射线管
~10 4 10 5 V
+
X 射线衍射 ---劳厄实验
劳
厄
斑
点
根据劳厄斑点的分
布可算出晶面间距，掌
握晶体点阵结构。
晶体可看作三维
立体光栅。
晶体
底
片
铅
屏X射
线
管
布喇格父子 (W.H.Bragg,W.L.Bragg)对伦琴射线衍射
的研究：
d 晶格常数
(晶面间距 )
? 掠射角
光程差,
干涉加强条件（布喇格公式）：
A
? ?O
.,
.
C.
Bd φ
?s i ndBCAC 2??
?2102,,kks i nd ?? ??
讨论：
1,如果晶格常数已知，可以用来测定 X射线的
波长，进行伦琴射线的光谱分析。
2,如果 X 射线的波长已知，可以用来测定晶体
的晶格常数，进行晶体的结构分析。
符合上述条件时，各层晶面的反射线干涉后
将相互加强。
?2102,,kks i nd ?? ??
