? 机械波的描述
? 平面简谐波的波动方程
? 波的能量
? 波的干涉
? 多普勒效应（ Doppler effect）
内 容 提 要
一、机械波的描述
1、机械波的产生条件
例 1：用手拿着绳子的一端，并使其上下振动 。
0?t
4/Tt ?
2/Tt ?
43 /Tt ?
Tt?
45 /Tt ?
?
?
例 2：用手有节奏的拉压长弹簧的一端。
? 要有作振动的物体 — 波源 。
? 要有传播机械振动的载体 — 弹性媒质 。
结论,
(1)质元并未, 随波逐流, 波的传播不是媒
质
质元的传播(2),上游, 的质元依次带动, 下游, 的质元
振动(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于
,下游, 某处出现 ---波是振动状态的传播
(4)相邻的 同相点 （ 质元的振动状态相同 ）,
波长为 ? 相位差为 2?
机械波的产生必须具备 两个条件,
横波,在波动过程中, 若质点的振动方向与波的传
播方向 垂直 。 如绳中的波动 。
纵波,在波动过程中, 若质点的振动方向与波的传
播方向 平行 。 如弹簧中的波动 。
波前,在传播过程中，最前面的波面。
波面,振动中相位相同的点构成的面。
平面波,波面为平面的波 。
波线 （波射线）：波的传播方向。
2、波的几何描述
球面波,波面为球面的波 。
波线
波面
波面
波线
平面波
球面波
波面
波线
波线
波
面
3、描述波的物理量
波前进一个波长所需要的时间，称波的 周期 。
在同一波线上振动状态完全相同的相邻两
质点（或同一波线上相位差为 2π的相邻两质点）
间的距离，称 波长 。
T
1??
单位时间内通过媒质中某一点的波形数,
称波的 频率 。
（ 1）波长 λ
（ 2）周期 T 和频率 ν
uT
T
u
?
??
?
??
?
或
（ 3） 波速 （ 又称相速 ） u
单位时间内波向前移动的距离，称 波速 。
注意,波速不等于各质点的振动速度 。
二、平面简谐波的波动方程
作谐振动的波源在媒质中形成的波, 称为 简谐波 。
? 振幅仍为 A（ 无吸收 ） ；
? 振动的角频率仍为 ω；
? 振动的时间落后：
设 O点处的质点在 t 时刻的振动方程为
) c o s ( ?? ?? tAy o
则 t 时刻 B点处的质点,
u
x
即 B点处的质点振动的相位为：
u
x??
????? ?????? )( uxtuxt
1,波动方程
x
y
B
u?
O
x
振动的相位落后：
上式反映了媒质中任意质点振动位置随空间和
时间的变化关系式，因此代表了 沿 x轴正向传播的平
面简谐波的波动方程。
)]) (c o s [ ?? ??? uxtAy
)]) (2c o s [ ???? ??? xtAy
22 得和利用 uTT ??? ?????
沿 x轴负向传播的简谐波的波动方程为：
]) (A c o s [ 2 )]) (c o s [ ?????? ?????? xtuxtAy
B点处的质点在 t 时刻的振动方程为：
波动方程表示波线上 x 处的质点的振动方程 。
该质点振动的初相,
（ 2）当 t = 常量时,波动方程表示 t 时刻的波形 。
或 ux?? ?? x?? ??? 2
)( )]
2
( tA c os [
)]( c os [
tyx
x
u
tAy
?????
????
?
?
??
?
??
（ 1） 当 x = 常量时
2,波动方程的物理意义
X
Y
O
u?
x1 x2
?
（ 3）当 x,t 都变化时,波动方程 表示一个沿 x
轴方向传播的波动。即 代表一个行波 。
x
y u
?
O
x
tt ??t
x?
三、波的能量
设波动方程为,
1,波的能量
体积元的 动能,
)( c o s uxtAy ?? ?
)( s in uxtAty ?????? ???
)( s i n 2121 2222 uxtVAmE k ?????? ????
在坐标 x处取一体积元,其质元质量
当波传播到这一体积元时，质元的振动速度,
V? Vm ???? ?
体积元发生形变而具有的 势能,
kp EE ???
体积元的 总能量,
)( s i n 222 uxtVAEEE kp ???????? ???
(1)体积元的 动能和势能相等,且都随时间作同步变
化，同时达到最大，同时达到最小。
(2)波动过程是能量的传播过程 。
单位体积的媒质中波的能量，称为 能量密度 。
)( s i n limw 222
0 u
xtA
V
E
V
?????
??
???
能量密度在一个周期内的平均值, 称 平均能量密度 。
22
0
21w d t1w ?? AT T? ??
能流在一个周期内的平均值, 称 平均能流, 即
2,平均能流密度 (波的强度 )
单位时间内通过波的传播方向上某面
积的能量, 称为通过该面积的 能流 。
通过垂直于波的传播方向的单位面积的平
均能流, 称为 平均能流密度 。
uTP SwSw ???? ?
? ? ????? T T SuSuTPTP 0 0 wdt w1dt 1
uAuSPI 22 21w ?????
uT??
u
S?
四、波的干涉
1,惠更斯原理
惠更斯原理,
介质中波阵面（波前）
上的各点，都可以看作
为发射子波的波源，其
后一时刻这些子波的包
迹便是新的波阵面。
平面波
t+?t时刻波面
·
·
·
·
u?t
波传播方向
T 时刻波面
球面波
··
·
· · · ··
·
·
····t
t + ?t
T 时刻波面 ?t+?t 时刻波面 ? 波的传播方向
2,波的叠加原理
当几列波在空间某点相遇时, 相遇处质点的振动为
各列波到达该点引起振动的叠加, 相遇后各波仍保持各
自原有的特性 （ 如频率, 波长, 振动方向等 ）, 继续向
原方向传播 。 这一规律称 波的叠加原理 。
3、波的干涉
设两相干波源 S1,S2均作谐振动
（ 振动方向垂直纸面 ）, 其振动方
程为：
) c o s ( 11010 ?? ?? tAy
) c o s ( 22020 ?? ?? tAy
能产生干涉的两列波称为 相干波。
合振动为,
两列波在 P点引起的振动分别为,
)]) (c o s [ 1111 ?? ??? urtAy
)] 2( c o s ( 222 ???? rtA ???
) c o s (21 ?? ???? tAyyy
)2c o s (2 1212212221
?
??? rrAAAAA ???????
)] 2( c o s ( 111 ???? rtA ???
)]) (c o s [ 2222 ?? ??? urtAy
??c o s2 2121 IIIII ???
讨论
)2c o s (2 1212212221
?
??? rrAAAAA ???????
（ 1） 相长干涉的条件,
,...3,2,1,0 22 1212 ????????? kkrr ?????? ）（
21m a x AAAA ???且
,...3,2,1,0)12()(2)( 1212 ????????? kkrr ??????
|| 21m i n AAAA ???且
（ 2） 相消干涉的条件,
2121m a x 2 IIIIII ????
2121m i n 2 IIIIII ????
当 两相干波源为同初相、等振幅波源 时，相干条件为
,...3,2,1,0,12 ????? kkrr ??
,...3,2,1,0,2)12(12 ?????? kkrr ??
相长干涉
相消干涉
? 称为 波程差
波的非相干叠加
21 III ??
1m a x 2 AAA ??且
0m i n ?? AA且
4、驻 波
两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反
的方向传播时叠加而形成的波，称为 驻波 。
设一列波沿 x轴的正方向传播，另一列波沿 x轴
的负方向传播。选取共同的坐标原点和计时起点，
它们的波动方程分别为：
) (2c o s1 ??? xtAy ?? ) (2c o s2 ??? xtAy ??
合成波：
txAyyy 2c o s)2c o s2(21 ???? ????
上式称 驻波方程 。形成驻波时，波线上各质元都以同
一频率作谐振动，但不同质点的振幅随位置 x 作周期
性的变化。
讨论
（ 3） 相邻两波腹 （ 或波节 ） 之间的距离均为 。
2
?
（ 5） 相邻两波节之间, 各质点振动的 振幅不同,
相位相同 。
（ 4） 在驻波中, 没有波形及能量的传播 。
（ 1） 的各质元，其振幅
取最大值，称为驻波的 波腹 。
?,,,kkx 2102 ??? ?
txAyyy 2c o s)2c o s2(21 ???? ????
（ 2） 的各质元,其
振幅为 0，称为驻波的 波节。 位于波节的质元 静止
不动。
?,,,k)k(x 210221 ???? ?
驻
波
的
特
点
5、半波损失
有半波损失
无半波损失
称波阻,z大的称 波密媒质, z 小的称 波疏媒质 。uz ??
波从波疏媒质入射到波密媒质,
在反射处, 反射波的振动相位与入
射波的相反 （ 干涉后形成波节 ）,
即 相位在反射处发生了 π突变, 称为
半波反射, 反射时相位改变 π,相当
于损失了半个波长, 因此, 常称这
种现象为 半波损失 。
半波损失的 处理方法,
在反射波的波动方程中，
其相位加上 π
五、多普勒效应（ Doppler effect）
由于波源或观察者的运动, 造成观测频率与波源
频率不同的现象, 称为 Doppler effect。
u,波的传播速度。
,波源相对于媒质的运动速度。
s?
0?
,观察者相对媒质的运动速度。
,波源的振动频率。?
1、,观察者测得的频率：0
0 ?? ?? s
观察者测得的频率就是波源的振动频率。
??? ???? uTuu
0,0 0 ?? ?? s2,（波源不动，观察者相对于媒质运动）
（ 1）观察者向着波源运动。
0??u
相当于波以速度 通过观察者，观察者测
得的频率：
????? ?? ???????? )1( 000 uuTuu
（ 2）观察者离开波源运动。观察者测得的频率：
???? ???? )1( 0u
频率升高
频率降低
0,0 0 ?? ?? s3,（波源运动，观察静止）
（ 1） 波源向着观察者运动。
在一个周期 T内波源已逼近观察者 的
距离，所以在观察者看来，波在一个周期内所
走过的距离应为,
Ts?
TuT ss )( ???? ?????
?
???
?
ss u
u
Tu
uu
?
?
?
????
)(
观察者测得的频率,
频率升高
（ 2）波源远离观察者运动时，观察者测得的频率,
?
??
?
su
uu
?
???? 频率降低
4、波源和观察者同时相对于媒质运动。
???
Svu
u
?
0???
例如, 用于 测定星球相对于地球的运动速度 。 利用
声波的 Doppler效应可以 测定流体的流动, 振动体
的振动和潜艇的速度, 还可以用来 报警和监测车速 。
在医学上, 利用超声波的 Doppler效应可以 对心脏
跳动情况进行诊断, 等等 。
Doppler效应在科学技术上的应用,