? 谐振动的特征
? 谐振动的描述
? 谐振动的能量
? 同方向、同频率谐振动的合成
? 谐振子的阻尼振动
? 谐振子的受迫振动和共振
内 容 提 要
一、谐振动的特征
1、动力学特征
(1) 弹簧振子
o x
k
F
m
取平衡位置为坐标原点
kxF ??
0 22
2
?? xdt xd ?动力学方程：
(2) 单摆
合力对 O轴的力矩：
?
gm?
T?
O
0 22
2
?? ???dtd动力学方程：
综上, 力 （ 或力矩 ） 的大小与物体的位置 （
或角位置量 ） 成正比关系并反号, 则物体的运动
就是 谐振动 。 使物体作谐振动的力 （ 或力矩 ）,
称为 线性回复力 （ 或线性回复力矩 ） 。
2,运动学特征
) tc o s ( ?? ?? Ax
xAdtda 22 ) tc o s ( ????? ??????
物体作谐振动的速度、加速度,
运动学 （ 或振动 ） 方程,
) ts in ( ???? ???? Adtdx
二、谐振动的描述
2
2
02
0xA ?
???
2T ???
2,周期 T
振幅是位置坐标的最大绝对值 。 其大小可由初始
条件确定 。
振子作一次全振动所需的时间称周期 。
1,振幅 A
?
??
2
1 ??
TT
???? 22 ??
3,频率与角频率
单位时间内振动的次数为频率, 频率与周期互
为倒数 。
4,相位与初相
?
?
?
??
?
?
???
?
s i n
c o s
0
0
0
A
Ax
t,时
时的相位称 初位相 。初位相由初始条件决定：0?t
) t( ?? ?振动方程中的 一项称为 相位, 它决定着谐振动物体的状态 。
5,旋转矢量法
t?
?
x
X
o
?
t
0t?
P
A? 0?t
矢量 称旋转矢量,绕 o旋转一周时，其端
点的轨迹称为参考圆，这种描述简谐振动的方法
称 旋转矢量法 。
A? A?
A?
t
(1) P点的运动为谐振动。
(2) 旋转矢量旋转一周所需的时间为谐振动的
周期 T。
) tc o s ( ?? ?? Ax P
A c o s ????
) tA c o s ( 2 ??? ???Pa
) tA s in ( ??? ???
??? A c o s ?P
A?? ?
?
0t?t?
?
?
X
o
A?
A?
P
0?t
? a
三、振动的能量
动能,
) (s i n2121 2222 ???? ??? tmAmE k
弹性势能,
系统的动能, 势能都随时间变化, 动能达最大
值时, 势能为零, 势能达最大值时, 动能为零 。 但
系统的总机械能守恒 。
) (c o s2121 222 ?? ??? tkAkxE p
机械能,
222
2
1
2
1 AmkAEEE
Pk ?????
例,两质点在 x轴上作同方向, 同振幅的谐振动, 其周
期均为 8.5s,当 时, 质点 1在 处, 向 x轴
负向运动, 而质点 2在 处 。 用旋转矢量法求两个
谐振动的相位差及两个质点第一次经过平衡位置的时
刻 。
0?t 2/2A
A?
,4 21 ???? ??解：
4312 ???? ????
06.1
4
t 11 st ???
?
?
st 13.22 t 22 ??? ??
2A
?
2? 1A
?
1?
2x 1x
x
t
0?t
XO
A?
?
?
四、同方向、同频率谐振动的合成
设一质点同时参与两个同方向, 同频率的谐振动,
) tc o s ( 111 ?? ?? Ax
) tc o s ( 222 ?? ?? Ax
合振动,
21 xxx ??
式中：
) tc o s ( ?? ?? A
)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s ins in
??
???
AA
AAtg
?
??
1y
2y
同方向, 同频率谐振动合成后仍为谐振动, 其
频率与分振动频率相同 。
则当 ),0,1,2(k 2)1( 12 ??????? ???? k
合振动的振幅最大。,21 AAA ??
则当 ),0,1,2(k )12()2( 12 ???????? ???? k
合振动的振幅最小。,21 AAA ??
上面的结果，也适用于 机械波、光波的干涉、衍射 。
讨论
)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA
例, 两个频率和振幅都相同的简谐振动的 x-t曲线如
图所示, 求 （ 1） 两个谐振动的相位差； （ 2） 两个谐
振动的合成振动的振动方程
o
)(st
)(cmX
1 2 3 4
5解：由图可知,
521 cmAA ??
)s 2 (4 1-?? ?? sT
2A
?
23?由旋转矢量图可得,
）或 2(23,0 21 ???? ???
X O
1A
?
由矢量合成法则得：
∴ 合振动方程为,
( c m ) 25
2
2
2
1
?
?? AAA
4
?? ??
cm )42c o s (25 ?? ?? tx
4?
A?
2A
?
23? X
1A
?
五、谐振子的阻尼振动
动力学方程：
dt
dxkx
dt
xdm ?????
2
2
??? 2m,20 ?? mk令
02 202
2
??? xdtdxdt xd ??
上式是常系数齐次线性微分方程, 其特征方程：
02 202 ??? ????
2
0
2 ???? ????
特征根：
1,阻尼振动
) tc o s ( )( 0 ??? ?? ? teAtx
阻尼振动曲线如图：
弱阻尼
当阻尼较小 时, 微分方程的解为：）（
0?? ?
220 ??? ??式中：
是阻尼振动的振幅。teA ??
0
当 很小时，阻
尼振动可以近似地看作
谐振动 。
?
? 越大，阻尼振动的振
幅随时间衰减得越快。
2,过阻尼运动
当阻尼较大 时, 微分方程的解为：）（
0?? ?
])(e x p [])(e x p [)( 20222021 tCtCtx ?????? ????????
振子从开始的最大位置缓慢地回到平衡位置，而
不能作周期性振动,这种情况称 过阻尼运动 。
过阻尼运动曲线如图 。 过阻尼
3,临界阻尼运动
) e x p ()()( 21 ttcctx ????
阻尼的大小恰好使振子开始作非周期性振
动。这种情况称 临界阻尼运动 。振动曲线如图
所示。
临界阻尼运动状态，系
统从开始振动到静止所经过
的 时间最短 。
当 时, 微分方程的解为：
0?? ?
临界阻尼
六、谐振子的受迫振动和共振
1,受迫振动
振动系统在外界驱动力作用下的振动, 叫做受迫振动 。
ptHdtdxkxdt xdm c o s 2
2
????? ?动力学方程：
m
Hh,2
m,
2
0 ??? ?
??
m
k令
非齐次线性方程的解为
)A c o s ( p t) tc o s () e x p ( )( 0 ???? ????? tAtx
pthxdtdxdt xd c o s2 202
2
??? ??
受迫振动是阻尼振动与谐振动的合成，经过一段
时间后，阻尼振动衰减到 0，振动达到稳定状态，此
时的受迫振动方程为：
)A c o s ( p t)( ???tx
22222
0 4)( pp
hA
?? ??
?
22
0
2
p
pa r c tg
?
??
?
??
是谐振动,式中
受迫振动的振幅 A 与驱动力的角频率 p,阻尼系数 ?,
振动系统的固有角频率 0? 有关。其关系曲线如图。
讨论
2、共振
22222
0 4)( pp
hA
?? ??
?
（ 1）当 一定时，p,0?
?
1?A
（ 2）当 一定时,p 接近,受迫振动
的振幅 A变大。
??, 0 0?
220 2 ?? ??rp当 时,A 有极大值。
受迫振动的振幅出现极大值的现象称 位移共振
（简称共振）。
220 2 ?? ??rp 称为共振角频率。
共振振幅,
22
02 ??? ?
? hA r
越小，共振时的振幅越大，共振越剧烈。
特别地，当 时，共振振幅
?
0?? ??A