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M>>m
设核静止，电子处在库仑场中
运动。
电子能量,
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自由电子
束缚电子
讨论后者,U（ r）与时间无关，故满足
Schr?dinger方程,
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4
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2
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二）薛定谔方程应用举例 Applic ation E xample s of
Schr ? dinger E quat ion to H ydrog enous Atom
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波函数是由三个量子数决定的，下面给出 n,l,m
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1、能量是量子化的
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下面介绍由这些波函数得出的一些重要结论,
注意, n称为主量子
数,氢原子的能量是
不连续的,这些不连
续的能量状态称为
能级,
n=1时,En=-13.6ev,称为基态 ;
n=2,3,4…,
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n
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称为激发态
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· · ·
· · · ·
· ·
·
·
· · ·
· ·
· · · · · · ·
· ·
·
·
· ·
· ·
· · · · ·
· · · · ·
· ·
· ·
· · ·
2、电子, 轨道, 角动量是量子化的
)1(2.1.0 ?? nl ?
注意, 1)角动量量子化是通过解 Schr?dinger 得出
的,并非人为假设,
2)处于能量为 En的原子,角动量有几种可能的值
)1(2.1.0 ?? nl ? 量子力学中通常用
小写字母 s.p.d.f.g.表示这些状态,
角量子数 ( )
角动量 (L)
l
S p d f g h
0 1 2 3 4 5
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3、角动量的空间取向是量子化的
角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为 Z轴
方向,则角动量在 Z轴上的分量,
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注意,这意味着角量子数为 的电子,角动量在空间的
取向只有 个,故在 Z轴上的投影 LZ也只有
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“简并” ---同一的能级中还可对应不同的量子态
的现象。
如 H原子能量主要依赖于主量子数 n,
但 n相同时，还有 不同的状态。 ml.
“简并度” ---同一能级中具有的量子态总数
（ Degeneracy）
量子数为 n的 H原子能级的简并度
4、概率密度与电子云
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向
分
布
有了这些径向分布与角分布，加上一点想象力,
就可知电子在哪些地方出现的几率大，哪些地方
出现的少。
在坐标图中，在电子出现几率大的地方多画
一些“点”，几率小的地方少画一些“点”，
并构成了一辐能说明电子几率分布图 --电子云图
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注意,1）电子云是几率云，只知电子在何处出
现的几率大小，要问电在何处，答曰
2）电子没有确定的轨道，所谓“轨道”只
是电子出现几率最大的地方。
以 n=1,0,0 ??
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的基态电子为例,
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下面介绍由这些波函数得出的一些重要结论,
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称为激发态
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·
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· · ·
· ·
· · · · · · ·
· ·
·
·
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· ·
· · · · ·
· · · · ·
· ·
· ·
· · ·
2、电子, 轨道, 角动量是量子化的
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注意, 1)角动量量子化是通过解 Schr?dinger 得出
的,并非人为假设,
2)处于能量为 En的原子,角动量有几种可能的值
)1(2.1.0 ?? nl ? 量子力学中通常用
小写字母 s.p.d.f.g.表示这些状态,
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3、角动量的空间取向是量子化的
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注意,这意味着角量子数为 的电子,角动量在空间的
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但 n相同时，还有 不同的状态。 ml.
“简并度” ---同一能级中具有的量子态总数
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电子在体元中的几率,
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单位：球面度 (sr)
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下面求一立体角内粒子出现的几率 --粒子角分布
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m=0
S态
?
m=-1
?
m=1
?
m=0
m=0
角
分
布
S态 p态
m=-1 m=1 m=0
径
向
分
布
有了这些径向分布与角分布，加上一点想象力,
就可知电子在哪些地方出现的几率大，哪些地方
出现的少。
在坐标图中，在电子出现几率大的地方多画
一些“点”，几率小的地方少画一些“点”，
并构成了一辐能说明电子几率分布图 --电子云图
?sinr
X
Y
Z
?d
?
ds
?
?d
dr
r
m=0
? ? ? ?
1/ar
nl?
2 4 6 8 10
)(100 r?
)(200 r?)(210 r?
注意,1）电子云是几率云，只知电子在何处出
现的几率大小，要问电在何处，答曰
2）电子没有确定的轨道，所谓“轨道”只
是电子出现几率最大的地方。
以 n=1,0,0 ??
lml
的基态电子为例,
122
3
1
1 0 0
4
)( a
r
er
a
r
?
?? 令,0)(1 0 0 ?
dr
rd ?
0])
2
(2[
4
11
2
1
22
3
1
??
??
a
r
a
r
e
a
rre
a
0
2
2
1
2
??
a
r
r
即,
)(100 r?
)(200 r?
1/ar
nl?
2 4 6 8 10
1a；“云深不知处”
1ar ?
1ar ?
又如对 n=2,0,0 ??
lml
态电子,
122
1
3
1
200 )2(8
1
)( a
r
er
a
r
a
r
?
???
令,0)(200 ?
dr
rd ?
)(10 r?
)(20 r?
1/ar
nl?
2 4 6 8 10
1a 15a
12 5 ar ?
