§ 17-6不确定关系（ Uncertainty Relation）
引言：在进一步描述 De Br?glie波前，我们来考查 一下经
典物理描述问题时受到什么限制。
在介绍玻尔理论时，就曾指出它是一个半经典半量子
产物，用到了确定 位置 和 轨道 与 动量 的概念。就是说总
可以通过实验手段精确地测定微观粒子的位置和动量,
对具有波粒二象性的微观粒子，这种概念正确吗？
一、由电子衍射实验估计电子位置及动量的精度
电子具有波粒二象性，也可产生类似波的单
缝衍射的图样，若电子波长为 ?，则让电子进行
单缝衍射则应满足,
?3.2.1?k 明纹
暗纹 2
)12(s in ?? ?? ka
?? ka ?s in
{
1)位置的不确定程度
用单缝来确定电子在穿过单缝
时的位置
电子在单
缝的何处
通过是不
确定的 !
只知是在
宽为 a的
的缝中通
过,
结论,电子在单缝处的位置 不确定量为 ax ??
我们来研究电子在单缝隙位置的位置和动量的不
确定程度
U
2）单缝处电子的动量的不确定程度
先强调一点：电子衍射是电子自身的波粒二象
性的结果，不能归于外部的原因，即不是外界
作用的结果。
如有人认为衍射是电子与单缝的作用，即电
子与单缝材料中的原子碰撞的结果，碰撞后电
子的动量大小与方向均发生改变，但实验告诉
我们衍射的花样与单缝材料无关，只决定于电
子 的波长与缝宽 a，可见不能归结于外部作用。
显然，电子通过单缝不与单缝材料作用，因
此通过单缝后，其动量大小 P不变。 但不同的电
子要到达屏上不同的点。故各电子的动量方向有
不同。
a
B
K
E
X
Pa Pb
Pd P
e
cP?
ba PP ?
eP?
dP?
Pc 其衍射角
分别为,
c?a?
e?d?
b?
a
e
c
b
d
aax PP ?s in?
bbx PP ?s in?
ccx PP ?s in?
ddx PP ?s in?
eex PP ?s in?
即处在单缝处电子动量在 X轴上的分量有不确定值
······
U X
a
xP ?
P
单缝处，衍射角为 ?的电子在 X轴上存在动量的
分量
U
X
Y
电子大部分都到达中央明纹处，作为分析,
要估算单缝处电子在 X轴上的分量的不确定量，可
先抓住到达中央明纹处的电子在单缝处的不确定量
来研究。即正负一级暗纹间的电子来研究。这部分
电子在单缝处的动量在 X轴上的分量值为,
1?
为一级暗纹的衍射角
1s in0 ?P?
??? ?? ka 1s in
a
?? ?
1s in
由单缝暗纹条件,
I
1?
为一级暗纹的衍射角
也就是说到达正负一级暗纹间的电子在单缝
处的动量在 X轴上的分量的不确定量为,
1s in ?Pp x ??
a
PP x ????
1?
U
X
Y I
1?
由德布罗意关系式,
x
h
a
hP
x ??????
?
?
hxP x ????
考虑到还存在 ???1方向
的电子，这些方向电子
的动量不确定量还要大
hxP x ????
?
hP ?
动量位置不确定量关系式
a
PP x ????
当同时测量一个粒子的位置 q
和动量 p时，位置 q（广义坐标）
和动量 p的不确定量满足如下关
系式,
量子力学给出了更准确的表达式
二、海森伯不确定关系式
)2/( ???? Pq
)2/( ???? xPx
)2/( ???? yPy
)2/( ???? zPz
对三维直角坐标系有,
{
2242
0 CPCmE ??
设有一个速度为 V，质量为 m的粒子，其能量
考虑到 E的增量,
E
PmVC
CPCm
PPC
E
?
?
?
?
??
2
2242
0
2
2
2
PV?? P
t
q ?
?
??
2/???????? pqtE
2
???? tE 能量与时间不确定关系式 即,
三、能量与时间不确定关系
注意,
1）式中 ?E应理解为状态能量的
不确定量,?t表示明显变化所经
历的时间（如激发态寿命）
2） h具有焦尔秒的量纲，而 ?x?p,?E?t均具有
焦尔秒的量纲,?x?p,?E?t均称为 共轭物理量 。
故不确定关系式又可表达为,
一对共轭物理量的不确定量的乘积 2/??
四、不确定关系的进一步讨论
1、不确定关系意味着两个互相制约、互成反比
的共轭物理量的不确定量不能同时无限制地
减小。
???? xp x, ???? xPx,
2
???? tE
v?K
E
U
2、不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的,
不能理解为仪器的精度达不到。
比如我们试图通过单缝来确定粒子的位置，但单缝隙越
窄（ ?x越小）衍射也越厉害，动量的不确定量也大。
如果要减小动量的不确定
量，则单缝的宽度就要增
大，位置 的不确定量也就
变大。
2
)12(s in ?? ?? ka
a 1?
B
p?p?
X
不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的,
不确定关系更确切、更准确地反映了微观粒
子的本质。
四、不确定关系的进一步讨论
1、不确定关系意味着两个互相制约、互成反比
的共轭物理量的不确定量不能同时无限制地
减小。
???? xp x, ???? xPx,如,
????? px 则0 动量完全不确定
????? xp 则0 粒子位置完全不确定,可在全空间出现。
又以一个作匀速运动的一维粒子为例，它可在整个
X轴上出现； ???x 0??p p 为常数
?
hp ??完全确定。
即其德布罗意波为单色平面波
Vm
x
?
?? 2/?
2/???? xPx
3,不确定关系指出了使用经典物理理论的限度
例 1：电子射线管中的电子束中的速度一般为
105m/s，设测得速度的精度为 1/10000，即
?V=10m/s，求电子位置的不确定量。
解,
m
6
31
34
103.6
10101.9
4/1063.6
?
?
?
??
??
?
?
?
可以用位置、动量描述
X
qm
V
?
?? 2/?
2/???? xPx
例 2,H原子的线度的数量级为 10-10m,H原中电子
的速度为 V=106m/s,求其速度的不确定量。
1031
34
10101.9
4/1063.6
??
?
??
?? ?
mm 65 10106 ???
+
M r
n
m
V
解,
不确定量已达 106m/s数量级，已不能用经典
物理中的速度来描述。
2/???? Pq
例 3：一质量为 0.4kg的足球，以 10m/s的速度飞来
,如动量的不确定量为 10%,求其位置的不
确定量。
1.0104.0
4/1063.6 34
??
?? ? ?
m341032.1 ???
解,
V
?
??
/10
2/2/
?
?
?
??
mVp
q %
足球运动员完全不必
担心由于有波动性而
一脚踢空。
注意：因为是估算，数量级差不多即可,
故有用 也是可以的。 hPq ???
hPq ???
例 4：空气中的尘埃，其质量 10-15 g，其坐标的不
确定量为 ?x=10-8m求其速度的不确定量。
815
34
1010
1063.6
??
?
?
??
m101063.6 ???
Xm
hV
?
??完全可作经典
粒子处理！
解,
结论：能否用经典方法来描述某一问题，关键在
于由不确定关系所加限制能否被忽略。
在普朗克恒量 h不起显著作用的场合，即当
h 0时就可以看成宏观现象，并用经典物理
来处理。
量子力学中有如下一句话,
?
2/???? E
五、用不确定关系分析实际问题举例
1、用不确定关系分析能级为什么有一定的宽度
???t 能级 E的值有一定的不确定量
说明能级有一宽度
h
EE 12 ???
原子在激发态有一定的寿命 ?，即原子在时间 ?
内能保持这个状态。经过时间 ?原子状态将发
生显著变化。即在关系 中,
2
???? tE
I
I0/2
I0
1? 2??
推论：原子发光有一定
的谱线宽度。
11 ??? ???
E1
E ?E
2、电子在 ?衰变时的动能小于一个电子伏特，试
排除电子处在核内的可能性
解：原子线度在 fs的数量级，即位置的不确定
度,?x=10-15m
故动量的不确定度,
120
15
34
10~
10
1063.6 ??
?
??
?
?
?? k g m s
x
hp
故动能,
22
0
2222
0
2
0
2 cmcpcmcmmcE
k ?????
M e V20~
此数值大大于一个电子伏特，故可排除处在核
内的可能性。
p
h???
??
?
? ?
?
?
??
44
2
p
hx
3、氦氖激光器所发出的波长 ?=6328?，谱线宽度
??=10-7?，试求其波列长度。
解 1,
?
hp ??
2?
?????? hp
2/???? px
m3107
27
1019.3
10104
)103 2 8,6( ??
??
??
??
?
?
由不确定关系,
L
tCL ???
????? ?
?
?
?
?
??
4
1
44 h
h
E
ht
解 2,
???? hE
?
?
? ????? 2C
2/?? ??? Et
m3107
27
1019.3
10104
)103 2 8,6( ??
??
??
??
?
?
（能量时间不确定关系）
?
? C??
??
?
??
?
?? ?
?
?
?
?
???
444
1 22
C
CCtCL
结果一样！
引言：在进一步描述 De Br?glie波前，我们来考查 一下经
典物理描述问题时受到什么限制。
在介绍玻尔理论时，就曾指出它是一个半经典半量子
产物，用到了确定 位置 和 轨道 与 动量 的概念。就是说总
可以通过实验手段精确地测定微观粒子的位置和动量,
对具有波粒二象性的微观粒子，这种概念正确吗？
一、由电子衍射实验估计电子位置及动量的精度
电子具有波粒二象性，也可产生类似波的单
缝衍射的图样，若电子波长为 ?，则让电子进行
单缝衍射则应满足,
?3.2.1?k 明纹
暗纹 2
)12(s in ?? ?? ka
?? ka ?s in
{
1)位置的不确定程度
用单缝来确定电子在穿过单缝
时的位置
电子在单
缝的何处
通过是不
确定的 !
只知是在
宽为 a的
的缝中通
过,
结论,电子在单缝处的位置 不确定量为 ax ??
我们来研究电子在单缝隙位置的位置和动量的不
确定程度
U
2）单缝处电子的动量的不确定程度
先强调一点：电子衍射是电子自身的波粒二象
性的结果，不能归于外部的原因，即不是外界
作用的结果。
如有人认为衍射是电子与单缝的作用，即电
子与单缝材料中的原子碰撞的结果，碰撞后电
子的动量大小与方向均发生改变，但实验告诉
我们衍射的花样与单缝材料无关，只决定于电
子 的波长与缝宽 a，可见不能归结于外部作用。
显然，电子通过单缝不与单缝材料作用，因
此通过单缝后，其动量大小 P不变。 但不同的电
子要到达屏上不同的点。故各电子的动量方向有
不同。
a
B
K
E
X
Pa Pb
Pd P
e
cP?
ba PP ?
eP?
dP?
Pc 其衍射角
分别为,
c?a?
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a
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c
b
d
aax PP ?s in?
bbx PP ?s in?
ccx PP ?s in?
ddx PP ?s in?
eex PP ?s in?
即处在单缝处电子动量在 X轴上的分量有不确定值
······
U X
a
xP ?
P
单缝处，衍射角为 ?的电子在 X轴上存在动量的
分量
U
X
Y
电子大部分都到达中央明纹处，作为分析,
要估算单缝处电子在 X轴上的分量的不确定量，可
先抓住到达中央明纹处的电子在单缝处的不确定量
来研究。即正负一级暗纹间的电子来研究。这部分
电子在单缝处的动量在 X轴上的分量值为,
1?
为一级暗纹的衍射角
1s in0 ?P?
??? ?? ka 1s in
a
?? ?
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由单缝暗纹条件,
I
1?
为一级暗纹的衍射角
也就是说到达正负一级暗纹间的电子在单缝
处的动量在 X轴上的分量的不确定量为,
1s in ?Pp x ??
a
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1?
U
X
Y I
1?
由德布罗意关系式,
x
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考虑到还存在 ???1方向
的电子，这些方向电子
的动量不确定量还要大
hxP x ????
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动量位置不确定量关系式
a
PP x ????
当同时测量一个粒子的位置 q
和动量 p时，位置 q（广义坐标）
和动量 p的不确定量满足如下关
系式,
量子力学给出了更准确的表达式
二、海森伯不确定关系式
)2/( ???? Pq
)2/( ???? xPx
)2/( ???? yPy
)2/( ???? zPz
对三维直角坐标系有,
{
2242
0 CPCmE ??
设有一个速度为 V，质量为 m的粒子，其能量
考虑到 E的增量,
E
PmVC
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2242
0
2
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2
???? tE 能量与时间不确定关系式 即,
三、能量与时间不确定关系
注意,
1）式中 ?E应理解为状态能量的
不确定量,?t表示明显变化所经
历的时间（如激发态寿命）
2） h具有焦尔秒的量纲，而 ?x?p,?E?t均具有
焦尔秒的量纲,?x?p,?E?t均称为 共轭物理量 。
故不确定关系式又可表达为,
一对共轭物理量的不确定量的乘积 2/??
四、不确定关系的进一步讨论
1、不确定关系意味着两个互相制约、互成反比
的共轭物理量的不确定量不能同时无限制地
减小。
???? xp x, ???? xPx,
2
???? tE
v?K
E
U
2、不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的,
不能理解为仪器的精度达不到。
比如我们试图通过单缝来确定粒子的位置，但单缝隙越
窄（ ?x越小）衍射也越厉害，动量的不确定量也大。
如果要减小动量的不确定
量，则单缝的宽度就要增
大，位置 的不确定量也就
变大。
2
)12(s in ?? ?? ka
a 1?
B
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X
不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的,
不确定关系更确切、更准确地反映了微观粒
子的本质。
四、不确定关系的进一步讨论
1、不确定关系意味着两个互相制约、互成反比
的共轭物理量的不确定量不能同时无限制地
减小。
???? xp x, ???? xPx,如,
????? px 则0 动量完全不确定
????? xp 则0 粒子位置完全不确定,可在全空间出现。
又以一个作匀速运动的一维粒子为例，它可在整个
X轴上出现； ???x 0??p p 为常数
?
hp ??完全确定。
即其德布罗意波为单色平面波
Vm
x
?
?? 2/?
2/???? xPx
3,不确定关系指出了使用经典物理理论的限度
例 1：电子射线管中的电子束中的速度一般为
105m/s，设测得速度的精度为 1/10000，即
?V=10m/s，求电子位置的不确定量。
解,
m
6
31
34
103.6
10101.9
4/1063.6
?
?
?
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可以用位置、动量描述
X
qm
V
?
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2/???? xPx
例 2,H原子的线度的数量级为 10-10m,H原中电子
的速度为 V=106m/s,求其速度的不确定量。
1031
34
10101.9
4/1063.6
??
?
??
?? ?
mm 65 10106 ???
+
M r
n
m
V
解,
不确定量已达 106m/s数量级，已不能用经典
物理中的速度来描述。
2/???? Pq
例 3：一质量为 0.4kg的足球，以 10m/s的速度飞来
,如动量的不确定量为 10%,求其位置的不
确定量。
1.0104.0
4/1063.6 34
??
?? ? ?
m341032.1 ???
解,
V
?
??
/10
2/2/
?
?
?
??
mVp
q %
足球运动员完全不必
担心由于有波动性而
一脚踢空。
注意：因为是估算，数量级差不多即可,
故有用 也是可以的。 hPq ???
hPq ???
例 4：空气中的尘埃，其质量 10-15 g，其坐标的不
确定量为 ?x=10-8m求其速度的不确定量。
815
34
1010
1063.6
??
?
?
??
m101063.6 ???
Xm
hV
?
??完全可作经典
粒子处理！
解,
结论：能否用经典方法来描述某一问题，关键在
于由不确定关系所加限制能否被忽略。
在普朗克恒量 h不起显著作用的场合，即当
h 0时就可以看成宏观现象，并用经典物理
来处理。
量子力学中有如下一句话,
?
2/???? E
五、用不确定关系分析实际问题举例
1、用不确定关系分析能级为什么有一定的宽度
???t 能级 E的值有一定的不确定量
说明能级有一宽度
h
EE 12 ???
原子在激发态有一定的寿命 ?，即原子在时间 ?
内能保持这个状态。经过时间 ?原子状态将发
生显著变化。即在关系 中,
2
???? tE
I
I0/2
I0
1? 2??
推论：原子发光有一定
的谱线宽度。
11 ??? ???
E1
E ?E
2、电子在 ?衰变时的动能小于一个电子伏特，试
排除电子处在核内的可能性
解：原子线度在 fs的数量级，即位置的不确定
度,?x=10-15m
故动量的不确定度,
120
15
34
10~
10
1063.6 ??
?
??
?
?
?? k g m s
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hp
故动能,
22
0
2222
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2
0
2 cmcpcmcmmcE
k ?????
M e V20~
此数值大大于一个电子伏特，故可排除处在核
内的可能性。
p
h???
??
?
? ?
?
?
??
44
2
p
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3、氦氖激光器所发出的波长 ?=6328?，谱线宽度
??=10-7?，试求其波列长度。
解 1,
?
hp ??
2?
?????? hp
2/???? px
m3107
27
1019.3
10104
)103 2 8,6( ??
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由不确定关系,
L
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解 2,
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（能量时间不确定关系）
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C
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结果一样！
