引言：德布罗意波到底是什么波？开始认为是某
种场量，什么“场”暂且不知，权用,?”表
示，称之为“波函数”
一、自由粒子的波函数
设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直
线运动（设沿 X轴），其动量、能量保持恒定。
c o n s tE ??
h
E?? ?
c o n s tP ??
p
h
?? ?恒定！
恒定！
从波动观点看来：这种波只能是单色平面波
X
§ 17-7波函数 （ Wave Function）
一、自由粒子的波函数
c o n s tE ??
h
E?? ?
c o n s tP ??
p
h
?? ?恒定！ 恒定！
从不确定关系来研究,
c o n s tP ??
c o n s tE ??
0??P ??? x
0??E ??? t
沿整个 X轴传播
波列长为 ?长。
结论：自由粒子的 De Br?glie波是单色平面波
其波函数为,)(2c os
0 ???
xt ????
依德布罗
意关系式 )
/
(2c o s0
ph
xt
h
E ???? ?
X
其波函
数为,)(2c os0 ???
xt ????
)
/
(2c o s0
ph
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h
E ???? ?
)(2c o s0 pxEt
h
??? ?
)(1c o s0 pxEt ???
?
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?常写成 复数,
)(
1
0
PxEt
e
??
??? ?
r
当粒子沿着 方向传播时,r?
)(
0
rPEt
i
e
??
?
???
???
Z
X
Y
)]([
0
zpyPxPEt
i
zyx
e
????
?? ?
kzjyixr ??? ????
kPjPiPP Zyx ??? ????
其中,
注意：波函数一般要用复数表示！
)(
1
0
PxEt
e
??
??? ?
P
二、波函数的统计解释（波恩 Born）
?代表什么？只有实践才是检验真
理的唯一标准，看电子的单缝衍射,
1）大量电子的一次行为,
U
极大值
极小值
中间值
较多电子到达
较少电子到达
介于二者之间
波强度大,22
0 ?? 或
大
22
0 ?? 或
小 波强度小,
波强介于二者之间
粒子的观点 波动的观点
统一地看：粒子出现的几率正比于 22
0 ?? 或
2）一个粒子多次重复行为
较长时间以后
极大值
极小值
中间值
较多电子到达
较少电子到达
介于二者之间
波强度大,22
0 ?? 或
大
22
0 ?? 或
小 波强度小,
波强介于二者之间
粒子的观点 波动的观点
U
统一地看：粒子出现的几率正比于 22
0 ?? 或
结论,1）某时刻空间某体元 dv中出现粒子的几率
正比于该地点波函数模的平方和体积元
体积,
dVdW ???,2
通常比例系数取 1,
dVdW 2?? dV??? ?
)( 共轭复数为 ?? ?
?????? ?2dVdW?
即粒子在空间出现的几率密度为,
结论,2）波函数所描述的是处于相同条件下，大
量粒子的一次行为和一个粒子多次重复
行为。
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决
定性规律。
牛顿说,只要给出了初始条件，下一时刻粒
子的轨迹是已知的，决定性的。
量子力学说,波函数不给出粒子在什么时刻
一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；
即只知道 |?|2大的地方粒子出现的可能性大，
|?|2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出
现在什么地方，走什么路径是不知道的
（非决定性的）
结论,3）波函数所代表的波是几率波。
微观粒子出现在 |?|2大的地方,|?|2小的
地方粒子出现少；粒子受波函数所引导,
波函数按波的形式去分配粒子的出现的
几率。
例：求一个能量为 E、动量为 P的自由粒子的几率
密度。
?????
)( 的共轭复数?
)(
0
rPEtie ?
?
? ??????
??? ??? )(0 rPEt
i
e
??
?
)(
0
rPEti
e
??
?
??
?
c o n s t??? 20
解,波函数为
且与位置 无关。在全空间粒子出现的几率一样
),( tr??
1???? ??? ?
V
dVW
三、波函数的标准化条件
1）波函数具有有限性
在空间是有限函数
2）波函数是连续的
只差一微量几率密度
处与处的几率密度即在
)(
)(
rdr
rdrrr
??
????
?
?
?
?
3）波函数是单值的
粒子在空间出现的几率只可能是一个值
4）满足归一化条件
1???? ???
????
? dVW
（归一化条件）
因为粒子在全空间出现是必然事件
（ Narmulisation）
四、波函数的线性叠加原理 X
? 2
电子双
缝实验,
单缝,1”打开,
,2”关闭，波函数为 ?1
2
1111 ?????
?? 单缝,2”打开,
,1”关闭，波函数为 ?2
2
2222 ?????
?? 双缝都打开，波函
数为 ?,?=C1 ?1+C2?2 （满足归一化条件）
2????? ??
“1”
“2” U
波函数线性叠加原理,
如果 ?1,?2,····?n都是体系的可能状态，那
么 它们的线性叠加也是这个系统一个状态。
n
n
nnn cccc ????????? ?
1
2211 ?
即,
也是体系的一个可能状态。
双缝实验中,
2
2211
2 ????? cc
)( 2211 ???? ???? cc )( 2211 ???? cc
2
22
2
11 ???? cc
???? ?????? 21212121 cccc
干涉项 注意：双缝衍射出现的粒子
几率分布正好与此结果相同。且只有波函数是复数时,
几率密度才与实际相同。复数已本质地进入量子力学。
这不同于用枪打靶时的概率相加。
注意：双缝衍射出现的粒子几率分布正好与此结
果相同。且只有波函数是复数时，几率密度才与
实际相同。复数已本质地进入量子力学。这不同
于用枪打靶时的概率相加。
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2?
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种场量，什么“场”暂且不知，权用,?”表
示，称之为“波函数”
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§ 17-7波函数 （ Wave Function）
一、自由粒子的波函数
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波列长为 ?长。
结论：自由粒子的 De Br?glie波是单色平面波
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注意：波函数一般要用复数表示！
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二、波函数的统计解释（波恩 Born）
?代表什么？只有实践才是检验真
理的唯一标准，看电子的单缝衍射,
1）大量电子的一次行为,
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极大值
极小值
中间值
较多电子到达
较少电子到达
介于二者之间
波强度大,22
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波强介于二者之间
粒子的观点 波动的观点
统一地看：粒子出现的几率正比于 22
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2）一个粒子多次重复行为
较长时间以后
极大值
极小值
中间值
较多电子到达
较少电子到达
介于二者之间
波强度大,22
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大
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小 波强度小,
波强介于二者之间
粒子的观点 波动的观点
U
统一地看：粒子出现的几率正比于 22
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结论,1）某时刻空间某体元 dv中出现粒子的几率
正比于该地点波函数模的平方和体积元
体积,
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通常比例系数取 1,
dVdW 2?? dV??? ?
)( 共轭复数为 ?? ?
?????? ?2dVdW?
即粒子在空间出现的几率密度为,
结论,2）波函数所描述的是处于相同条件下，大
量粒子的一次行为和一个粒子多次重复
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微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决
定性规律。
牛顿说,只要给出了初始条件，下一时刻粒
子的轨迹是已知的，决定性的。
量子力学说,波函数不给出粒子在什么时刻
一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；
即只知道 |?|2大的地方粒子出现的可能性大，
|?|2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出
现在什么地方，走什么路径是不知道的
（非决定性的）
结论,3）波函数所代表的波是几率波。
微观粒子出现在 |?|2大的地方,|?|2小的
地方粒子出现少；粒子受波函数所引导,
波函数按波的形式去分配粒子的出现的
几率。
例：求一个能量为 E、动量为 P的自由粒子的几率
密度。
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)( 的共轭复数?
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解,波函数为
且与位置 无关。在全空间粒子出现的几率一样
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三、波函数的标准化条件
1）波函数具有有限性
在空间是有限函数
2）波函数是连续的
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3）波函数是单值的
粒子在空间出现的几率只可能是一个值
4）满足归一化条件
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因为粒子在全空间出现是必然事件
（ Narmulisation）
四、波函数的线性叠加原理 X
? 2
电子双
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单缝,1”打开,
,2”关闭，波函数为 ?1
2
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,1”关闭，波函数为 ?2
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数为 ?,?=C1 ?1+C2?2 （满足归一化条件）
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波函数线性叠加原理,
如果 ?1,?2,····?n都是体系的可能状态，那
么 它们的线性叠加也是这个系统一个状态。
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即,
也是体系的一个可能状态。
双缝实验中,
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干涉项 注意：双缝衍射出现的粒子
几率分布正好与此结果相同。且只有波函数是复数时,
几率密度才与实际相同。复数已本质地进入量子力学。
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注意：双缝衍射出现的粒子几率分布正好与此结
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实际相同。复数已本质地进入量子力学。这不同
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