§ 17-7薛定谔方程 （ Schr?dinger Equation）
问题的提出,
物理讨论会（ 1926）
薛定谔：你能不能给我们
讲一讲 De Broglie的那篇
学位论文呢？
瑞士联邦工业大学
一月以后：薛定谔
向大家介绍了德布罗
意的论文。
你这种谈论太幼稚，作为
索末菲的门徒，都知道,
处理波要有一个波动程方
才行啦！
德
拜 薛 定
谔
瑞士联邦工业大学
德
拜
又过了几个星期
薛
定
谔
我的同行提出，要有一个
波动方程，今天我找到了
一个,
????????? )(2 2
2
x y z tUmti ??
氢原子能量,
光谱波长,
激发态寿命,
薛定谔，波函数,
能解很多好东西。
若问这是为什么？
谁也不知道！
散会后,
一、自由粒子的 Schr?ding方程
设有一作匀速直线运动的
自由粒子沿 X轴运动。
（非相对论条件下讨论）
原来薛定谔方程是利用
经典物理，用类比的办
法得到的，或者说开始
只不过是一个假定，尔
后为实验证实。我们从
特例出发，推广得出这
个方程。
物理讨论会（ 1926）
恒定与不变 ??PE,
设有一作匀速直线运动的自由粒子沿 X轴运动。
自由粒子非相对论条件下总
动能,
)(
0
xPEti x
e
??
??? ?
,其波函数为,
)2(?
?
???
?
?? Ei
t
)3(2
2
2
2
?
?
???
?
?? xP
x
（ 1）式对 t求导,
（ 1）式对 x求二阶偏导数,
?i?式)2(
····（ 1） )5(
22
2
2
22
?? ??
?
???
m
P
xm
x
)4(?? ??
?
?? E
t
i
)2/()3( 2 m???式
m
PEE x
k 2
2
??
（ 4）、（ 5）式比较,
)6(
2 2
22
???
xmt
i
?
????
?
??
自由粒子一维含时薛定谔方程
)7().(
2
2
?txU
m
PE x ??
)4(?? ??
?
?? E
t
i
二、势场中的薛定谔方程
若粒子处在势场中，势能为 U（ x,t），总能量,
)8().(
2
2
?txUE
m
P x ???
将（ 5）式看成一般情况下的特例,
)5(
22
2
2
22
?? ???
?
??
m
P
xm
x
)9()].([
2 2
22
?? ???
?
??? txUE
xm由（ 4）式,
)10().(
2 2
22
??? ??
?
???
?
??? txU
t
i
xm
)11().(
2 2
22
??? ??
?
????
?
?? txU
xmt
i
势场中的一维含
时薛定谔方程
)11().(
2 2
22
??? ??
?
????
?
?? txU
xmt
i
势场中的一维含
时薛定谔方程
若为三维粒子，薛定谔方程为,
??
?
???
?
???
?
????
?
?? )...()(
2 2
2
2
2
2
22
tzyxU
zyxmt
i ??
···（ 12） 引入拉普拉斯算符
)13()...(
2
2
2
??? ??????
?
?? tzyxU
mt
i
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
三维含时薛定谔方程,
三、定态薛定谔方程（重点）
)11().(
2 2
22
??? ??
?
????
?
?? txU
xmt
i
势场中的一维含
时薛定谔方程
若为三维粒子，薛定谔方程为,
??
?
???
?
???
?
????
?
?? )...()(
2 2
2
2
2
2
22
tzyxU
zyxmt
i ??
···（ 12） 引入拉普拉斯算符
)13()...(
2
2
2
??? ??????
?
?? tzyxU
mt
i
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
三维含时薛定谔方程,
三）定态薛定谔方程（重点）
定态，势函数不显含时间，其几
率分布也不随时间变化。
三、定态薛定谔方程（重点）
)14()()..( ?tfzyx???
)..()(
2
[
)..(
1)(
)( 2
2
2
2
2
22
zyx
zyxmzyxt
tf
tf
i ?
? ?
??
?
??
?
???
?
? ??
)15()]..()...( ?zyxtzyxU ??
定态，势函数不显含时间，其几
率分布也不随时间变化。
??
?
???
?
???
?
????
?
?? )...()(
2 2
2
2
2
2
22
tzyxU
zyxmt
i ??
（ 14）式代入方程
)..()(
2
[
)..(
1)(
)( 2
2
2
2
2
22
zyx
zyxmzyxt
tf
tf
i ?
? ?
??
?
??
?
???
?
? ??
)15()]..()...( ?zyxtzyxU ??
等式左边是 t的函数，右边是坐标的函数，但两边
又相等，故等式左右两边均应与 x,y,z,t无关,
现记为 E。则,
)16()(
)(
?? E
t
tf
tf
i ?
?
?
其解,)17()( ?? Etietf ??
指数应是无量纲的数,的单位是“焦尔秒”,
故 E的单位只能是能量，实际上是粒子总能量 E。
?
E
)..()(
2
[
)..(
1
2
2
2
2
2
22
zyx
zyxmzyx
?
? ?
??
?
??
?
?? ?
)18()]..()...( ?EzyxtzyxU ?? ?
)..()(
2
[
)..(
1)(
)( 2
2
2
2
2
22
zyx
zyxmzyxt
tf
tf
i ?
? ?
??
?
??
?
???
?
? ??
)15()]..()...( ?zyxtzyxU ??E
)..()(
2 2
2
2
2
2
22
zyx
zyxm
?
?
??
?
??
?
?? ? )..()...( zyxtzyxU ??
)19()..( ?zyxE ??
)20()..()..()..(
2
2
2
?? zyxEzyxUzyx
m
??? ????
)21(0)(2 22 ?
?
???? ?? UEm整 理
)..( zyx?? ?
)..( zyxUU ?
定态薛定谔方程
)21(0)(2 22 ?
?
???? ?? UEm
)..( zyx?? ?
Eti
ezyxzyx ?
?
?? )..()..( ?
若定态薛定谔方程已解出为,
则粒子的波函数,
注意,1）定态波函数为一空间坐标函数
与一时间函数 的乘积。
)(r??? ?
)(tf
2）对于定态，除能量 E有确定值外，其几
率分布也不随时间变化。
2
2
2
)..()..()( zyxezyxtr
Et
i
?? ???
?
??
四、薛定谔方程应用举例
1）一维势阱
对此我们提出一个理想模型，粒子限制在一个具
有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动
但在匣壁处受到强烈的反射，越出需无限大能量
0 a
U
?
?
???
,0
,
)( xU
ax
axx
??
??
0
.0 此称无限深势阱
若是经典粒子，粒子如何运动？ m
E
许多情况，粒子束缚
在一个很小空间（束
缚态）。
E可取任意值，且各处出现的
几率一样
+ + +
?
?
???
0
)( xU
ax
axx
??
??
0
.0
量子力学对粒子的分析,
粒子满足一维定态薛定谔方程,
)21(0)(2 22 ?
?
???? ?? UEm
粒子无法越过势阱故只须考虑
0<x<a区间的波函数,
)1(0][2 )()(22 )(
2
?
?
???
?
?
xx
x UEm
x
?
?
)2(02 )(22 )(
2
?
?
??
?
?
x
x Em
x
?
?0)( ?xU?
令,
)3(2 22 ??mEk ? )4(0)(22 )(
2
??? xx k
dx
d
?
?
0 a
U
m E
)4(0)(22 )(
2
??? xx k
dx
d
?
?
其解的形式,
)'5()( ?i k xi k xx DeCe ????
')'5()c o s ()( ??? ?? kxAx
'')'5(c o ss in)( ?kxBkxAx ???
由边界条件,
,0?x,)0( ??U 0)0( ??
,ax ?,)( ??aU 0)( ?a?
)7(0c o s0s in0 ?BA ??
)8(c o ss in0 ?kaBkaA ??
代入式（ 5）’’’
…(6)
0 a
U
m E
)3(2 22 ??mEk ?
)7(0c o s0s in0 ?BA ??
)8(c o ss in0 ?kaBkaA ??由 (7)式, B=0
由 (8)式, 0s in ?kaA
0s in ?? ka
?nka ?? ?3.2.1?n
?3.2.1?n
'')'5(c o ss in)( ?kxBkxAx ???
代入式 (5)’’’
)10(s in)( ?x
a
n
Ax
?
? ?
)11(s in)( ??
Et
i
x xea
n
A
?
??
?
故波函数,
0 a
U
m E
)3(2 22 ??mEk ?
)9(?
a
n
k
?
??
m
E 0 a
U
X
?3.2.1?n )10(s in
)( ?xa
nA
x
?? ?
)11(s in)( ??
Eti
x xea
n
A
?
??
?
故波函数,
由归一化条件,
??? ??????? aa x dxa xnAdxdx 0 20 2 )(2 1)s in( ??
1
2
2 ?? aA )12(2 ?
a
A ?
代入 (10)
(11)式, )12(s in
2
)( ?x
a
n
a
xn
?
? ?
)13(s in
2
)( ??
Et
i
n xea
n
a
x
?
??
?
(定态波函数 )
?3.2.1?n
)3(2 22 ??mEk ?
能量公式,由式（ 3）、式（ 9）
2
2
2 )(2
a
nmEk ???
?
)14(
2
)( 2
22
2 ??
ma
nE n ??
?3.2.1?n
)3(2 22 ??mEk ?
)13(s in
2
)( ??
Et
i
n xea
n
a
x
?
??
?
?3.2.1?n
)15(s in2)]([ 222 ?
a
xn
a
xn ?? ???
粒子出现
的几率,
)9(?
a
n
k
?
??
2）粒子在空间不同的地方出现
的几率是不同的。
结论,1）能量是量子化的，且无 0值。
能量最小值,
0
82 2
2
2
22
1 ??? ma
h
ma
E ??
aq ??? ap 2/????
0?? E
波粒二象性的
必然结果！
)14(
2
)( 2
22
2 ??
ma
nE n ?? )13(s in2)( ?? Et
i
n xea
n
a
x
?
?? ?
)15(s in2)]([ 222 ?
a
xn
a
xn ?? ???
?3.2.1?n
?3.2.1?n
E1
E2
E3
E4
a 0
X
2)]([ x
n?
a 0
X
)(xn?
)(1 x?
)(2 x?
)(3 x?
)(4 x?
22 )]([ x?
23 )]([ x?
24 )]([ x?
2)]([ x
n?
)15(s in2)]([ 222 ?
a
xn
a
xn ?? ???
注意,?粒子在势阱中不同地点出现的几率不一
样，不同于经典物理学中的等几率分布。
?以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波
)13(s in2)( ??
Eti
n xea
n
a
x
?
?? ?
E1
E2
E3
E4
a 0 X
2)]([ xn?
a 0 X
)(xn?
)(1 x?
)(2 x?
)(3 x?
)(4 x?
22 )]([ x?
23 )]([ x?
24 )]([ x?
2)]([ xn?
0 a
U
m E
?以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波
)13(s in2)( ??
Eti
n xea
n
a
x
?
?? ?
E1
E2
E3
E4
a 0 X
2)]([ xn?
a 0 X
)(xn?
)(1 x?
)(2 x?
)(3 x?
)(4 x?
22 )]([ x?
23 )]([ x?
24 )]([ x?
2)]([ xn?
][
2
1 )()( tEa xnitEa xni nn ee
a
???
??
?
?
?
?
??
右行波 左行波
m
E 0 a
U
X
m
E 0 a X
?n 2
?当 n??时 ?回到了经典情况。
2
22
1 2)12( manEEE nn
???????
?
m1010 ? eVn )12(76.3 ?
mm1
m1
eVn 1410)12(76.3 ???
eVn 1610)12(76.3 ???
a???? a E?
能量可看
成连续的
E1
E2
E3
E4
a 0 X
2)]([ xn?
a 0 X
)(xn?
)(1 x?
)(2 x?
)(3 x?
)(4 x?
22 )]([ x?
23 )]([ x?
24 )]([ x?
2)]([ xn?
)14(
2
)( 2
22
2 ??
ma
nE n ??
?n不能为零，且要舍弃负值。
0s in
2
)( ?? x
a
n
a
xn
?
?
1
0
2
)(
2 ??? ?? ?
??
a
x dxdx ?
不满足归一化条件。
n取负值,?只改变一
个符号，而几率分布
不变。故舍之。
m
E 0 a X
?n 2
E1
E2
E3
E4
a 0 X
2)]([ xn?
a 0 X
)(xn?
)(1 x?
)(2 x?
)(3 x?
)(4 x?
22 )]([ x?
23 )]([ x?
24 )]([ x?
2)]([ xn?
2)一维势垒、隧道效应
晶体二极管中的载流子在势场中运动,
X
U
理想化,
X
U
-
?
?
??
,0
,
)( 0
U
xU
0
0
?
?
x
x
设有一微观粒子，质量为 m能量为 E。
U（ x）与时间无关，满足,
E m
)21(0)(2 22 ?
?
???? ?? UEm
? ?
?区,U=0
)1(02 )(122 )(1
2
?
?
??
?
?
x
x mE
x
?
?
?区,U=U0
0)(2 )(22 02 )(2
2
???
?
?
x
x UEm
x
?
?
?…..(2)
0U
2)一维势垒、隧道效应
?
?
??
0
)( 0
U
xU
0
0
?
?
x
x
?区
)1(02 )(122 )(1
2
?
?
??
?
?
x
x mE
x
?
?
?区
0)(2 )(22 02 )(2
2
???
?
?
x
x UEm
x
?
?
?…..(2)
令,
2
2
1
2
?
mEk ?
2
02
2
)(2
?
UEmk ??
其解,
)3(11 21)(1 ?xikxikx eAeA ????
)4(22 21)(2 ?xikxikx eBeB ????
注意,(3)、（ 4）乘
Etie ??
，分别代表两左右行波
下面来求四个系数
X
U
E m ? ?
?区
?区
其解,
)3(11 21)(1 ?xikxikx eAeA ????
)4(22 21)(2 ?xikxikx eBeB ????
因只需找出概率 的相对分布,
可选取 A1=1
又因 X>0的区域无左行波,
故可断定 B2=0，则,
)5(11 2)(1 ?xikxikx eAe ????
)6(21)(2 ?xikx eB??
?区
?区
依标准条件：波函数连续
)0(2)0(1 ?? ?
dx
d
dx
d xx )(2)(1 ??
?
X
U
E m ? ?
)5(11 2)(1 ?xikxikx eAe ????
)6(21)(2 ?xikx eB??
依标准条件：波函数连续
)0(2)0(1 ?? ?
dx
d
dx
d xx )(2)(1 ??
?
B2=0
A1=1
代入式（ 5）、（ 6）
)7(1 12 ?BA ??
0120121 ][][ 211 ??
? ??
x
xik
x
xikxik eBikeikAeik
)8(21121 ?kBkAk ??
)9(2
21
1
1 ?kk
kB
?
? )10(
21
21
2 ?kk
kkA
?
??
（ 7）、（ 8）两式联立解之,
X
U
E m ? ?
X
U
E m ? ? )5(11 2)(1 ?
xikxik
x eAe
????
)6(21)(2 ?xikx eB??
)9(2
21
1
1 ?kk
kB
?
? )10(
21
21
2 ?kk
kkA
?
??
代回（ 5）、（ 6）式
xikxik
x
e
E
U
i
E
U
i
e
11
]
11
11
[
0
0
)(1
?
??
??
???
xEUm
x
e
E
U
i
)(2
1
0
)(2
0
12
2 ??
??
? ??
….(11)
…..(12)
X
U E m
? ?
xikxik
x
e
E
U
i
E
U
i
e
11
]
11
11
[
0
0
)(1
?
??
??
???
….(11)
xEUm
x
e
E
U
i
)(2
1
0
)(2
0
12
2 ??
??
? ??
…..(12)
1）式（ 11）、（ 12）两式乘以 Eti
e ??
后的
波函数分别代表存在入射波、反射波,
透射波。
)1( 1
1
EtxkiEtixik eee ?? ?? ? 代表一入射波
讨论,
xEUm
x
e
E
U
i
)(2
1
0
)(2
0
12
2 ??
??
? ??
xikxik
x
e
E
U
i
E
U
i
e
11
]
11
11
[
0
0
)(1
?
??
??
???
….(11)
…..(12)
2）无论在 E>U0还是 E<U0的情况，透射波都
存在。即粒子总是可以达到右边的区域。即
使在 E<U0的情况也是这样。这在经典物理
中是难以理解的。只能理解在能量高坡中挖
空了一条隧道，故称“隧道效应”
E m E m
教材中介绍了方势垒中的情况,
X
U
? ?
?
?
?
?
0
)( 0
U
xU
axx
ax
??
??
,0
0U0
薛定谔方程,
)1(02 )(122 )(1
2
?
?
??
?
?
x
x mE
x
?
?
0)(2 )(22 02 )(2
2
???
?
?
x
x UEm
x
?
?
?
axx ??,0
对应的解,
ax ??0
E m
对应的解,
xikxik
x BeAe 11)(1
????
xikxik
x DeCe 22)(2
????
xik
x Ge 1)(3 ??
即使在 E<U0时，在 x>a的地方仍有粒子出现的几
率，即粒子仍可穿通方势垒 ---“隧道效应”。
ax
ax
x
?
??
?
,0
0
X
U
? ?
?
?
?
?
0
)( 0
U
xU
axx
ax
??
??
,0
0U0
E m
1973年诺贝尔物理将被 Leo Esaki。 Ivar Glaever
和 Brian D Joaephson三人分享，前二位在半导体
中发现了隧道穿透现象，后一位则从理论上预言
了超流隧道穿透性质。
目前制造的扫描隧道显微镜（ STM）已能看清
大个的原子。人类第一次能够实时地观测单个原
子的排列以及表面电子的行为。
在表面科学、材料科学、和生
命科学中有着广泛的意义和前
景。宾尼和罗雷尔因制造这种
显微镜而获得诺言贝尔
奖。