§ 4-4 梁横截面上的正应力 ?梁的正应力强度条件
纯弯曲 横力弯曲
常量?
?
M
F 0S
)(
0S
xMM
F
?
?
0
0
?
?
?
?
0
0
?
?
?
?
FS
xF
F
xM
Fa
F
a l a
F
a0902[1].swf
Ⅰ,纯弯曲时梁横截面上的正应力
（一）几何方面 表面变形情况
(1)纵线弯成弧线，
靠近顶面的纵
线缩短，而靠
近底面的纵线
则伸长；
(2)横线仍为直线，
并与变形后的
纵线保持正交，
只是横线间相
对转动。
平面假设
梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后
的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴
转动。
中性轴
根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入
一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长
区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称
为 中性层 。
中性层
中性轴 中性层与横截面的交线就是 中性轴 。
中性层 中性轴
m
a
b
m
a
n
b
n
m
m
n
n
a a
b b
?
? y
OO
BB
AB
BB ???
21
1
1
1
?? dd21 ?? xOO
?? d)( yAB ??
? ——中性层的曲率半径
C
A B
?
O1 O2
B1
d?
}
dx
m
m
n
n
a a
b b
（二）物理方面 —— 单轴应力状态下的胡克定律
不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状
态。当 ? <?p，且拉、压弹性模量相同时，有
??
y?
???
yEE ??
即直梁的横截面
上的正应力沿垂
直于中性轴的方
向按直线规律变
化。
z
O
y
z
dA ? dA y
x
（三）静力学方面
0dN ?? ?A AF ?
0d ?? ?Ay AzM ?
???
yEE ??
0d ??? ?? z
A
ESAyE
0d ???
??
yz
A
EIAyzE
0?zS
0?yzI
即中性轴 z是形心轴。
对称弯曲时此条件将自动满足。
z
O
y
z
dA ? dA y 得x
MAyM Az ?? ? d?
???
yEE ??
MEIAyE z
A
??? ?? d2
zEI
M?
?
1
z
O
y
z
dA ? dA y
得
这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。 EIz称为
梁的 弯曲刚度 。
思考：
发生纯弯曲变形的等直梁其轴线将弯成什么曲线？
x
???
yEE ??
zEI
M?
?
1
弯曲正应力计算公式
z
I
My
??
z
O
y
z
dA ? dA yx
中性轴 z 为横截面的对称轴时
zI
My m a x
m a x ??
称为 弯曲截面系数
??
?
?
??
?
?
?
m a xy
I
M
z zW
M?
y
zz
y
b
h
中性轴 z 不是横截面的对称轴时
zI
My m a x,t
m a xt,?? zI
My m a xc,
m a xc,??
O z
yy t，
ma
x
y c，
ma
x
简单截面的 弯曲截面系数
⑴ 矩形截面
12
3bh
I z ? 62/
2bh
h
IW z
z ??
12
3 hb
I y ? 62/
2 hb
b
IW y
y ??
⑵ 圆形截面
64
π 4dII
yz ??
32
π
2/2/
3d
d
I
d
IWW yz
yz ????
z
y
b
h
y
z
d
⑶ 空心圆截面
? ?
? ?4
4
44
1
64
π
64
π
???
???
D
dDII
yz
Dd /??
? ? yzz WDD IW ???? 43 132π2/ ?
(4) 型钢截面：参见型钢表
式中
D Od
y
z
Ⅱ, 纯弯曲理论的推广
横力弯曲时：
1、由于切应力
的存在梁的横
截面发生翘曲；
2、横向力还使
各纵向线之间
发生挤压。
平面假设和纵
向线之间无挤
压的假设实际
上都不再成立。
弹性力学的分析结果：
对于 细长梁 （ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算
公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。
zI
yxM )(
??
zW
xM )(
m a x ??
Fl
4
l
F
例 4-14 图示简支梁由 56a号工字钢制成，已知
F=150kN。试求危险截面上的最大正应力 ?max 和同
一横截面上翼缘与腹板交界处 a点处的正应力 ?a。
B
5m 10m
A F
C
FA F
B
12.5
21
166
560z
a
37
5 k
N.
m
M
解,1、作弯矩图如上，
mkN3754m a x ??? FlM
2、查型钢表得
3cm2 3 4 2?zW4cm6 5 5 8 6?zI
M P a16 0
mm1023 42
mmN1037 5
33
6
m a x
m a x ??
????
zW
M?
? ?
M P a1 4 8
mm106 5 5 8 6
mm21
2
5 6 0
mmN103 7 5
44
6
m a x
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
z
a
a
I
yM
?
56号工字钢
3、求正应力为
12.5
21
166
560z
a
或根据正应力沿梁高的线性分布关系的
M P a1 6 0m a x ??
M P a148M P a160
2
560
21
2
560
m a x
m a x
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
y
y
a
a
12.5
21
166
560z
a
Ⅲ 梁的正应力强度条件
由于 ?max处 ? =0或极小，并且不计由横向力引起的
挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应
力状态来建立：
材料的许用弯曲正应力
? ??? ?m a x
? ???
zW
M m a x
中性轴为横截面对称轴的等直梁
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
][ tm a x,t ?? ?
][ cm a x,c ?? ?O
z
yy t，
ma
x
y c，
ma
x
][ tm a xt,m a xm a xt,?? ??
zI
yM
][ cm a xc,m a xm a xc,?? ??
zI
yM
][
][
c
t
m a xc,
m a xt,
?
??
y
y
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
例 4-15 图示外伸梁，材料的许用应力
[σ]=120Mpa。试校核梁正应力强度。
q = 5 k N/m F= 1 0 k N
1 0 0
A 1 4 0 B C
8 m 2 m
解：（ 1）求支反力
FA=17.5kN
FB=32.5kN
（ 2）作弯矩图,确定危险截面
17.5
1 0
3.5m
2 2, 5
2 0 k N, m
3 0, 8 k N, m
（ 3）强度校核
][114
140
108.3032
3
6
m a x
?
?
?
??
?
??
?
?
MPa
W
M
Ez
E
E
][100
]
140
100
1[140
102032
4
3
6
m a x
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
M P a
W
M
Bz
B
B
例 4-16 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简
图。钢的许用弯曲正应力 [? ]=152 MPa 。试选择
工字钢的号码。
A B
F F F=75kN
2.5m 2.5m 2.5m 2.5m
10 m
FB FA
解,1、支反力为
kN5.1 0 223 ??? FFF BA
作弯矩图如上。
281 375
单位：
kN·m
2、根据强度条件确定截面尺寸
与要求的 Wz相差不到 1%，可以选用。
? ???
zW
M m a x
? ?
33
6
m a x mm1024 60
M P a15 2
mmN1037 5 ??????
?
MW
z
333 mm102 4 4 7cm2 4 4 7 ???zW
查型钢表得 56b号工字钢的 Wz比较接近要求值
mkN3 7 5m a x ??M
例 4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁
的许用拉应力 [ ?t ]=30 MPa，许用压应力 [ ?c ] =90
MPa。试根据截面最为合理的要求，确定 T字形梁
横截面的尺寸 d,并校核梁的强度 。
解：
][
][
c
t
2
1
?
??
y
y
根据截面最为合理的要求
3
1
90
30 ?? mm701 ?? yy
1m 2m
BA
F=80 kN
C y 1
y 2
z
60
220
y
O 280
d
即
mm24?d
得
46
2
3
2
3
mm102.99
)302 1 02 8 0(2 2 060
12
602 2 0
)1 1 02 1 0(2 2 024
12
2 2 024
??
?????
?
?
????
?
?
z
I
截面对中性轴的惯性矩为 y 1
y 2
z
60
220
y
O 280
d
7060220)60280( )11060()60280(3060220 ???? ???????? d dy
mkN404 2804m a x ????? FlM
M P a7.84
mm102.99
mm2 1 0mmN1040
46
6
2m a x
m a xc,
?
?
???
??
zI
yM
?
][ c??
梁上的最大弯矩
于是最大压应力为
即梁满足强度要求。
y 1
y 2
z
60
220
y
O 280
d
O
?c,max
?t,max
z
例 4-18 图示槽形截面铸铁梁，已知,b = 2m，截
面对中性轴的惯性矩 Iz=5493?104mm4,铸铁的许
用拉应力 [ ?t ]=30 MPa，许用压应力 [ ?c ] =90 MPa。
试求梁的许可荷载 [F ] 。
解,1、梁的支反力为
z
y
C
形心
86
134
20
40
180
120
20
B
F
C b
q=F/b
DbbA
FB FA
FF B 47?4FF A ?
据此作出梁的弯矩图如下
4m a x
FbM ??
2m a x
FbM ??
发生在截面 C
发生在截面 B
z
y
C
形心
86
134
20
40
180
120
20
Fb/2
Fb/4
B
F
C b
q=F/b
DbbA
2、计算最大拉、压正应力
可见：压应力强度条件由 B截面控制，拉应力强度
条件则 B,C截面都要考虑。
z
y
C
形心
86
134
20
40
180
120
20
Fb/2
Fb/4
C截面 B截面压应力
拉应力
拉应力
压应力
? ?? ? M P a30
mm1054 93
mm86mm1022/
43
3
2
m a xt,???
???? F
I
yM
z
B?
考虑截面 B：
? ?? ? M P a90
mm10549 3
mm341mm1024/
44
3
1
m a xc,??
???? F
I
yM
z
B?
kN2.19?F
kN8.73?F
z
y
C
形心
86
134
20
40
180
120
20
Fb/2
Fb/4
考虑截面 C：
因此梁的强度由截面 B上的最大拉应力控制
? ?? ? M P a30
mm1054 93
mm134mm1024/
44
3
1
m a xt,??
???? F
I
yM
z
C?
kN2.19][ ?F
kN6.24?F
z
y
C
形心
86
134
20
40
180
120
20
Fb/2
Fb/4
练习题,F=10kN
100
50
1m
试计算最大正应力。
作业,4-25,4-31,4-36,4-38
纯弯曲 横力弯曲
常量?
?
M
F 0S
)(
0S
xMM
F
?
?
0
0
?
?
?
?
0
0
?
?
?
?
FS
xF
F
xM
Fa
F
a l a
F
a0902[1].swf
Ⅰ,纯弯曲时梁横截面上的正应力
（一）几何方面 表面变形情况
(1)纵线弯成弧线，
靠近顶面的纵
线缩短，而靠
近底面的纵线
则伸长；
(2)横线仍为直线，
并与变形后的
纵线保持正交，
只是横线间相
对转动。
平面假设
梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后
的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴
转动。
中性轴
根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入
一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长
区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称
为 中性层 。
中性层
中性轴 中性层与横截面的交线就是 中性轴 。
中性层 中性轴
m
a
b
m
a
n
b
n
m
m
n
n
a a
b b
?
? y
OO
BB
AB
BB ???
21
1
1
1
?? dd21 ?? xOO
?? d)( yAB ??
? ——中性层的曲率半径
C
A B
?
O1 O2
B1
d?
}
dx
m
m
n
n
a a
b b
（二）物理方面 —— 单轴应力状态下的胡克定律
不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状
态。当 ? <?p，且拉、压弹性模量相同时，有
??
y?
???
yEE ??
即直梁的横截面
上的正应力沿垂
直于中性轴的方
向按直线规律变
化。
z
O
y
z
dA ? dA y
x
（三）静力学方面
0dN ?? ?A AF ?
0d ?? ?Ay AzM ?
???
yEE ??
0d ??? ?? z
A
ESAyE
0d ???
??
yz
A
EIAyzE
0?zS
0?yzI
即中性轴 z是形心轴。
对称弯曲时此条件将自动满足。
z
O
y
z
dA ? dA y 得x
MAyM Az ?? ? d?
???
yEE ??
MEIAyE z
A
??? ?? d2
zEI
M?
?
1
z
O
y
z
dA ? dA y
得
这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。 EIz称为
梁的 弯曲刚度 。
思考：
发生纯弯曲变形的等直梁其轴线将弯成什么曲线？
x
???
yEE ??
zEI
M?
?
1
弯曲正应力计算公式
z
I
My
??
z
O
y
z
dA ? dA yx
中性轴 z 为横截面的对称轴时
zI
My m a x
m a x ??
称为 弯曲截面系数
??
?
?
??
?
?
?
m a xy
I
M
z zW
M?
y
zz
y
b
h
中性轴 z 不是横截面的对称轴时
zI
My m a x,t
m a xt,?? zI
My m a xc,
m a xc,??
O z
yy t，
ma
x
y c，
ma
x
简单截面的 弯曲截面系数
⑴ 矩形截面
12
3bh
I z ? 62/
2bh
h
IW z
z ??
12
3 hb
I y ? 62/
2 hb
b
IW y
y ??
⑵ 圆形截面
64
π 4dII
yz ??
32
π
2/2/
3d
d
I
d
IWW yz
yz ????
z
y
b
h
y
z
d
⑶ 空心圆截面
? ?
? ?4
4
44
1
64
π
64
π
???
???
D
dDII
yz
Dd /??
? ? yzz WDD IW ???? 43 132π2/ ?
(4) 型钢截面：参见型钢表
式中
D Od
y
z
Ⅱ, 纯弯曲理论的推广
横力弯曲时：
1、由于切应力
的存在梁的横
截面发生翘曲；
2、横向力还使
各纵向线之间
发生挤压。
平面假设和纵
向线之间无挤
压的假设实际
上都不再成立。
弹性力学的分析结果：
对于 细长梁 （ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算
公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。
zI
yxM )(
??
zW
xM )(
m a x ??
Fl
4
l
F
例 4-14 图示简支梁由 56a号工字钢制成，已知
F=150kN。试求危险截面上的最大正应力 ?max 和同
一横截面上翼缘与腹板交界处 a点处的正应力 ?a。
B
5m 10m
A F
C
FA F
B
12.5
21
166
560z
a
37
5 k
N.
m
M
解,1、作弯矩图如上，
mkN3754m a x ??? FlM
2、查型钢表得
3cm2 3 4 2?zW4cm6 5 5 8 6?zI
M P a16 0
mm1023 42
mmN1037 5
33
6
m a x
m a x ??
????
zW
M?
? ?
M P a1 4 8
mm106 5 5 8 6
mm21
2
5 6 0
mmN103 7 5
44
6
m a x
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
z
a
a
I
yM
?
56号工字钢
3、求正应力为
12.5
21
166
560z
a
或根据正应力沿梁高的线性分布关系的
M P a1 6 0m a x ??
M P a148M P a160
2
560
21
2
560
m a x
m a x
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
y
y
a
a
12.5
21
166
560z
a
Ⅲ 梁的正应力强度条件
由于 ?max处 ? =0或极小，并且不计由横向力引起的
挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应
力状态来建立：
材料的许用弯曲正应力
? ??? ?m a x
? ???
zW
M m a x
中性轴为横截面对称轴的等直梁
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
][ tm a x,t ?? ?
][ cm a x,c ?? ?O
z
yy t，
ma
x
y c，
ma
x
][ tm a xt,m a xm a xt,?? ??
zI
yM
][ cm a xc,m a xm a xc,?? ??
zI
yM
][
][
c
t
m a xc,
m a xt,
?
??
y
y
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
例 4-15 图示外伸梁，材料的许用应力
[σ]=120Mpa。试校核梁正应力强度。
q = 5 k N/m F= 1 0 k N
1 0 0
A 1 4 0 B C
8 m 2 m
解：（ 1）求支反力
FA=17.5kN
FB=32.5kN
（ 2）作弯矩图,确定危险截面
17.5
1 0
3.5m
2 2, 5
2 0 k N, m
3 0, 8 k N, m
（ 3）强度校核
][114
140
108.3032
3
6
m a x
?
?
?
??
?
??
?
?
MPa
W
M
Ez
E
E
][100
]
140
100
1[140
102032
4
3
6
m a x
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
M P a
W
M
Bz
B
B
例 4-16 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简
图。钢的许用弯曲正应力 [? ]=152 MPa 。试选择
工字钢的号码。
A B
F F F=75kN
2.5m 2.5m 2.5m 2.5m
10 m
FB FA
解,1、支反力为
kN5.1 0 223 ??? FFF BA
作弯矩图如上。
281 375
单位：
kN·m
2、根据强度条件确定截面尺寸
与要求的 Wz相差不到 1%，可以选用。
? ???
zW
M m a x
? ?
33
6
m a x mm1024 60
M P a15 2
mmN1037 5 ??????
?
MW
z
333 mm102 4 4 7cm2 4 4 7 ???zW
查型钢表得 56b号工字钢的 Wz比较接近要求值
mkN3 7 5m a x ??M
例 4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁
的许用拉应力 [ ?t ]=30 MPa，许用压应力 [ ?c ] =90
MPa。试根据截面最为合理的要求，确定 T字形梁
横截面的尺寸 d,并校核梁的强度 。
解：
][
][
c
t
2
1
?
??
y
y
根据截面最为合理的要求
3
1
90
30 ?? mm701 ?? yy
1m 2m
BA
F=80 kN
C y 1
y 2
z
60
220
y
O 280
d
即
mm24?d
得
46
2
3
2
3
mm102.99
)302 1 02 8 0(2 2 060
12
602 2 0
)1 1 02 1 0(2 2 024
12
2 2 024
??
?????
?
?
????
?
?
z
I
截面对中性轴的惯性矩为 y 1
y 2
z
60
220
y
O 280
d
7060220)60280( )11060()60280(3060220 ???? ???????? d dy
mkN404 2804m a x ????? FlM
M P a7.84
mm102.99
mm2 1 0mmN1040
46
6
2m a x
m a xc,
?
?
???
??
zI
yM
?
][ c??
梁上的最大弯矩
于是最大压应力为
即梁满足强度要求。
y 1
y 2
z
60
220
y
O 280
d
O
?c,max
?t,max
z
例 4-18 图示槽形截面铸铁梁，已知,b = 2m，截
面对中性轴的惯性矩 Iz=5493?104mm4,铸铁的许
用拉应力 [ ?t ]=30 MPa，许用压应力 [ ?c ] =90 MPa。
试求梁的许可荷载 [F ] 。
解,1、梁的支反力为
z
y
C
形心
86
134
20
40
180
120
20
B
F
C b
q=F/b
DbbA
FB FA
FF B 47?4FF A ?
据此作出梁的弯矩图如下
4m a x
FbM ??
2m a x
FbM ??
发生在截面 C
发生在截面 B
z
y
C
形心
86
134
20
40
180
120
20
Fb/2
Fb/4
B
F
C b
q=F/b
DbbA
2、计算最大拉、压正应力
可见：压应力强度条件由 B截面控制，拉应力强度
条件则 B,C截面都要考虑。
z
y
C
形心
86
134
20
40
180
120
20
Fb/2
Fb/4
C截面 B截面压应力
拉应力
拉应力
压应力
? ?? ? M P a30
mm1054 93
mm86mm1022/
43
3
2
m a xt,???
???? F
I
yM
z
B?
考虑截面 B：
? ?? ? M P a90
mm10549 3
mm341mm1024/
44
3
1
m a xc,??
???? F
I
yM
z
B?
kN2.19?F
kN8.73?F
z
y
C
形心
86
134
20
40
180
120
20
Fb/2
Fb/4
考虑截面 C：
因此梁的强度由截面 B上的最大拉应力控制
? ?? ? M P a30
mm1054 93
mm134mm1024/
44
3
1
m a xt,??
???? F
I
yM
z
C?
kN2.19][ ?F
kN6.24?F
z
y
C
形心
86
134
20
40
180
120
20
Fb/2
Fb/4
练习题,F=10kN
100
50
1m
试计算最大正应力。
作业,4-25,4-31,4-36,4-38
