第十三章
动能定理
功是代数量
§ 13-1 力的功
常力在直线运动中的功
单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m
sFsFW ?? ???? ?c o s
001-5.swf
δ c o sw F s???
元功
δdw F r??
即
变力在曲线运动中的功
002-5.swf
22
1112 δ ·d
MMW w F r? ? ? ?
d d d d
x y zF F i F j F k
r x i y j zk
? ? ?
? ? ?
记
2
112 ( d d d )
MM x y zW F x F y F z? ? ? ?
则
21 ~ MM力 在 路程上的功为F
?
)( 2112 iii zzgmW ?? ??
1、重力的功
质点系
iiC zmmz ??
由
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
)( 2112 CC zzmgW ???得
)(d 2112 21 zzmgzmgW zz ?????
mgFFF zyx ???? 0
003-5.swf
2、弹性力的功
弹簧刚度系数 k(N/m)
0() rF k r l e? ? ?
弹性力
弹性力的功为
2
1
0( ) d
A
rA k r l e r? ? ? ??
004-5.swf
? ?? 2
1
12
A
A
rdFW ?
?
211d d d ( ) d ( ) d
22r
re r r r r r r
r r r? ? ? ? ? ? ?
因
022011,lrlr ???? ??
式中
rlrkW rr d)( 012 21 ????
得
)(2 222112 ?? ?? kW
即
弹性力的功也与路径无关
1
2
12 dzWM
?
?
?? ?
3,定轴转动刚物体上作用力的功
)( 1212 ?? ?? zMW则
?zM若 常量
δ d d dttw F r F s F R ?? ? ? ?
由 RFM
tz ?
得 d
zwM???
从角 转动到角 过程中力 的功 为
1? 2? F
iM iF作用在 点的力 的元功 为
力系全部力的元功之和为
d ( ) d
i
i C C i
ww
F r M F
??
?
?
? ? ?
?
??
4,平面运动刚体上力系的 功
其中 d c o s d ( ) d
i i C i i C C iF r F M M F? ? ?? ? ? ? ?
d d di C i Cr r r??i C iCv v v??由 两端乘 dt,有
ddi C CF r M ??? ? ?
2
1
δ d d d ( )
n
i i i i C i iC i
i
w F r F r F r X X
?
? ? ? ? ? ? ??
其中, 为力系主失,为力系对质心的主矩,
RF? CM
当质心由,转角由 时,力系的功 为
21 ~ CC 21 ~ ??
即,平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和,
也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和,
22
11
12 dd
C
R C CCW F r M
?
?
??? ? ???
说明,1、对任何运动的刚体,上述结论都适用 ;
2,C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 ;
3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
§ 13-2 质点和质点系的动能
2
2
1
iimT ???
2、质点系的动能
1、质点的动能 2
2
1 ?mT ?
单位,J（焦耳）
?? ?? iCi mvvmT i 22 2121
22222
2
1
2
1
2
1
iiiiii rmrmvmT ??? ??? ??
（ 1）平移刚体的动能
（ 2）定轴转动刚体的动能
2
2
1 ?
zJT ?
即
2
2
1
CmvT ?
即
222 )(
2
1
2
1 ?? mdJJT
Cp ???
即,平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和,
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ??
得
速度瞬心为 P
（ 3）平面运动刚体的动能
上面结论也适用于刚体的任意运动,
21d d ( ),d,
2m m F r w? ? ? ?? ? ? ?
由于
§ 13-3 动能定理
1、质点的动能定理
wm ?? ?)21(d 2
因此
ddm F r??? ? ?得
上式称为质点 动能定理 的微分形式，即质点动
能的增量等于作用在质点上力的元功。
d
dmFt
? ? ddtr? ?将 两端点乘 dr,
12
2
1
2
2 2
1
2
1 Wmm ?? ??
称质点动能定理的积分形式,在质点运动的某
个过程中,质点动能的改变量等于作用于质点
的力作的功,
积分之,有
2、质点系的动能定理
称质点系动能定理的微分形式,质点系动能的
增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的
和,
由
iii wm ?? ?)2
1(d 2
?? ? iii wm ?? )21(d 2求和
?? iwT ?d得
称质点系动能定理的积分形式,质点系在某一段运
动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于
质点系的全部力在这段过程中所作功的和,
积分之,有
??? iwTT 12
3、理想约束
光滑固定面固定铰支座、光滑铰链、柔索类
等约束的约束力作功等于零,
称约束力作功等于零的约束为理想约束,
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可,
内力作功之和不一定等于零,
例 13-1 已知,m,h,k,其它质量不计,
max?
求,
13-12.swf
解,
,0,0 21 ?? TT
m a x
2
m a x 2)(00 ??
khmg ????
k m g hgmkkmg 21 22m a x ????
例 13-2 已知：轮 O 的 R1, m1,质量分布在轮缘上 ;
均质轮 C 的 R2, m2 纯滚动,初始静止 ;θ,M 为常力偶。
求,轮心 C 走过路程 S时的速度和加速度
133-5.swf
Sg S i nmMW ·212 ?? ??
01 ?T
2
2
2
22
2
22
2
1
2
112 )2
1(
2
1
2
1)(
2
1 ??? RmmRmT ???
轮 C与轮 O共同作为一个质点系解,
1R
S??
)32(
)(2
211
12
mmR
SS i ngRmM
C ?
?? ??
)32(
4
· 21
2
2 mmSS i ngmM
C ??? ??? )(a
2
2
1
1,RR
CC ???? ??
1212 TTW ??
C
C
CC S i ngmRMmm ??
??? ·)32(
2
1
2
1
21 ???
121
12
)32(
)(2
Rmm
S i nRgmM
C ?
?? ??
式 (a)是函数关系式，
两端对 t求导,得
求,冲断试件需用的能量
?? 701? ?? 292?
例 13-3 冲击试验机 m=18kg,l=840mm,杆重不计，
在 时静止释放，冲断试件后摆至
JW k 92.78?得冲断试件需要的能量为
???? )c o s1(00 1?m g l
0,0 21 ?? TT
kWmg l ?? )cos1( 2?
解,
例 13-4 已知,均质圆盘 R,m,F=常量,且很大,使 O向右运
动,f,初静止
求,O走过 S路程时 ω,α
013-5.swf
R?? ?001 ?T
圆盘速度瞬心为 C,
2
0
2
2
2
02 4
3)
2(2
1
2
1 ??? mmRmT ???
解,
12 TTW ???
2
04
32 ?mm g f sFS ?? )(a
)2(
3
20 m g fF
m
s ???
? ?? mg f sFSW 2
TNF P F、、
均不作功,
注意,
,SFW d?
1、摩擦力 Fd 的功 S是力在 O点的位移，不是
受力作用点 B的位移,
,,00 rar ?? ???
将式 (a)两端对 t求导,并利用
)2(3 20 m g fFma ??
得
( ) 2d d dSW F F S F R F S F SR? ? ? ? ? ??
不作功的力可不考虑,因此亦可如下计算,
R
SRFRFSFFFW
TT )()( dd ??????
fsmgFS
SFFS
2
2
??
?? d
2、亦可将力系向点 O 简化，即
例 13-5:已知,,均质 ;杆 m均质,=l,M=
常量,纯滚动,处于水平面内,初始静止,
求, 转过 φ角的 ω,α
21,OO
21OO
21OO1r 1m
0005-5.swf
,01 ?T
221 )
2
3
3(2
1 ?lmm ??
研究整个系统
),(
11
01
101 r
l
r
l ????? ???
2
2
112
011
2
2
2 )2(2
1
2
1)
3(2
1 ??? rmmmlT ???
解,
?MW ? ??? WTT 12
221 )
2
3
3(2
1 ?? lmmM ?? )(a
2
1 )92(
12
lmm
M
?
? ??
2
1 )92(
6
lmm
M
?
??
式 (a)对任何 φ 均成立,是函数关系,求导得
注意,轮 Ⅰ, Ⅱ 接触点 C不是理想约
束,其摩擦力 Fs尽管在空间是移动的,
但作用于速度瞬心,故不作功,
01 ?T
ABABC lCC ??? 2
3???
ll
B
OB
B
AB
???? ??,
OBAB ?? ?
例 13-6:均质杆 OB=AB=l,m在铅垂面内 ;M=常
量,初始静止,不计摩擦,
? ??? 2)c o s1(2 lmgMW ??
解,
求,当 A运动到 O点时,？?
A?
006-5.swf
lABA 2·?? ?
2
2 2
1
COBAB mTTT ????
12 TTW ???
? ?)c o s1(321 ??? ??? m g lMmlAB
lABA 2·?? ?
22
3
4
ABml ??
2
0
2
2
1
2
1
OBABC JJ ? ??
作业,13-1,13-7,13-11，
13-13,13-14,13-16
指导,93页 3（ 1）、（ 3）
95页 2； 96页 6
d
WP
t
??
§ 13-4 功率、功率方程、机械效率
d
d t
rP F F v F v
t? ? ? ? ?
1、功率：单位时间力所作的功称功率
即,功率等于切向力与力作用点速度的乘积,
由,得dW F r? ??
??? zz MtMtWP ??? ddd
单位 W（瓦特）,1W=1J/S
作用在转动刚体上的力的功率为
2、功率方程
??
??
??
n
i
i
n
i
i P
t
W
t
T
11 dd
d ?
称 功率方程,即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质
点系的所有力的功率的代数和,
无用有用输入 PPPt
T ???
d
d
或 d
d
TP P P
t? ? ?无用输入 有用
3、机械效率
机械效率
输入
有效
P
P??
有效功率
t
TPP
d
d??
有用有效
多级转动系统
n???? ?2,1?
例 13-7 已知,
5,4,P ? kw输入 %30?? 输入无用 PP
m in/r42,mm1 0 0 ?? nd
若,求 F的最大值。m in/r112??n
求,切削力 F的最大值
解,
kw78.3??? 无用输入有用 PPP
有用有用 Pdn
ndFFP
?
?? 60
30·2 ???
kN19.17m in )/r42)(m1.0( )kw78.3( s e c ) (60 ?? ?F
kN45.6m in )/112)(m1.0( )kw78.3( s e c ) (60 ?? rF ?
当 m in/r112??n 时
例 13-5,已知 m, l0,k, R, J
求,系统的运动微分方程。
p300-5.swf
?RS ?解,
2
d
d
2
1 ?
?
??
?
??
t
smT
2
2 d
d
2
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
? ??
t
s
R
Jm
t
sksp
t
smgp
d
d,
d
d ???
弹性力重力
2
d
d
2
1 ?
?
??
?
??
tJ
?
d
d
T pp
t ??重力 弹性力
t
sks
t
smg
t
s
t
s
R
Jm
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
2 ????
??
?
? ?
ksmgt sR Jm ???
?
??
?
? ?
2
2
2 d
d
,0 xS ?? ?
kxkxkmgt xR Jm ??????
?
??
?
? ?
02
2
2 d
d ?
0dd 2
2
2 ????
??
?
? ? kx
t
x
R
Jm
令 为弹簧静伸长，即 mg=k,
以平衡位置为原点
0? 0?
§ 13-5 势力场,势能,机械能守恒定律
1.势力场
? ?
0
0
d
d d d
M
M
M
x y zM
V F r
F x F y F z
??
? ? ?
?
?
势力场,如果物体在力场内运动，作用与物体的力所做的功
只与力作用点的始、末位置有关,与路径无关,
2.势能,在势力场中, 质点从点 M运动到任选的点 M0
有势力所做的功称为质点 M相对于点 M0的势能。
0M
称势能零点
? ?,,F F x y z?力场
（ 1）重力场中势能
? ?0 0dZ
Z
V m g z m g z z? ? ? ??
? ?0 22 0d
2
r
r
k
V F r ??? ? ? ??
（ 2）弹性力场的势能
0 0,? ? 为零势能点则
2
2
?kV ?
（ 3）万有引力场中的势能
00 12
2dd
AA
r
fm mV F R e r
r? ? ? ? ???
ddrr??r由于e 有
1 12
122
1
11dr
r
f m mV r f m m
r r r
??
? ? ? ???
???
取零势能点在无穷远 ??
1r
r
mfmV 21??
0 di
i
M
iMV F r??? ?
质点系
? ? ? ?00 CCiii zzmgzzgmV ?????
重力场
例,已知 均质杆 l,m 弹簧强度 k,AB水平时平衡，
弹簧变形
0?
取弹簧自然位置 O为零势能点,
? ? kgmlklmglkV 821221
22
222
0 ?????? ?
???
k
mglmglk
22 00 ?? ?? 即( ) 0AMF ??
由 得
? ?
? ?
2
2
2
1
2
1
2
0
22
0
2
0
2
0
2
l
mgllk
m ghkV
?
?????
??
?????
???
取杆平衡位置为零势能点,
22
2
1 lkV ??即
质点系在势力场中运动,有势力功为
2112 VVW ??
3,机械能守恒定律
由
1212 WTT ??
即,质点系仅在有势力作用下运动时,机械
能守恒,此类系统称 保守系统
2112 VVW ??
及
2211 VTVT ???
得
例 13-6：已知：重物 m=250kg,以 v=0.5m/s匀速下
降，钢索 k=3.35× N/m, 610
求, 轮 D突然卡住时，钢索的最大张力,
012-5.swf
,kmgst ??
01 ?V
? ? ? ?stst mgk ???? ???? m a x22m a x2 2V
卡住前
卡住时,
0,21 221 ?? TmT ?
kN45.2??? mgkF st?
解,
得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
st
st g ?
??? 2
m a x 1
kN9.1611
2
m a x ???
?
?
???
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
m
k
g
mg
g
kkF
st
stst
?
?
???
02
2
2
m a x
2
m a x ????
?
???
? ???
ststst g ?
?????即
由 有
2211 VTVT ???
? ?stmg ?? ?? m a x
? ?22m x a2 20021 stkm ??? ????
? ? 200220 21221 ??? JbkJ ??
取水平位置为零势能位置
0
222
0 / Jkb ??? ??
例 13-7:已知,m,,k,水平位置平衡 OD=CD=b
OJ
求：初速 时,=?
0?
?
解,
＊ 4,势力场的其他质：
z
VF
y
VF
x
VF
zyx ?
???
?
???
?
???,,(1)
（ 2）势能相等的点构成等势面
（ 3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向
作业
§ 13-6 普遍定理的综合应用
动量定理、动量矩定理 动能定理
矢量，有大小方向
内力不能使之改变
只有外力能使之改变
约束力是外力时对之有影响。不与
能量相互转化，应用时不考虑能量
的转化与损失。
当外力主矢为零时，系统动量 守
恒
当外力对定点 O或质心的主矩为零
时系统对定点或者质心的动量矩守
恒。
动量定理描述质心的运动变化
动量矩定理描述绕质心或绕定点的
运动变化。
非负的标量，与方向无关
内力作功时可以改变动能
只有作功能改变动能
理想约束不影响动能
可进行动能转化
应用时完全从功与能的观点出发
在保守系中，机械能守恒
动能定理描述质心运动及相对质
心运动中动能的变化。
例 13-8:已知 均质园轮 m,r,R,纯滚动
求,轮心 Ｃ 的运动微分方程
007-5.swf
d
d
sP m g m g
t??
??? ? ? ?
????
d
d
smg
t ???
dsin
d
smg
t???
,432121 222 CCC mJmT ??? ???
解,
重力的功率
? ?d s ind smgt ???
?（ 很小）2
2
d dd,,,s in
d d d
C
C
s s s
t t t R r
? ? ? ? ?? ? ? ?
?
? ? 03
2
d
d
2
2
?
?
?
rR
gs
t
s
d3d2 s in
4 d d
C
C
sm m g
tt
???? ? ?p
t
T ?
d
d
本题也可用机械能守恒定律求解,
? ?? ? 243,c o s1 CmTrRmgV ?? ????
0s in32dd 2
2
?? ?gt s得
? ? 0dd ?? TVt
例 13-9:已知两均质轮 m,R ; 物块 m,ｋ,纯滚动,于弹
簧原长处无初速释放,
求：重物下降 h时,v,a及滚轮与地面的摩擦力,
13-25.swf
01 ?T解,
2
222222
2
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
?
????
m
mRmmRmT
?
?
?
?
?
?
?
?????
? ? 22 2221 khm g hhkm g hW ?????
将式（ a）对 t 求导 ? ?dd
34 hm m g k htt?? ??
12 TTW ???
（ a）
22
2
32 ?mkhm g h ??
? ?
m
hkhmg
3
22 ???
得
m
khga
3
4
3 ??
khmgmaFF S 34621 ????
? ? RFFRmRt s ???
?
??
?
? ? ?2
2
1
d
d khF 2?其中
例 13-10:已知 l,m
求,杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力,
008-5.swf
?
???
c o s
2
lCP
CC ??
解,
成 角时
?,01 ?T
2
2
22
2 c o s3
11
2
1
2
1
2
1
CCC mJmT ???? ??
??
?
? ????
? ? 22
c o s3
11
2
1s in1
2 C
mlmg ?
?
? ?
?
??
?
? ???
l
ggl
C
3,3
2
1 ?? ??
(a)
CN maFmg ??
(b)
?? 122
2ml
JlF CN ??
时0??
由 (a),(b),(c) 得
4
mgF
N ?
tn
C A C A C Aa a a a? ? ?
由
tC CAaa,nA CAaa、其中, 铅直 水平
?2laa tCAC ??
(c)
例,已知 轮 I,r,m1; 轮 III,r,m3; 轮 II,R=2r,m2;压力角（即齿轮
间作用力与图中两圆切线间的夹角）为 20度,物块,mA;摩擦力不
计,
求,O1 O2处的约束力,
009-5.swf
其中
22
?? ?
,21,2 21112 rmJrr OA ??? ???
? ? 22232211 212121 AAOOO mJJJT ??? ????解,
2
33
2
22 2
1,
2
1 rmJRmJ
OO ??
hmMw A dd ??? ??
利用
2,2
1
2
1 ??? ?? ra
A
其中
?d21d rh ?
?? wtT ?dd
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grmMa
A
A
A
321 442
22
???
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1
2
12
1
?
?
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?
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压力角为 ?20
rPMJ tO ???11?
011 ???? gmPyF tO
r
ramMxF A
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13 6 4.0
1
??
01 ??? nO PxF
r
ramMgmyF A
O
1
11
???
研究物块 A
gmamF
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AAT
AAAT
??
?
???
1
研究 II轮
02 ?? nxO PF
r
ramMF A
xO
10364
2
??
? ? 0322 ????? TtyO FgmmPF
? ? ? ? AAA ammrMgmmmyF 1320
2
??????
例 9：已知,m,R,k,CA=2R为弹簧原长,M为常力偶,
求,圆心 C无初速度由最低点到达最高点时,O处约束力
010-5.swf
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ??????? 22220
2
2 RkRmgMW ?
??? wTT 12
? ?222 343.023 4 kRR m gMmR ??? ??
2343.02 kRR mgM ??? ?
01 ?T解,
22222
2 4
3
2
1
2
1
2
1 ?? mRmRmRJT
O ???
??
?
? ???
?45c o sFRMJ ???
? ?
2
1222
2
3 2 ???? RRRkMmR ?
2,???? RR CyCx ????
? ?
2
2
3
5 8 6.02
mR
kRM ???
得
OxOx makRF ??? 5 8 6.0
?45c o sFmgFma OyCy ???
CyOy makRmgF ??? 586.0
R
MkRmg 1 8 9.40 4 3.16 6 7.3 ???
kRMR 1 9 6.032 ???
?45c o sFFma OxCx ??
例 （综 19）均质杆 AB,l,m,初始铅直静止,无摩擦
求,1.B端未脱离墙时,摆至 θ角位 置时的,,FBx,FBy? ?
2,B端脱离瞬间的 θ１ 3.杆着地时的 vC及 2?
13-27.swf
? ??? c o s13 ??
l
g ?? s in
2
3
l
g?
?2la tC ?
2
2 ?
la n
C ?
? ?
2
211 c o s
2 2 3
l m lmg ??? ? ?解,(1)
? ?
? ?2c o s2s in3
4
3
c o ss in
2 ????
????
??
??
mgmg
aammgF nCtCBy
CyBy mamgF ??
)2co s3(s in
4
3
)s inco s(
??
???
??
??
mg
aammaF nCtCCxBx
(2) 脱离瞬间时 0?
BxF
1
2a rc c os
3? ?
? ?
l
g
l
g ??? ?? c o s13
1
(3) 脱离后,水平动量守恒,脱离瞬时
glvv CCx 31c o s 1 ?? ?
gllv C 212 1 ?? ?
杆着地时,AC水平
C B C Bv v v??
由铅直 —— 水平全过程
? ? 222 21212 ?CCyCx Jvmvlmg ???
2
lvv
CBCy ??? ?
01 ?T 12 TTW ??
式中
12,2,3
1 2lJlvglv
CCyCx
?? ???
l
g
3
8??
l
gv
Cy 3
8
2
1?
glvvv CyCxC 73122 ???
动能定理
功是代数量
§ 13-1 力的功
常力在直线运动中的功
单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m
sFsFW ?? ???? ?c o s
001-5.swf
δ c o sw F s???
元功
δdw F r??
即
变力在曲线运动中的功
002-5.swf
22
1112 δ ·d
MMW w F r? ? ? ?
d d d d
x y zF F i F j F k
r x i y j zk
? ? ?
? ? ?
记
2
112 ( d d d )
MM x y zW F x F y F z? ? ? ?
则
21 ~ MM力 在 路程上的功为F
?
)( 2112 iii zzgmW ?? ??
1、重力的功
质点系
iiC zmmz ??
由
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
)( 2112 CC zzmgW ???得
)(d 2112 21 zzmgzmgW zz ?????
mgFFF zyx ???? 0
003-5.swf
2、弹性力的功
弹簧刚度系数 k(N/m)
0() rF k r l e? ? ?
弹性力
弹性力的功为
2
1
0( ) d
A
rA k r l e r? ? ? ??
004-5.swf
? ?? 2
1
12
A
A
rdFW ?
?
211d d d ( ) d ( ) d
22r
re r r r r r r
r r r? ? ? ? ? ? ?
因
022011,lrlr ???? ??
式中
rlrkW rr d)( 012 21 ????
得
)(2 222112 ?? ?? kW
即
弹性力的功也与路径无关
1
2
12 dzWM
?
?
?? ?
3,定轴转动刚物体上作用力的功
)( 1212 ?? ?? zMW则
?zM若 常量
δ d d dttw F r F s F R ?? ? ? ?
由 RFM
tz ?
得 d
zwM???
从角 转动到角 过程中力 的功 为
1? 2? F
iM iF作用在 点的力 的元功 为
力系全部力的元功之和为
d ( ) d
i
i C C i
ww
F r M F
??
?
?
? ? ?
?
??
4,平面运动刚体上力系的 功
其中 d c o s d ( ) d
i i C i i C C iF r F M M F? ? ?? ? ? ? ?
d d di C i Cr r r??i C iCv v v??由 两端乘 dt,有
ddi C CF r M ??? ? ?
2
1
δ d d d ( )
n
i i i i C i iC i
i
w F r F r F r X X
?
? ? ? ? ? ? ??
其中, 为力系主失,为力系对质心的主矩,
RF? CM
当质心由,转角由 时,力系的功 为
21 ~ CC 21 ~ ??
即,平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和,
也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和,
22
11
12 dd
C
R C CCW F r M
?
?
??? ? ???
说明,1、对任何运动的刚体,上述结论都适用 ;
2,C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 ;
3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
§ 13-2 质点和质点系的动能
2
2
1
iimT ???
2、质点系的动能
1、质点的动能 2
2
1 ?mT ?
单位,J（焦耳）
?? ?? iCi mvvmT i 22 2121
22222
2
1
2
1
2
1
iiiiii rmrmvmT ??? ??? ??
（ 1）平移刚体的动能
（ 2）定轴转动刚体的动能
2
2
1 ?
zJT ?
即
2
2
1
CmvT ?
即
222 )(
2
1
2
1 ?? mdJJT
Cp ???
即,平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和,
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ??
得
速度瞬心为 P
（ 3）平面运动刚体的动能
上面结论也适用于刚体的任意运动,
21d d ( ),d,
2m m F r w? ? ? ?? ? ? ?
由于
§ 13-3 动能定理
1、质点的动能定理
wm ?? ?)21(d 2
因此
ddm F r??? ? ?得
上式称为质点 动能定理 的微分形式，即质点动
能的增量等于作用在质点上力的元功。
d
dmFt
? ? ddtr? ?将 两端点乘 dr,
12
2
1
2
2 2
1
2
1 Wmm ?? ??
称质点动能定理的积分形式,在质点运动的某
个过程中,质点动能的改变量等于作用于质点
的力作的功,
积分之,有
2、质点系的动能定理
称质点系动能定理的微分形式,质点系动能的
增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的
和,
由
iii wm ?? ?)2
1(d 2
?? ? iii wm ?? )21(d 2求和
?? iwT ?d得
称质点系动能定理的积分形式,质点系在某一段运
动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于
质点系的全部力在这段过程中所作功的和,
积分之,有
??? iwTT 12
3、理想约束
光滑固定面固定铰支座、光滑铰链、柔索类
等约束的约束力作功等于零,
称约束力作功等于零的约束为理想约束,
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可,
内力作功之和不一定等于零,
例 13-1 已知,m,h,k,其它质量不计,
max?
求,
13-12.swf
解,
,0,0 21 ?? TT
m a x
2
m a x 2)(00 ??
khmg ????
k m g hgmkkmg 21 22m a x ????
例 13-2 已知：轮 O 的 R1, m1,质量分布在轮缘上 ;
均质轮 C 的 R2, m2 纯滚动,初始静止 ;θ,M 为常力偶。
求,轮心 C 走过路程 S时的速度和加速度
133-5.swf
Sg S i nmMW ·212 ?? ??
01 ?T
2
2
2
22
2
22
2
1
2
112 )2
1(
2
1
2
1)(
2
1 ??? RmmRmT ???
轮 C与轮 O共同作为一个质点系解,
1R
S??
)32(
)(2
211
12
mmR
SS i ngRmM
C ?
?? ??
)32(
4
· 21
2
2 mmSS i ngmM
C ??? ??? )(a
2
2
1
1,RR
CC ???? ??
1212 TTW ??
C
C
CC S i ngmRMmm ??
??? ·)32(
2
1
2
1
21 ???
121
12
)32(
)(2
Rmm
S i nRgmM
C ?
?? ??
式 (a)是函数关系式，
两端对 t求导,得
求,冲断试件需用的能量
?? 701? ?? 292?
例 13-3 冲击试验机 m=18kg,l=840mm,杆重不计，
在 时静止释放，冲断试件后摆至
JW k 92.78?得冲断试件需要的能量为
???? )c o s1(00 1?m g l
0,0 21 ?? TT
kWmg l ?? )cos1( 2?
解,
例 13-4 已知,均质圆盘 R,m,F=常量,且很大,使 O向右运
动,f,初静止
求,O走过 S路程时 ω,α
013-5.swf
R?? ?001 ?T
圆盘速度瞬心为 C,
2
0
2
2
2
02 4
3)
2(2
1
2
1 ??? mmRmT ???
解,
12 TTW ???
2
04
32 ?mm g f sFS ?? )(a
)2(
3
20 m g fF
m
s ???
? ?? mg f sFSW 2
TNF P F、、
均不作功,
注意,
,SFW d?
1、摩擦力 Fd 的功 S是力在 O点的位移，不是
受力作用点 B的位移,
,,00 rar ?? ???
将式 (a)两端对 t求导,并利用
)2(3 20 m g fFma ??
得
( ) 2d d dSW F F S F R F S F SR? ? ? ? ? ??
不作功的力可不考虑,因此亦可如下计算,
R
SRFRFSFFFW
TT )()( dd ??????
fsmgFS
SFFS
2
2
??
?? d
2、亦可将力系向点 O 简化，即
例 13-5:已知,,均质 ;杆 m均质,=l,M=
常量,纯滚动,处于水平面内,初始静止,
求, 转过 φ角的 ω,α
21,OO
21OO
21OO1r 1m
0005-5.swf
,01 ?T
221 )
2
3
3(2
1 ?lmm ??
研究整个系统
),(
11
01
101 r
l
r
l ????? ???
2
2
112
011
2
2
2 )2(2
1
2
1)
3(2
1 ??? rmmmlT ???
解,
?MW ? ??? WTT 12
221 )
2
3
3(2
1 ?? lmmM ?? )(a
2
1 )92(
12
lmm
M
?
? ??
2
1 )92(
6
lmm
M
?
??
式 (a)对任何 φ 均成立,是函数关系,求导得
注意,轮 Ⅰ, Ⅱ 接触点 C不是理想约
束,其摩擦力 Fs尽管在空间是移动的,
但作用于速度瞬心,故不作功,
01 ?T
ABABC lCC ??? 2
3???
ll
B
OB
B
AB
???? ??,
OBAB ?? ?
例 13-6:均质杆 OB=AB=l,m在铅垂面内 ;M=常
量,初始静止,不计摩擦,
? ??? 2)c o s1(2 lmgMW ??
解,
求,当 A运动到 O点时,？?
A?
006-5.swf
lABA 2·?? ?
2
2 2
1
COBAB mTTT ????
12 TTW ???
? ?)c o s1(321 ??? ??? m g lMmlAB
lABA 2·?? ?
22
3
4
ABml ??
2
0
2
2
1
2
1
OBABC JJ ? ??
作业,13-1,13-7,13-11，
13-13,13-14,13-16
指导,93页 3（ 1）、（ 3）
95页 2； 96页 6
d
WP
t
??
§ 13-4 功率、功率方程、机械效率
d
d t
rP F F v F v
t? ? ? ? ?
1、功率：单位时间力所作的功称功率
即,功率等于切向力与力作用点速度的乘积,
由,得dW F r? ??
??? zz MtMtWP ??? ddd
单位 W（瓦特）,1W=1J/S
作用在转动刚体上的力的功率为
2、功率方程
??
??
??
n
i
i
n
i
i P
t
W
t
T
11 dd
d ?
称 功率方程,即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质
点系的所有力的功率的代数和,
无用有用输入 PPPt
T ???
d
d
或 d
d
TP P P
t? ? ?无用输入 有用
3、机械效率
机械效率
输入
有效
P
P??
有效功率
t
TPP
d
d??
有用有效
多级转动系统
n???? ?2,1?
例 13-7 已知,
5,4,P ? kw输入 %30?? 输入无用 PP
m in/r42,mm1 0 0 ?? nd
若,求 F的最大值。m in/r112??n
求,切削力 F的最大值
解,
kw78.3??? 无用输入有用 PPP
有用有用 Pdn
ndFFP
?
?? 60
30·2 ???
kN19.17m in )/r42)(m1.0( )kw78.3( s e c ) (60 ?? ?F
kN45.6m in )/112)(m1.0( )kw78.3( s e c ) (60 ?? rF ?
当 m in/r112??n 时
例 13-5,已知 m, l0,k, R, J
求,系统的运动微分方程。
p300-5.swf
?RS ?解,
2
d
d
2
1 ?
?
??
?
??
t
smT
2
2 d
d
2
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
? ??
t
s
R
Jm
t
sksp
t
smgp
d
d,
d
d ???
弹性力重力
2
d
d
2
1 ?
?
??
?
??
tJ
?
d
d
T pp
t ??重力 弹性力
t
sks
t
smg
t
s
t
s
R
Jm
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
2 ????
??
?
? ?
ksmgt sR Jm ???
?
??
?
? ?
2
2
2 d
d
,0 xS ?? ?
kxkxkmgt xR Jm ??????
?
??
?
? ?
02
2
2 d
d ?
0dd 2
2
2 ????
??
?
? ? kx
t
x
R
Jm
令 为弹簧静伸长，即 mg=k,
以平衡位置为原点
0? 0?
§ 13-5 势力场,势能,机械能守恒定律
1.势力场
? ?
0
0
d
d d d
M
M
M
x y zM
V F r
F x F y F z
??
? ? ?
?
?
势力场,如果物体在力场内运动，作用与物体的力所做的功
只与力作用点的始、末位置有关,与路径无关,
2.势能,在势力场中, 质点从点 M运动到任选的点 M0
有势力所做的功称为质点 M相对于点 M0的势能。
0M
称势能零点
? ?,,F F x y z?力场
（ 1）重力场中势能
? ?0 0dZ
Z
V m g z m g z z? ? ? ??
? ?0 22 0d
2
r
r
k
V F r ??? ? ? ??
（ 2）弹性力场的势能
0 0,? ? 为零势能点则
2
2
?kV ?
（ 3）万有引力场中的势能
00 12
2dd
AA
r
fm mV F R e r
r? ? ? ? ???
ddrr??r由于e 有
1 12
122
1
11dr
r
f m mV r f m m
r r r
??
? ? ? ???
???
取零势能点在无穷远 ??
1r
r
mfmV 21??
0 di
i
M
iMV F r??? ?
质点系
? ? ? ?00 CCiii zzmgzzgmV ?????
重力场
例,已知 均质杆 l,m 弹簧强度 k,AB水平时平衡，
弹簧变形
0?
取弹簧自然位置 O为零势能点,
? ? kgmlklmglkV 821221
22
222
0 ?????? ?
???
k
mglmglk
22 00 ?? ?? 即( ) 0AMF ??
由 得
? ?
? ?
2
2
2
1
2
1
2
0
22
0
2
0
2
0
2
l
mgllk
m ghkV
?
?????
??
?????
???
取杆平衡位置为零势能点,
22
2
1 lkV ??即
质点系在势力场中运动,有势力功为
2112 VVW ??
3,机械能守恒定律
由
1212 WTT ??
即,质点系仅在有势力作用下运动时,机械
能守恒,此类系统称 保守系统
2112 VVW ??
及
2211 VTVT ???
得
例 13-6：已知：重物 m=250kg,以 v=0.5m/s匀速下
降，钢索 k=3.35× N/m, 610
求, 轮 D突然卡住时，钢索的最大张力,
012-5.swf
,kmgst ??
01 ?V
? ? ? ?stst mgk ???? ???? m a x22m a x2 2V
卡住前
卡住时,
0,21 221 ?? TmT ?
kN45.2??? mgkF st?
解,
得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
st
st g ?
??? 2
m a x 1
kN9.1611
2
m a x ???
?
?
???
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
m
k
g
mg
g
kkF
st
stst
?
?
???
02
2
2
m a x
2
m a x ????
?
???
? ???
ststst g ?
?????即
由 有
2211 VTVT ???
? ?stmg ?? ?? m a x
? ?22m x a2 20021 stkm ??? ????
? ? 200220 21221 ??? JbkJ ??
取水平位置为零势能位置
0
222
0 / Jkb ??? ??
例 13-7:已知,m,,k,水平位置平衡 OD=CD=b
OJ
求：初速 时,=?
0?
?
解,
＊ 4,势力场的其他质：
z
VF
y
VF
x
VF
zyx ?
???
?
???
?
???,,(1)
（ 2）势能相等的点构成等势面
（ 3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向
作业
§ 13-6 普遍定理的综合应用
动量定理、动量矩定理 动能定理
矢量，有大小方向
内力不能使之改变
只有外力能使之改变
约束力是外力时对之有影响。不与
能量相互转化，应用时不考虑能量
的转化与损失。
当外力主矢为零时，系统动量 守
恒
当外力对定点 O或质心的主矩为零
时系统对定点或者质心的动量矩守
恒。
动量定理描述质心的运动变化
动量矩定理描述绕质心或绕定点的
运动变化。
非负的标量，与方向无关
内力作功时可以改变动能
只有作功能改变动能
理想约束不影响动能
可进行动能转化
应用时完全从功与能的观点出发
在保守系中，机械能守恒
动能定理描述质心运动及相对质
心运动中动能的变化。
例 13-8:已知 均质园轮 m,r,R,纯滚动
求,轮心 Ｃ 的运动微分方程
007-5.swf
d
d
sP m g m g
t??
??? ? ? ?
????
d
d
smg
t ???
dsin
d
smg
t???
,432121 222 CCC mJmT ??? ???
解,
重力的功率
? ?d s ind smgt ???
?（ 很小）2
2
d dd,,,s in
d d d
C
C
s s s
t t t R r
? ? ? ? ?? ? ? ?
?
? ? 03
2
d
d
2
2
?
?
?
rR
gs
t
s
d3d2 s in
4 d d
C
C
sm m g
tt
???? ? ?p
t
T ?
d
d
本题也可用机械能守恒定律求解,
? ?? ? 243,c o s1 CmTrRmgV ?? ????
0s in32dd 2
2
?? ?gt s得
? ? 0dd ?? TVt
例 13-9:已知两均质轮 m,R ; 物块 m,ｋ,纯滚动,于弹
簧原长处无初速释放,
求：重物下降 h时,v,a及滚轮与地面的摩擦力,
13-25.swf
01 ?T解,
2
222222
2
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
?
????
m
mRmmRmT
?
?
?
?
?
?
?
?????
? ? 22 2221 khm g hhkm g hW ?????
将式（ a）对 t 求导 ? ?dd
34 hm m g k htt?? ??
12 TTW ???
（ a）
22
2
32 ?mkhm g h ??
? ?
m
hkhmg
3
22 ???
得
m
khga
3
4
3 ??
khmgmaFF S 34621 ????
? ? RFFRmRt s ???
?
??
?
? ? ?2
2
1
d
d khF 2?其中
例 13-10:已知 l,m
求,杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力,
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lCP
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解,
成 角时
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(b)
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由 (a),(b),(c) 得
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C A C A C Aa a a a? ? ?
由
tC CAaa,nA CAaa、其中, 铅直 水平
?2laa tCAC ??
(c)
例,已知 轮 I,r,m1; 轮 III,r,m3; 轮 II,R=2r,m2;压力角（即齿轮
间作用力与图中两圆切线间的夹角）为 20度,物块,mA;摩擦力不
计,
求,O1 O2处的约束力,
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其中
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,21,2 21112 rmJrr OA ??? ???
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A
A
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研究 I 轮
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压力角为 ?20
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O
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amgmF
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AAAT
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1
研究 II轮
02 ?? nxO PF
r
ramMF A
xO
10364
2
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? ? ? ? AAA ammrMgmmmyF 1320
2
??????
例 9：已知,m,R,k,CA=2R为弹簧原长,M为常力偶,
求,圆心 C无初速度由最低点到达最高点时,O处约束力
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2343.02 kRR mgM ??? ?
01 ?T解,
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2 4
3
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2
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O ???
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3 2 ???? RRRkMmR ?
2,???? RR CyCx ????
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2
3
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mR
kRM ???
得
OxOx makRF ??? 5 8 6.0
?45c o sFmgFma OyCy ???
CyOy makRmgF ??? 586.0
R
MkRmg 1 8 9.40 4 3.16 6 7.3 ???
kRMR 1 9 6.032 ???
?45c o sFFma OxCx ??
例 （综 19）均质杆 AB,l,m,初始铅直静止,无摩擦
求,1.B端未脱离墙时,摆至 θ角位 置时的,,FBx,FBy? ?
2,B端脱离瞬间的 θ１ 3.杆着地时的 vC及 2?
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(2) 脱离瞬间时 0?
BxF
1
2a rc c os
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l
g ??? ?? c o s13
1
(3) 脱离后,水平动量守恒,脱离瞬时
glvv CCx 31c o s 1 ?? ?
gllv C 212 1 ?? ?
杆着地时,AC水平
C B C Bv v v??
由铅直 —— 水平全过程
? ? 222 21212 ?CCyCx Jvmvlmg ???
2
lvv
CBCy ??? ?
01 ?T 12 TTW ??
式中
12,2,3
1 2lJlvglv
CCyCx
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l
g
3
8??
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gv
Cy 3
8
2
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glvvv CyCxC 73122 ???
