第 7章 应力状态和强度理论
构件内一点处各截面方向上的应力的情况, 称
为该点的应力状态 。 可由围绕该点的一个单元体面
上的应力表示 。
§ 7-1 概 述
1,一点处的应力状态
目的,通过应力状态分析求出该点处的 ?max,?max及
其作用面, 从而更好地进行强度分析 。
单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的
性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上
的应力 。
单元体如何取？
在研究点的周围, 取一个由三对互相垂直的平
面构成的六面体, 该六面体的边长分别为无穷小量
dx,dy和 dz,如下图所示 。
dy
dz
dx
z
x
y
对单轴或纯剪切应力状态, 可由实验测得的相
应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件 。
2,强度理论
而当一点处的应力状态较为复杂时, 因应力的组
合形式有无限多的可能性, 不可能由实验的方法来确
定每一应力组合下材料的极限应力, 因此需确定引起
材料破坏的共同因素 。
关于材料破坏的共同因素 （ 即破坏规律 ） 的假说,
即称为 强度理论 。 可根据强度理论来建立强度条件 。
?zx
例 1 画出下列图中的 A,B,C点的已知单元体。
PP A
A
?x?x
M
P
x
y
z
B
C
?x?x B
?xz C
?xy
?yx
§ 7-2 平面应力状态分析 ?主应力
对图 a所示悬臂梁上 A点处单元体上的应力分
布 （ 图 b） 可见：有一对平面上的应力等于零, 而
不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内 。
??
?
?
?
?A
F
(a)
a d
cb
A
a'
b'
d'
c'
(b)
a d
cb
A
?
?
?
?
??
该应力状态则称为平面
应力状态, 其单元体可简化
为左图所示情形 。
1,斜截面上的应力
已知如下图 a（或图 b）所示的一平面应力状态：
e
f
a
n
x
y
z
a
b c
d
?x
?y
(a)
?x
?y
?y
?y
?x
?x
da
b c
?x
?y
?x
x
(b)
?x
?x
?y
?y ?y
y
可由截面法求与前, 后两平面垂直的斜截面 上
应力 。 如图 b所示, 斜截面 ef的外法线与 x轴间的夹角
为 a,称为 a截面 。
应力的正负和斜截面夹角的正负规定：
1） 正应力 ?拉为正, 压为负；
2） 切应力 ?使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反
之为负；
3） 对 a角, x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法
线重合时, 其值为正；反之为负 。
取图 c所示分离体进行分析。图 c中所示斜截面
上应力和斜截面夹角均为正。
e
fb
?y
?x
?a
?a(c)
?x
?y
? ? 0n
? ? ? ?
? ? ? ? 0c o ss i nds i ns i nd
s i nc o sdc o sc o sdd
???
??
aa?aa?
aa?aa?? a
AA
AAA
yy
xx
由图 d所示体元上各面上的力的平衡, 参考法
线 n和切线 t方向可得：
?
n
t?
ydAsina
(d)
b f
?ydAsina
?adA
?xdAcosa
e ?
adA
?xdAcosa
a?a????? a 2s i n2c o s22 xyxyx ?????
由此可得，任一斜截面上的应力分量为：
? ? 0t
? ? ? ?
? ? ? ? 0s i ns i ndc oss i nd
c osc osds i nc osdd
???
??
aa?aa?
aa?aa?? a
AA
AAA
yy
xx
?
其中 dA为斜截面 ef的面积。
a?a??? a 2c o s2s i n2 xyx ???
解,C点应力状态如图 b所示，其拉应力和切应力为：
M P a7.63
100
4
π
10500
2
3
?
?
?
??
A
F
x?
例 7-1 图示圆轴中, 已知：圆轴直径 d=100mm,轴向
拉 力 F=500kN,外力矩 Me=7kN·m。 求 C点 a =?30°
截面上的应力 。
(b)
C x?
x
?x?x
?x
?y
?y
y
(a)
x
T
F T C F
? ? ? ?
M P a9.16
60s i n60c o s
2
0
2
0
30
?
???
?
?
?
?
?
??
? x
xx ????
M P a4.452c o s2s i n2 030 ?????? a?a?? xx?
图示斜截面上应力分量为：
M P a7.35
1 0 0
16
π
107
3
6
P
e ??
?
?
???
W
M
x?
C x?
x
?x?x
?x
?y
?y
y
30°
n
?
?
-30
-30°
°
2、应力圆
由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：
a?a????? a 2s i n2c o s22 xyxyx ?????
a?a??? a 2c o s2s i n2 xyx ???
两式两边平方后求和可得：
2
2
2
2
22 x
yxyx ???????
aa ???
?
?
???
? ?
????
?
?
???
? ?
?
而圆方程为,? ? ? ?
222 Rbyax ????
可见前式实际上表示了在 ?为水平轴, ?为垂直
轴的坐标系下的一个圆, 其圆心坐标为：
???
?
???
? ?
0,
2
yx ??
半径为：
2
2
2 x
yxR ??? ?
??
?
?
??
?
? ?
?
如下图。
单元体斜截面上应力 （ ?a,?a） 和应力圆上点的
坐标 （ ?a,?a） 一一对应, 因此可通过确定应力圆上
相应点的坐标来求斜截面上应力 （ ?a,?a） 。
因为圆心一定在 ?轴上, 只要知道应力圆上的两
点 （ 即单元体两个面上的应力 ）, 即可确定应力圆 。
?
?
O
C
2
2
2 x
yx ??? ???
?
?
???
? ?
2 yx
?? ?
),( aa ??
2
2
2 x
yx ??? ?
???
?
???
? ?
1）应力图的画法
? ?xxD ??,1
? ?yyD ??,2
已知 ?x,?y,?x,?y，
如右图，假定 ?x>?y。
? 在 ?,?坐标系内按比例尺确定两点：
?
?
? ?xxD ??,1
? ?yyD ??,2
da
b c
e
f
a ?x
?y
?x
x
n
?x
?x
?y
?y ?y
y
? 以 C为圆心，线段 CD1或 CD2为半径作圆，即为应
力圆。
? 连接 D1,D2两点，线段 D1D2与 ?轴交于 C点。
?
?
? ?xxD ??,1
? ?yyD ??,2
C
?
?
? ?xxD ??,1
? ?yyD ??,2
C
2）证明
对下图所示应力圆可见 C点的
横坐标为：
? 从 D1点按斜截面角 a的转向转
动 2a得到 E点, 该点的坐标值
即为斜截面上的应力分量值 。
?
?
? ?xxD ??,1
? ?yyD ??,2
C
2a
E
?
O
?
C
?2
F A1B1
B2A2
D1
D2
E
?x
?y
?y
?x
?1
2a0
CBOBOC 22 ??
由于
CBDCBD 1122 ???
可得：
CBCB 12 ?
222/212
yxyx
yBBOBOC
????? ???????
因此,C点坐标为应力圆圆心坐标，并且
2
2
2
11
2
21
1 22 x
yxDBBBCD ??? ?
??
?
?
??
?
? ?
????
?
?
??
?
?
?
该线段长度等于应力圆半径。 从而证明上述圆
确为应力圆。
则：
另外,E点横坐标为：
a?a?a
??? ????? 2c o s2s i n
2 x
yx
E EF
? ?
aaaa
aa?
2s i n2s i n2c o s2c o s
22c o s
00
0
CECEOC
CEOCCFOCOFE
???
??????
可见,E点坐标值即为 a斜截面上的应力分量值。
a?a?a
????? ?????? 2s i n2c o s
22 x
yxyx
E
即：
同理可得 E点的纵坐标为：
由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量
值一一对应, 因此, 按比例作图, 可通过直接用尺子
量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量, 此即称为
图解法 。
解：按一定比例画出应力圆。
0M P a7.63 ??x?
0?y?
MP a7.35???? yx ??
例 7-2 用图解法求图示 a =?30° 斜截面上的应力值。
因为图示应力状态有：
x30°
?x=35.7MPa
?x=63.7MPa
y
n
按一定比例, 作出应
力圆, 并找到斜截面对应
的点, 量取其坐标可得：
MP a1730 ?? ??
M P a4630 ??? ??
? ?7.357.63 ?，xD
? ?7.35 0，yD
则 x,y截面在应力圆上两点为：
E
?
Dy(0,35.7)
Dx(63.7,-35.7)
60°
?
-30°?? -30°,? )
20MPa
圆上一点，体上一面；
圆上半径，体上法线；
转向一致，数量一半；
直径两端，垂直两面。
应力圆和单元体的对应关系
3、主平面和主应力
对图 a所示应力状态，作出应力圆（图 b）。
?1
a0
?1
?2
?2
? ?0,m a x1 ?A
? ?0,m in2 ?A
主平面：剪应力 ?=0的平面；
主应力：主平面上的正应力。
321 ??? ??
321 ??? ??
可证明：
并规定：
可见：
?x
? y
(a)
?
?
O
Dy
Dx
C
A2 A12a0
(b)；； 2211 ?? ?? OAOA 03 ??
具体值可在应力圆上量取，即：
主平面位置,图 a中 ?1主平面的方位角 a0对应于应力
圆 （ 图 b） 上的圆心角 2a0。
主应力值和主应力平面的计算：
由图 b可见,A1,A2两点的横坐标为：
11 CAOCOA ??
22 CAOCOA ??
yx
x
CB
BD
??
?a
?
???? 22t a n
1
11
0
???02atg
2
2
1 22 x
yxyx ?????? ?
??
?
?
??
?
? ?
?
?
?
2
2
2 22 x
yxyx ?????? ?
??
?
?
??
?
? ?
?
?
?
由此可得两个主应力值为：
因为 ?1主平面方位角的两倍 对应于应力圆上 2a0,而
?
??
02t a n a
IV象限。
?
??
02ta n a ?
??
02ta n a
?
??
02ta n a
注意,2a0的值与其所在的象限有关, 而其所在象限
与计算式中分子, 分母的正负有关, 即：
I象限； II象限；
III象限；
所以, ?1主平面方位角 a0为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
yx
x
??
?a 2a r c t a n
2
1
0
例 7-3 求图 a所示应力状态的主应力及方向。
M P a100?x?
M P a40??x?
MP a30??y?
M P a40?y?
? ?40,1 0 0 ?xD
? ?40,30?yD
解,1、应力圆图解法：
因为：
所以：
按一定比例作出应力圆（图 b）。
y
?x
30MPa
100MPa
=40MPa x
(a)?
Dx
D
y
A3 A12a0
?
(b)
M P a403 ???M P a1 1 01 ?? 02 ??
'16302 0 ??a
'8150 ??a
由应力圆通过直接量取, 并考虑主应力的大
小关系可得：
由此可得：
主应力单元体以及主平面的方位如图 c所示：
?1
? a0
?1
y
x
(c)
2、解析法,
MP a110
22
2
2
1 ????
?
?
??
?
? ?
?
?
? xyxyx ?
????
?
M P a40
22
2
2
3 ?????
?
?
??
?
? ?
?
?
? xyxyx ?
????
?
? ?
? ? 13
8
301 0 0
40222t an
0 ???
????
?
??
yx
x
??
?a
'16302 0 ??a
02 ??
'8150 ??a
所以,?
练习题,计算图示应力状态的主应
力和主平面的位置。
70 MPa
10 MPa
40 MPa
作业,7-1(b),(d); 7-8(b),(d); 7-9(b),(d)
构件内一点处各截面方向上的应力的情况, 称
为该点的应力状态 。 可由围绕该点的一个单元体面
上的应力表示 。
§ 7-1 概 述
1,一点处的应力状态
目的,通过应力状态分析求出该点处的 ?max,?max及
其作用面, 从而更好地进行强度分析 。
单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的
性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上
的应力 。
单元体如何取？
在研究点的周围, 取一个由三对互相垂直的平
面构成的六面体, 该六面体的边长分别为无穷小量
dx,dy和 dz,如下图所示 。
dy
dz
dx
z
x
y
对单轴或纯剪切应力状态, 可由实验测得的相
应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件 。
2,强度理论
而当一点处的应力状态较为复杂时, 因应力的组
合形式有无限多的可能性, 不可能由实验的方法来确
定每一应力组合下材料的极限应力, 因此需确定引起
材料破坏的共同因素 。
关于材料破坏的共同因素 （ 即破坏规律 ） 的假说,
即称为 强度理论 。 可根据强度理论来建立强度条件 。
?zx
例 1 画出下列图中的 A,B,C点的已知单元体。
PP A
A
?x?x
M
P
x
y
z
B
C
?x?x B
?xz C
?xy
?yx
§ 7-2 平面应力状态分析 ?主应力
对图 a所示悬臂梁上 A点处单元体上的应力分
布 （ 图 b） 可见：有一对平面上的应力等于零, 而
不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内 。
??
?
?
?
?A
F
(a)
a d
cb
A
a'
b'
d'
c'
(b)
a d
cb
A
?
?
?
?
??
该应力状态则称为平面
应力状态, 其单元体可简化
为左图所示情形 。
1,斜截面上的应力
已知如下图 a（或图 b）所示的一平面应力状态：
e
f
a
n
x
y
z
a
b c
d
?x
?y
(a)
?x
?y
?y
?y
?x
?x
da
b c
?x
?y
?x
x
(b)
?x
?x
?y
?y ?y
y
可由截面法求与前, 后两平面垂直的斜截面 上
应力 。 如图 b所示, 斜截面 ef的外法线与 x轴间的夹角
为 a,称为 a截面 。
应力的正负和斜截面夹角的正负规定：
1） 正应力 ?拉为正, 压为负；
2） 切应力 ?使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反
之为负；
3） 对 a角, x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法
线重合时, 其值为正；反之为负 。
取图 c所示分离体进行分析。图 c中所示斜截面
上应力和斜截面夹角均为正。
e
fb
?y
?x
?a
?a(c)
?x
?y
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? ? ? ? 0c o ss i nds i ns i nd
s i nc o sdc o sc o sdd
???
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aa?aa?
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AA
AAA
yy
xx
由图 d所示体元上各面上的力的平衡, 参考法
线 n和切线 t方向可得：
?
n
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(d)
b f
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?xdAcosa
e ?
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由此可得，任一斜截面上的应力分量为：
? ? 0t
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c osc osds i nc osdd
???
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aa?aa?
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AA
AAA
yy
xx
?
其中 dA为斜截面 ef的面积。
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解,C点应力状态如图 b所示，其拉应力和切应力为：
M P a7.63
100
4
π
10500
2
3
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?
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A
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例 7-1 图示圆轴中, 已知：圆轴直径 d=100mm,轴向
拉 力 F=500kN,外力矩 Me=7kN·m。 求 C点 a =?30°
截面上的应力 。
(b)
C x?
x
?x?x
?x
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y
(a)
x
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M P a9.16
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0
2
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M P a4.452c o s2s i n2 030 ?????? a?a?? xx?
图示斜截面上应力分量为：
M P a7.35
1 0 0
16
π
107
3
6
P
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???
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x
?x?x
?x
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y
30°
n
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-30
-30°
°
2、应力圆
由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：
a?a????? a 2s i n2c o s22 xyxyx ?????
a?a??? a 2c o s2s i n2 xyx ???
两式两边平方后求和可得：
2
2
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2
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?
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?
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而圆方程为,? ? ? ?
222 Rbyax ????
可见前式实际上表示了在 ?为水平轴, ?为垂直
轴的坐标系下的一个圆, 其圆心坐标为：
???
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2
yx ??
半径为：
2
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?
? ?
?
如下图。
单元体斜截面上应力 （ ?a,?a） 和应力圆上点的
坐标 （ ?a,?a） 一一对应, 因此可通过确定应力圆上
相应点的坐标来求斜截面上应力 （ ?a,?a） 。
因为圆心一定在 ?轴上, 只要知道应力圆上的两
点 （ 即单元体两个面上的应力 ）, 即可确定应力圆 。
?
?
O
C
2
2
2 x
yx ??? ???
?
?
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2 yx
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),( aa ??
2
2
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yx ??? ?
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1）应力图的画法
? ?xxD ??,1
? ?yyD ??,2
已知 ?x,?y,?x,?y，
如右图，假定 ?x>?y。
? 在 ?,?坐标系内按比例尺确定两点：
?
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? ?xxD ??,1
? ?yyD ??,2
da
b c
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f
a ?x
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x
n
?x
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y
? 以 C为圆心，线段 CD1或 CD2为半径作圆，即为应
力圆。
? 连接 D1,D2两点，线段 D1D2与 ?轴交于 C点。
?
?
? ?xxD ??,1
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C
?
?
? ?xxD ??,1
? ?yyD ??,2
C
2）证明
对下图所示应力圆可见 C点的
横坐标为：
? 从 D1点按斜截面角 a的转向转
动 2a得到 E点, 该点的坐标值
即为斜截面上的应力分量值 。
?
?
? ?xxD ??,1
? ?yyD ??,2
C
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E
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C
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由于
CBDCBD 1122 ???
可得：
CBCB 12 ?
222/212
yxyx
yBBOBOC
????? ???????
因此,C点坐标为应力圆圆心坐标，并且
2
2
2
11
2
21
1 22 x
yxDBBBCD ??? ?
??
?
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该线段长度等于应力圆半径。 从而证明上述圆
确为应力圆。
则：
另外,E点横坐标为：
a?a?a
??? ????? 2c o s2s i n
2 x
yx
E EF
? ?
aaaa
aa?
2s i n2s i n2c o s2c o s
22c o s
00
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CECEOC
CEOCCFOCOFE
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可见,E点坐标值即为 a斜截面上的应力分量值。
a?a?a
????? ?????? 2s i n2c o s
22 x
yxyx
E
即：
同理可得 E点的纵坐标为：
由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量
值一一对应, 因此, 按比例作图, 可通过直接用尺子
量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量, 此即称为
图解法 。
解：按一定比例画出应力圆。
0M P a7.63 ??x?
0?y?
MP a7.35???? yx ??
例 7-2 用图解法求图示 a =?30° 斜截面上的应力值。
因为图示应力状态有：
x30°
?x=35.7MPa
?x=63.7MPa
y
n
按一定比例, 作出应
力圆, 并找到斜截面对应
的点, 量取其坐标可得：
MP a1730 ?? ??
M P a4630 ??? ??
? ?7.357.63 ?，xD
? ?7.35 0，yD
则 x,y截面在应力圆上两点为：
E
?
Dy(0,35.7)
Dx(63.7,-35.7)
60°
?
-30°?? -30°,? )
20MPa
圆上一点，体上一面；
圆上半径，体上法线；
转向一致，数量一半；
直径两端，垂直两面。
应力圆和单元体的对应关系
3、主平面和主应力
对图 a所示应力状态，作出应力圆（图 b）。
?1
a0
?1
?2
?2
? ?0,m a x1 ?A
? ?0,m in2 ?A
主平面：剪应力 ?=0的平面；
主应力：主平面上的正应力。
321 ??? ??
321 ??? ??
可证明：
并规定：
可见：
?x
? y
(a)
?
?
O
Dy
Dx
C
A2 A12a0
(b)；； 2211 ?? ?? OAOA 03 ??
具体值可在应力圆上量取，即：
主平面位置,图 a中 ?1主平面的方位角 a0对应于应力
圆 （ 图 b） 上的圆心角 2a0。
主应力值和主应力平面的计算：
由图 b可见,A1,A2两点的横坐标为：
11 CAOCOA ??
22 CAOCOA ??
yx
x
CB
BD
??
?a
?
???? 22t a n
1
11
0
???02atg
2
2
1 22 x
yxyx ?????? ?
??
?
?
??
?
? ?
?
?
?
2
2
2 22 x
yxyx ?????? ?
??
?
?
??
?
? ?
?
?
?
由此可得两个主应力值为：
因为 ?1主平面方位角的两倍 对应于应力圆上 2a0,而
?
??
02t a n a
IV象限。
?
??
02ta n a ?
??
02ta n a
?
??
02ta n a
注意,2a0的值与其所在的象限有关, 而其所在象限
与计算式中分子, 分母的正负有关, 即：
I象限； II象限；
III象限；
所以, ?1主平面方位角 a0为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
yx
x
??
?a 2a r c t a n
2
1
0
例 7-3 求图 a所示应力状态的主应力及方向。
M P a100?x?
M P a40??x?
MP a30??y?
M P a40?y?
? ?40,1 0 0 ?xD
? ?40,30?yD
解,1、应力圆图解法：
因为：
所以：
按一定比例作出应力圆（图 b）。
y
?x
30MPa
100MPa
=40MPa x
(a)?
Dx
D
y
A3 A12a0
?
(b)
M P a403 ???M P a1 1 01 ?? 02 ??
'16302 0 ??a
'8150 ??a
由应力圆通过直接量取, 并考虑主应力的大
小关系可得：
由此可得：
主应力单元体以及主平面的方位如图 c所示：
?1
? a0
?1
y
x
(c)
2、解析法,
MP a110
22
2
2
1 ????
?
?
??
?
? ?
?
?
? xyxyx ?
????
?
M P a40
22
2
2
3 ?????
?
?
??
?
? ?
?
?
? xyxyx ?
????
?
? ?
? ? 13
8
301 0 0
40222t an
0 ???
????
?
??
yx
x
??
?a
'16302 0 ??a
02 ??
'8150 ??a
所以,?
练习题,计算图示应力状态的主应
力和主平面的位置。
70 MPa
10 MPa
40 MPa
作业,7-1(b),(d); 7-8(b),(d); 7-9(b),(d)
