§ 14-1 惯性力 ·质点的达朗贝尔原理
NFFam
??? ??
0??? amFF N ???
令
amF I ?? ??
惯性力
有
0??? IN FFF ???
质点的达朗贝尔原理,作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系,
例 14-1 用达朗贝尔原理求解例 10-3
已知, ?60,m3.0,kg1.0 ??? ?lm
求,
.,TFv ??
14-2.swf
解, 2
s in
n
In
vF m a m
l ?
??
0??? IT FFgm ???
0c o s,0 1 ???? mgFF b ?
? ??? 0s in,0 nITn FFF ?
解得 N96.1
c o s ?? ?
mgF
T
sm1.2
s in 2 ??
m
lFv T ?
§ 14-2 质点系的达朗贝尔原理
记
)(e
iF
? 为作用于第 i个质点上外力的合力,
)(i
iF
? 为作用于第 i个质点上内力的合力,
则有
? ? ? ?
? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
?
?
?
?
???
???
? ? ?
? ??
0
0
000 Ii
i
i
e
i
Ii
i
i
e
i
FMFMFM
FFF
??????
???
niFFF IiNii,,2,10 ???? ????
质点系的达朗贝尔原理,质点系中每个质点上作用的主动
力,约束和它的惯性力在形式上组成平衡力系,
因 ? ? ? ?? ?? ?
??,0,0 0 iiii FMF ???
有 ? ?
? ?? ? ? ?
? ?
??
??
??
0
0
00 Ii
e
i
Ii
e
i
FMFM
FF
???
??
也称为质点系的达朗贝尔原理,作用在
质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯
性力在形式上组成平衡力系,
例 14-2 如图所示,定滑轮的半径为 r,质量为 m均匀分布
在轮缘上,绕水平轴 Ｏ 转动,垮过滑轮的无重绳的两端挂有质
量为 m1和 m2的重物 (m１ >m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦忽略
不计,求重物的加速度,
14-3.swf
解,
amFamF II 2211,??
,amrmF iitIi ?? ?
? ?? ? ?????? 0,0 2211 armramgmamgmM iO
由 ? ?? ? ?? ma rarmarm
ii
解得
g
mmm
mma
??
??
21
21
r
vmF
i
n
Ii
2
?
例 14-3飞轮质量为 m,半径为 Ｒ,以匀角速度 定轴转动，
设轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力的影
响,
?
求,轮缘横载面的张力,
解,
2
2 ???? RRR
mamF
i
n
iiIi ??
0c o s,0 ???? ? AIix FFF ?
? ? ??? 0s in,0 BIiy FFF ?
令,0?
i??
?
????
?
?
2
mRR
2
mF 222
0A
?? ? dc o s
?
????
?
?
2
mRR
2
mF 222
0B
?? ? ds in
§ 14-3 刚体惯性力系的简化
１ 刚体平移
惯性力系向质心简化,
只简化为一个力
CIR amF
?? ??
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。
其方向与平移加速度的方向相反，大小等于刚体质
量与加速度的乘积 。
如果刚体有对称平面 S，并且该平面与转轴 z垂直，则
惯性力系简化为在对称面内的平面力系。
惯性力系向转轴上简化
)( nτIR CCC mm aaaF ?＝－＝－
主矢
对称平面的刚体绕垂直于该平面的轴转动时，惯性力
系简化为在平面内的一个力和一个力偶。
2 刚体定轴转动（具有质量对称面）
主矩：
?zIzIO JMM ???
具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转
动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到一个合
力和一个合力偶。
合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚
体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速
度方向相反。
合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等
于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方
向与角加速度方向相反。
如果刚体有对称面 S，它与转轴垂直，交点 O恰好是刚体的
质心，则,惯性力系简化为一个力偶，力偶
的作用平面为对称面。
0,0 RI ?? Fa C
结论
３ 刚体作平面运动（平行于质量对称面）
惯性力系向质心简化
I c C
I R C
MJ
F m a
???
??
刚体惯性力系的简化结果
? 刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关
Cm aF ＝－IR
1、平移
2、定轴转动
)( nτIR CCC mm aaaF ?＝－＝－
3、平面运动
Cm aF ＝－IR
? 惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。
1、平移 0
I ＝CM
2、定轴转动
?OO JM ＝－I
3、平面运动 ?
CC JM ＝－I
刚体惯性力系的简化结果
３ 刚体作平面运动（平行于质量对称面）
惯性力系向质心简化
I c C
I R C
MJ
F m a
???
??
例 14-4 如图所示均质杆的质量为 m,长为 l,绕定轴 O转
动的角速度为,角加速度为,? ?
求,惯性力系向点 Ｏ 简化的结果
(方向在图上画出 ).
8d.swf
解,
?
2
lmF t
IO ?
2
2
?lmF nIO ?
?231 mlM IO ?
例 14-5如图所示,电动机定子及其外壳总质量为 m1,质心
位于 O 处,转子的质量为 m2,质心位于 Ｃ 处,偏心矩 ＯＣ＝ e,
图示平面为转子的质量对称面,电动机用地角螺钉固定于水平
基础上,转 O与水平基础间的距离为 h.运动开始时,转子质心 Ｃ
位于最低位置,转子以匀角速度 转动,?
求,基础与地角螺钉给电动机总的约束力,
14-09.swf
解, 2?meF
I ?
0s in,0 ???? ?Ixx FFF
? ???? 0s ins in,0 12 ?? hFgemMM A
因 得,t?? ?
temF x ?? s in22 ???
? ? temgmmF y ?? c o s2221 ???
themtgemM ??? s ins in 222 ??
0c o s)(,0 121 ?????? ?FgmmFF yy
例 14-6 如图所示,电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在
支座上,绞车与梁共重为 P.绞盘半径为 R,与电机转子固结在一
起,转动惯量为 J,质心位于 O 处,绞车以加速度 a提升质量为 m
的重物,其它尺寸如图,
已知,,,,,,maJRP
求,支座 A,B受到的附加约束力,
14-10-2.swf
解, maF
I ?
解得,
??
?
??
?
?
?
??
?
? ???
?
?
R
JmlaPlm g l
ll
F A 232
21
1
R
aJJM
0I ?? ?
? ?? ??????? 00 21322 llFMPllFm g lM AIOB
00 ??????? IBAy FPmgFFF
? ? ?
?
?
??
? ?
?
??
?
? ?????
?? R
JmlalllPm g l
llF B 1321121
1
上式中前两项为静约束力,附加约束力为
?
?
??
?
? ?
?
??
R
Jml
ll
aF
A 2
21
?
?
??
?
? ?
?
??
R
Jml
ll
aF
B 1
21
例 14-7 已知,均质圆盘,,Rm
1
均质杆,,
2mR2l ?纯滚动,
求,F 多大,能使杆 B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?
14-11.swf
解得
gmmF 3
2
3
21 ??
??
?
? ??
得
R
aRmMamF
AA
2
1I1I 2
1,??
030c o s30s in0 2III ??????? ?? gRmRFMRFFRM CAAD
解,刚好离开地面时,地面约束力为零,
? ??? 030c o s30s in0 22 ?? gRmaRmM A
ga 3?
得
gmF s 1
2
3?
解得
? ?21
1
2
3
mm
m
F
F
f
N
s
s ???
? ? gmmfFfF sNss 21 ???由
? ?? ????? 00 21 ammFFF sx
? ????? 00 xIxRxBxAx FFFFF
§ 14-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
? ????? 00 yIyRyByAy FFFFF
? ??? 00 zRBzz FFF
? ????? 00 xIxyAyBx MMOAFOBFM
00 ?????? yIyBxAxy MMOBFOAFM
解得 ? ? ? ?? ?
OBMMOBFMABF IxIxRxyAx ???? 1
? ? ? ?? ?OBFMOBFMABF IyIxRyxAy ???? 1
? ? ? ?? ?OAFMOAFM
AB
1F
IxIxRxyBx ????
? ? ? ?? ?OAFMOAFM
AB
F IyIxRyxBy ????? 1
RzBz FF ??
0,0 ???? IyIxIyIx MMFF
即,
0
0
0
0
2
2
???
???
???
???
??
??
xzyzIy
yzxzIx
CyIy
CxIx
JJM
JJM
maF
maF
必有 0?
Ca
?
0?? yzxz JJ
通过质心的惯性主轴称为 中心惯性主轴
因此,避免出现轴承动约束力的条件是,
刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴,
引起的轴承约束力称动约束力,由
IOIR MF
??,
称满足 的轴 z为 惯性主轴0??
yzxz JJ
动约束力为零的条件为,
例 14-8 如图所示,轮盘 (连同轴 )的质量,kg20?m
转轴 AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心
距 当轮盘以均转速 转动时,
.mm1.0?e r12000 m inn ?
求,轴承 A,B的约束力
解,
2
2
2
n 158ea s
m
s
1
30
1 2 0 0 0 πm
1 0 0 0
0, 1 ??
?
??
?
??? ?
3 1 6 0 NnInF m a??
? ?nINBNA FmgFF ??? 21
? ? 1680NN31609,82021 ????
作业
NFFam
??? ??
0??? amFF N ???
令
amF I ?? ??
惯性力
有
0??? IN FFF ???
质点的达朗贝尔原理,作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系,
例 14-1 用达朗贝尔原理求解例 10-3
已知, ?60,m3.0,kg1.0 ??? ?lm
求,
.,TFv ??
14-2.swf
解, 2
s in
n
In
vF m a m
l ?
??
0??? IT FFgm ???
0c o s,0 1 ???? mgFF b ?
? ??? 0s in,0 nITn FFF ?
解得 N96.1
c o s ?? ?
mgF
T
sm1.2
s in 2 ??
m
lFv T ?
§ 14-2 质点系的达朗贝尔原理
记
)(e
iF
? 为作用于第 i个质点上外力的合力,
)(i
iF
? 为作用于第 i个质点上内力的合力,
则有
? ? ? ?
? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
?
?
?
?
???
???
? ? ?
? ??
0
0
000 Ii
i
i
e
i
Ii
i
i
e
i
FMFMFM
FFF
??????
???
niFFF IiNii,,2,10 ???? ????
质点系的达朗贝尔原理,质点系中每个质点上作用的主动
力,约束和它的惯性力在形式上组成平衡力系,
因 ? ? ? ?? ?? ?
??,0,0 0 iiii FMF ???
有 ? ?
? ?? ? ? ?
? ?
??
??
??
0
0
00 Ii
e
i
Ii
e
i
FMFM
FF
???
??
也称为质点系的达朗贝尔原理,作用在
质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯
性力在形式上组成平衡力系,
例 14-2 如图所示,定滑轮的半径为 r,质量为 m均匀分布
在轮缘上,绕水平轴 Ｏ 转动,垮过滑轮的无重绳的两端挂有质
量为 m1和 m2的重物 (m１ >m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦忽略
不计,求重物的加速度,
14-3.swf
解,
amFamF II 2211,??
,amrmF iitIi ?? ?
? ?? ? ?????? 0,0 2211 armramgmamgmM iO
由 ? ?? ? ?? ma rarmarm
ii
解得
g
mmm
mma
??
??
21
21
r
vmF
i
n
Ii
2
?
例 14-3飞轮质量为 m,半径为 Ｒ,以匀角速度 定轴转动，
设轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力的影
响,
?
求,轮缘横载面的张力,
解,
2
2 ???? RRR
mamF
i
n
iiIi ??
0c o s,0 ???? ? AIix FFF ?
? ? ??? 0s in,0 BIiy FFF ?
令,0?
i??
?
????
?
?
2
mRR
2
mF 222
0A
?? ? dc o s
?
????
?
?
2
mRR
2
mF 222
0B
?? ? ds in
§ 14-3 刚体惯性力系的简化
１ 刚体平移
惯性力系向质心简化,
只简化为一个力
CIR amF
?? ??
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。
其方向与平移加速度的方向相反，大小等于刚体质
量与加速度的乘积 。
如果刚体有对称平面 S，并且该平面与转轴 z垂直，则
惯性力系简化为在对称面内的平面力系。
惯性力系向转轴上简化
)( nτIR CCC mm aaaF ?＝－＝－
主矢
对称平面的刚体绕垂直于该平面的轴转动时，惯性力
系简化为在平面内的一个力和一个力偶。
2 刚体定轴转动（具有质量对称面）
主矩：
?zIzIO JMM ???
具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转
动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到一个合
力和一个合力偶。
合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚
体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速
度方向相反。
合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等
于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方
向与角加速度方向相反。
如果刚体有对称面 S，它与转轴垂直，交点 O恰好是刚体的
质心，则,惯性力系简化为一个力偶，力偶
的作用平面为对称面。
0,0 RI ?? Fa C
结论
３ 刚体作平面运动（平行于质量对称面）
惯性力系向质心简化
I c C
I R C
MJ
F m a
???
??
刚体惯性力系的简化结果
? 刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关
Cm aF ＝－IR
1、平移
2、定轴转动
)( nτIR CCC mm aaaF ?＝－＝－
3、平面运动
Cm aF ＝－IR
? 惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。
1、平移 0
I ＝CM
2、定轴转动
?OO JM ＝－I
3、平面运动 ?
CC JM ＝－I
刚体惯性力系的简化结果
３ 刚体作平面运动（平行于质量对称面）
惯性力系向质心简化
I c C
I R C
MJ
F m a
???
??
例 14-4 如图所示均质杆的质量为 m,长为 l,绕定轴 O转
动的角速度为,角加速度为,? ?
求,惯性力系向点 Ｏ 简化的结果
(方向在图上画出 ).
8d.swf
解,
?
2
lmF t
IO ?
2
2
?lmF nIO ?
?231 mlM IO ?
例 14-5如图所示,电动机定子及其外壳总质量为 m1,质心
位于 O 处,转子的质量为 m2,质心位于 Ｃ 处,偏心矩 ＯＣ＝ e,
图示平面为转子的质量对称面,电动机用地角螺钉固定于水平
基础上,转 O与水平基础间的距离为 h.运动开始时,转子质心 Ｃ
位于最低位置,转子以匀角速度 转动,?
求,基础与地角螺钉给电动机总的约束力,
14-09.swf
解, 2?meF
I ?
0s in,0 ???? ?Ixx FFF
? ???? 0s ins in,0 12 ?? hFgemMM A
因 得,t?? ?
temF x ?? s in22 ???
? ? temgmmF y ?? c o s2221 ???
themtgemM ??? s ins in 222 ??
0c o s)(,0 121 ?????? ?FgmmFF yy
例 14-6 如图所示,电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在
支座上,绞车与梁共重为 P.绞盘半径为 R,与电机转子固结在一
起,转动惯量为 J,质心位于 O 处,绞车以加速度 a提升质量为 m
的重物,其它尺寸如图,
已知,,,,,,maJRP
求,支座 A,B受到的附加约束力,
14-10-2.swf
解, maF
I ?
解得,
??
?
??
?
?
?
??
?
? ???
?
?
R
JmlaPlm g l
ll
F A 232
21
1
R
aJJM
0I ?? ?
? ?? ??????? 00 21322 llFMPllFm g lM AIOB
00 ??????? IBAy FPmgFFF
? ? ?
?
?
??
? ?
?
??
?
? ?????
?? R
JmlalllPm g l
llF B 1321121
1
上式中前两项为静约束力,附加约束力为
?
?
??
?
? ?
?
??
R
Jml
ll
aF
A 2
21
?
?
??
?
? ?
?
??
R
Jml
ll
aF
B 1
21
例 14-7 已知,均质圆盘,,Rm
1
均质杆,,
2mR2l ?纯滚动,
求,F 多大,能使杆 B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?
14-11.swf
解得
gmmF 3
2
3
21 ??
??
?
? ??
得
R
aRmMamF
AA
2
1I1I 2
1,??
030c o s30s in0 2III ??????? ?? gRmRFMRFFRM CAAD
解,刚好离开地面时,地面约束力为零,
? ??? 030c o s30s in0 22 ?? gRmaRmM A
ga 3?
得
gmF s 1
2
3?
解得
? ?21
1
2
3
mm
m
F
F
f
N
s
s ???
? ? gmmfFfF sNss 21 ???由
? ?? ????? 00 21 ammFFF sx
? ????? 00 xIxRxBxAx FFFFF
§ 14-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
? ????? 00 yIyRyByAy FFFFF
? ??? 00 zRBzz FFF
? ????? 00 xIxyAyBx MMOAFOBFM
00 ?????? yIyBxAxy MMOBFOAFM
解得 ? ? ? ?? ?
OBMMOBFMABF IxIxRxyAx ???? 1
? ? ? ?? ?OBFMOBFMABF IyIxRyxAy ???? 1
? ? ? ?? ?OAFMOAFM
AB
1F
IxIxRxyBx ????
? ? ? ?? ?OAFMOAFM
AB
F IyIxRyxBy ????? 1
RzBz FF ??
0,0 ???? IyIxIyIx MMFF
即,
0
0
0
0
2
2
???
???
???
???
??
??
xzyzIy
yzxzIx
CyIy
CxIx
JJM
JJM
maF
maF
必有 0?
Ca
?
0?? yzxz JJ
通过质心的惯性主轴称为 中心惯性主轴
因此,避免出现轴承动约束力的条件是,
刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴,
引起的轴承约束力称动约束力,由
IOIR MF
??,
称满足 的轴 z为 惯性主轴0??
yzxz JJ
动约束力为零的条件为,
例 14-8 如图所示,轮盘 (连同轴 )的质量,kg20?m
转轴 AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心
距 当轮盘以均转速 转动时,
.mm1.0?e r12000 m inn ?
求,轴承 A,B的约束力
解,
2
2
2
n 158ea s
m
s
1
30
1 2 0 0 0 πm
1 0 0 0
0, 1 ??
?
??
?
??? ?
3 1 6 0 NnInF m a??
? ?nINBNA FmgFF ??? 21
? ? 1680NN31609,82021 ????
作业
