第十章 动载荷
实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不
超过比例极限，胡克定律仍然适用。
构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。
§ 10-1 概述
静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保
持不变。这时，构件内各点的加速度很小，可
以忽略不计。
在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。
一、构件做等加速直线运动
图示梁上有一个吊车
，现在问 5个问题
1,物体离开地面，静止地由绳索吊挂
2,物体匀速地向上提升
3,物体以加速度 a向上提升
4,物体匀速地向上提升中改为以加速
度 a匀减速
5,物体以匀速向下中改为以加速度 a匀
减速
求这 5种情况下的绳索与梁应力
§ 10-1动静法的应用
1,物体离开地面，静止地由绳索吊挂
Q
Q
4
)( lQPM ??
QP?
lP
Q
A
Q
st ??
绳子：
? 与第一个问题等价
2,物体匀速地向上提升
或者说，按达郎伯原理（动
静法）：质点上所有力同惯
性力形成平衡。
惯性力大小为 ma，方向与加
速度 a相反
? 按牛顿第二定律
0??? a
g
QQF
Nd
QkgaQF dNd ??? )1(
)1( gak d ??
3,物体以加速度 a向上提升
Q
a
NdF
? 梁的应力为
? 绳子动载应力 (动载荷下应力 )为,
std
d
d kW
M ?? ??
stdd
Nd
d kA
Qk
A
F ?? ???
lQkPM dd 4??
QkP d?
动应力
0??? Qa
g
QF
Nd
4,物体匀速地向上提升中
改为以加速度 a匀减速
QgaF Nd )1( ??
Q
a
NdF
)1( gak d ??
5,物体以匀速向下中改为以加速度 a匀减速
0)( ??? Qa
g
QF
Nd
QgaF Nd )1( ??
Q
a
NdF
)1( gak d ??
吊笼重量为 Q；钢索横截面面
积为 A，单位体积的重量为 。求
吊索任意截面上的应力。
?
CL14TU1
Nst Nd
? Ax
?
?
A x
A x
g
a?
Q
Q
g
a?
Q
a
g
QQa
g
xAxAF
Nd ????
??
动荷系数
? ? ? ?? ? ? ?Q A x Q A x a
g
? ?
? ?? ? ??
?
?
?
?
?Q A x
a
g
? 1 ??
?
?
???
?
??
g
aF
st 1
引入记号 K a
gd
? ?1
stdNd FKF ??则, ? ?d d stK? ?
二、构件作等速转动时的应力计算
薄壁圆环，平均直径为 D，横截面面积为
A，材料单位体积的重量为 γ,以匀角速度 ω
转动。
?
CL14TU2
q A
g
D A D
gd
? ?? ? ? ?
2 2
2 2
NdNd FF
2
DqF d
Nd ? A
F Nd
d ??? A D
g
? ?2 2
4
? ? ?D
g
2 2
4
? ? v
g
2
强度条件,?
?
?d
v
g
? ?
2
[ ]
从上式可以看出，环内应力仅与 γ 和 v有
关，而与 A无关。所以，要保证圆环的强度，
应限制圆环的速度。增加截面面积 A，并不能
改善圆环的强度。
§ 10-3 冲击应力计算
CL14TU5
冲击时，冲击物在极短的时
间间隔内速度发生很大的变化，
其加速度 a很难测出，无法计算
惯性力，故无法使用动静法。在
实用计算中，一般采用能量法。
CL14TU6
现考虑重为 Q的重物从距弹
簧顶端为 h 处自由下落，在计算
时作如下假设,
1,冲击物视为刚体，不考虑其变形 ;
2.被冲击物的质量远小于冲击物的
质量，可忽略不计 ;
3.冲击后冲击物与被冲击物附着在
一起运动 ;
4.不考虑冲击时热能的损失，即认
为只有系统动能与势能的转化。 CL14TU6
?d
h
重物 Q从高度为 h 处自由落下，冲击到弹
簧顶面上，然后随弹簧一起向下运动。当重物
Q的速度逐渐降低到零时，弹簧的变形达到最
大值 Δd，与之相应的冲击载荷即为 Pd。
T V U d? ?
根据能量守恒定律可知，冲击物所减少的
动能 T和势能 V，应全部转换为弹簧的变形能
Ud,即
T ? 0 V Q h d? ?( )?
ddd FU ?? 2
1
ddd FhQ ???? 2
1)(
st
dd
Q
F
?
?? QF
st
d
d ?
???
Q h Qd d
st
d( )? ??
?
?
?1
2
? ? ? ?d st d sth2 2 2 0? ? ?
?
? ? ?
?
?
d
st st st
st
st
h h
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
2 4 8
2
1 1
22
? ?
?
?d st
st
d st
h
K? ? ?
?
?
?
?
?
? ?1 1
2
其中 K
h
d
st
? ? ?1 1
2
?
动荷系数
stdd
ddd
st
dd
K
QKFK
Q
F
?? ?
??
?
?
? 所以因为
当载荷突然全部加到被冲击物上，即 h=0 时
K
h
d
st
? ? ?1 1
2
?
由此可见,突加载荷的动荷系数是 2，这时所引
起的应力和变形都是静荷应力和变形的 2倍。
?2
若已知冲击开始瞬间冲击物
与被冲击物接触时的速度为 v，
则
h
v
g
?
2
2
K
h
d
st
? ? ?1 1
2
?
? ? ?1 1
2v
g st?
若已知冲击物自高度 h 处以初速
度 下落,则
v v gh2 0 2 2? ?
K
v
g
d
st
? ? ?1 1
2
?
v0
? ? ?
?
1 1
20 2v gh
g st?
当构件受水平方向冲击时
T Q
g
v? 1
2
2
V ? 0
ddd FU ?? 2
1
1
2 2
2 2Q
g
v Q
st
d? ? ? CL14TU7
? 1
2
?
?
?d
st
dQ ?
Q
st
d2
2
?
?
st
dd
Q
F
?
??
?
?
?d
st
st
v
g
? ?
2
动荷系数 K
v
g
d
st
?
2
?
例 10-1：容重为 γ，杆长为ｌ，横截面面
积为Ａ的等直杆，以匀加速度ａ上升，作杆的
轴力图，并求杆内最大动应力。
? Ax
Nd
CL14TU10 ? ? A x
g
a
N A l
a
gd m a x
? ?
?
?
?
?
?
?? 1
N
? A l
a
g
1 ?
?
?
?
?
?
?
解：
N x A x
A x
g
a A x
a
g
d ( ) ? ? ? ?
?
?
?
?
?
??
?
? 1
? ?d d
N
A
l
a
gm a x
m a x? ? ??
?
?
?
?
?1
例 10-2：等截面刚架的抗弯刚度为 EI，
抗弯截面系数为 W，重物 Q自由下落时，求
刚架内的最大正应力（不计轴力）。
CL14TU12
解：
? st Q a
E I
? 4
3
3
K
h
E I h
Q a
d
st
? ? ?
? ? ?
1 1
2
1 1
3
2
3
?
? ?d d stK
E I h
Q a
Q a
Wma x ma x
? ? ? ?
?
?
??
?
?
??1 1 3
2 3
例 10-3：重量为 Q的物体以水平速度ｖ撞
在等截面刚架的端点 C，刚架的 EI已知，试求
动荷系数。
CL14TU13
解：
? st Q a
E I
? 4
3
3
K
v
g
E I v
g Q a
d
st
?
?
2
2
3
3
4
?
例 10-4：重物 Q自由落下冲击在 AB梁的 B点
处，求 B点的挠度。
CL14TU14
解：
? st Q l
E I
Q l
E bh
? ?
3 3
33
4
K
h E b h
Q l
d
st
? ? ? ? ? ?1 1
2
1 1
2
4
3?
v K
E b h
Q l
Q l
E b h
B d d st? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? 1 1 2
44
3
3
3
例 10-5：图示钢杆的下端
有一固定圆盘，盘上放置弹
簧。弹簧在 1kN的静载荷作
用下缩短 0.625mm。钢杆直
径 d=40mm,l =4m，许用应
力 [σ]=120MPa,E=200GPa。
若有重为 15kN的重物自由落
下，求其许可高度 h。
CL14TU15
解：
? st Q lEA? ? ? ? ? ?? ?15 0 625 10 9 62 103 3., m
K hd
st
? ? ?1 1 2
?
?
?
st
Q
A d
? ?
?
?
15 10
4
12
3
2
M P a
? ? ?d d st
st
K
h
h
? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
1 1
2
12 120
0 385
?
[ ]
,m = 3 8 5 m m
实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不
超过比例极限，胡克定律仍然适用。
构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。
§ 10-1 概述
静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保
持不变。这时，构件内各点的加速度很小，可
以忽略不计。
在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。
一、构件做等加速直线运动
图示梁上有一个吊车
，现在问 5个问题
1,物体离开地面，静止地由绳索吊挂
2,物体匀速地向上提升
3,物体以加速度 a向上提升
4,物体匀速地向上提升中改为以加速
度 a匀减速
5,物体以匀速向下中改为以加速度 a匀
减速
求这 5种情况下的绳索与梁应力
§ 10-1动静法的应用
1,物体离开地面，静止地由绳索吊挂
Q
Q
4
)( lQPM ??
QP?
lP
Q
A
Q
st ??
绳子：
? 与第一个问题等价
2,物体匀速地向上提升
或者说，按达郎伯原理（动
静法）：质点上所有力同惯
性力形成平衡。
惯性力大小为 ma，方向与加
速度 a相反
? 按牛顿第二定律
0??? a
g
QQF
Nd
QkgaQF dNd ??? )1(
)1( gak d ??
3,物体以加速度 a向上提升
Q
a
NdF
? 梁的应力为
? 绳子动载应力 (动载荷下应力 )为,
std
d
d kW
M ?? ??
stdd
Nd
d kA
Qk
A
F ?? ???
lQkPM dd 4??
QkP d?
动应力
0??? Qa
g
QF
Nd
4,物体匀速地向上提升中
改为以加速度 a匀减速
QgaF Nd )1( ??
Q
a
NdF
)1( gak d ??
5,物体以匀速向下中改为以加速度 a匀减速
0)( ??? Qa
g
QF
Nd
QgaF Nd )1( ??
Q
a
NdF
)1( gak d ??
吊笼重量为 Q；钢索横截面面
积为 A，单位体积的重量为 。求
吊索任意截面上的应力。
?
CL14TU1
Nst Nd
? Ax
?
?
A x
A x
g
a?
Q
Q
g
a?
Q
a
g
QQa
g
xAxAF
Nd ????
??
动荷系数
? ? ? ?? ? ? ?Q A x Q A x a
g
? ?
? ?? ? ??
?
?
?
?
?Q A x
a
g
? 1 ??
?
?
???
?
??
g
aF
st 1
引入记号 K a
gd
? ?1
stdNd FKF ??则, ? ?d d stK? ?
二、构件作等速转动时的应力计算
薄壁圆环，平均直径为 D，横截面面积为
A，材料单位体积的重量为 γ,以匀角速度 ω
转动。
?
CL14TU2
q A
g
D A D
gd
? ?? ? ? ?
2 2
2 2
NdNd FF
2
DqF d
Nd ? A
F Nd
d ??? A D
g
? ?2 2
4
? ? ?D
g
2 2
4
? ? v
g
2
强度条件,?
?
?d
v
g
? ?
2
[ ]
从上式可以看出，环内应力仅与 γ 和 v有
关，而与 A无关。所以，要保证圆环的强度，
应限制圆环的速度。增加截面面积 A，并不能
改善圆环的强度。
§ 10-3 冲击应力计算
CL14TU5
冲击时，冲击物在极短的时
间间隔内速度发生很大的变化，
其加速度 a很难测出，无法计算
惯性力，故无法使用动静法。在
实用计算中，一般采用能量法。
CL14TU6
现考虑重为 Q的重物从距弹
簧顶端为 h 处自由下落，在计算
时作如下假设,
1,冲击物视为刚体，不考虑其变形 ;
2.被冲击物的质量远小于冲击物的
质量，可忽略不计 ;
3.冲击后冲击物与被冲击物附着在
一起运动 ;
4.不考虑冲击时热能的损失，即认
为只有系统动能与势能的转化。 CL14TU6
?d
h
重物 Q从高度为 h 处自由落下，冲击到弹
簧顶面上，然后随弹簧一起向下运动。当重物
Q的速度逐渐降低到零时，弹簧的变形达到最
大值 Δd，与之相应的冲击载荷即为 Pd。
T V U d? ?
根据能量守恒定律可知，冲击物所减少的
动能 T和势能 V，应全部转换为弹簧的变形能
Ud,即
T ? 0 V Q h d? ?( )?
ddd FU ?? 2
1
ddd FhQ ???? 2
1)(
st
dd
Q
F
?
?? QF
st
d
d ?
???
Q h Qd d
st
d( )? ??
?
?
?1
2
? ? ? ?d st d sth2 2 2 0? ? ?
?
? ? ?
?
?
d
st st st
st
st
h h
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
2 4 8
2
1 1
22
? ?
?
?d st
st
d st
h
K? ? ?
?
?
?
?
?
? ?1 1
2
其中 K
h
d
st
? ? ?1 1
2
?
动荷系数
stdd
ddd
st
dd
K
QKFK
Q
F
?? ?
??
?
?
? 所以因为
当载荷突然全部加到被冲击物上，即 h=0 时
K
h
d
st
? ? ?1 1
2
?
由此可见,突加载荷的动荷系数是 2，这时所引
起的应力和变形都是静荷应力和变形的 2倍。
?2
若已知冲击开始瞬间冲击物
与被冲击物接触时的速度为 v，
则
h
v
g
?
2
2
K
h
d
st
? ? ?1 1
2
?
? ? ?1 1
2v
g st?
若已知冲击物自高度 h 处以初速
度 下落,则
v v gh2 0 2 2? ?
K
v
g
d
st
? ? ?1 1
2
?
v0
? ? ?
?
1 1
20 2v gh
g st?
当构件受水平方向冲击时
T Q
g
v? 1
2
2
V ? 0
ddd FU ?? 2
1
1
2 2
2 2Q
g
v Q
st
d? ? ? CL14TU7
? 1
2
?
?
?d
st
dQ ?
Q
st
d2
2
?
?
st
dd
Q
F
?
??
?
?
?d
st
st
v
g
? ?
2
动荷系数 K
v
g
d
st
?
2
?
例 10-1：容重为 γ，杆长为ｌ，横截面面
积为Ａ的等直杆，以匀加速度ａ上升，作杆的
轴力图，并求杆内最大动应力。
? Ax
Nd
CL14TU10 ? ? A x
g
a
N A l
a
gd m a x
? ?
?
?
?
?
?
?? 1
N
? A l
a
g
1 ?
?
?
?
?
?
?
解：
N x A x
A x
g
a A x
a
g
d ( ) ? ? ? ?
?
?
?
?
?
??
?
? 1
? ?d d
N
A
l
a
gm a x
m a x? ? ??
?
?
?
?
?1
例 10-2：等截面刚架的抗弯刚度为 EI，
抗弯截面系数为 W，重物 Q自由下落时，求
刚架内的最大正应力（不计轴力）。
CL14TU12
解：
? st Q a
E I
? 4
3
3
K
h
E I h
Q a
d
st
? ? ?
? ? ?
1 1
2
1 1
3
2
3
?
? ?d d stK
E I h
Q a
Q a
Wma x ma x
? ? ? ?
?
?
??
?
?
??1 1 3
2 3
例 10-3：重量为 Q的物体以水平速度ｖ撞
在等截面刚架的端点 C，刚架的 EI已知，试求
动荷系数。
CL14TU13
解：
? st Q a
E I
? 4
3
3
K
v
g
E I v
g Q a
d
st
?
?
2
2
3
3
4
?
例 10-4：重物 Q自由落下冲击在 AB梁的 B点
处，求 B点的挠度。
CL14TU14
解：
? st Q l
E I
Q l
E bh
? ?
3 3
33
4
K
h E b h
Q l
d
st
? ? ? ? ? ?1 1
2
1 1
2
4
3?
v K
E b h
Q l
Q l
E b h
B d d st? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?? ? 1 1 2
44
3
3
3
例 10-5：图示钢杆的下端
有一固定圆盘，盘上放置弹
簧。弹簧在 1kN的静载荷作
用下缩短 0.625mm。钢杆直
径 d=40mm,l =4m，许用应
力 [σ]=120MPa,E=200GPa。
若有重为 15kN的重物自由落
下，求其许可高度 h。
CL14TU15
解：
? st Q lEA? ? ? ? ? ?? ?15 0 625 10 9 62 103 3., m
K hd
st
? ? ?1 1 2
?
?
?
st
Q
A d
? ?
?
?
15 10
4
12
3
2
M P a
? ? ?d d st
st
K
h
h
? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
1 1
2
12 120
0 385
?
[ ]
,m = 3 8 5 m m
