? 构件在 拉 伸 (压 缩 ),剪 切,扭 转及 弯 曲等 基本
变形 形式下的应力和位移
? 构件往往同时发生 两种或两种以上 的基本变形，
如几种变形所对应的应力（或变形）属同一量
级，称为 组合变形
? 斜弯曲,拉弯组合,弯扭组合
§ 8.l概 述
1 组合变形
? 工程实用,烟囱，传动轴，吊车梁的立柱
? 烟囱：自重引起轴向 压缩 + 水平方向的风力而
引起 弯曲,
? 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 +
扭转
? 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩
+ 纯弯曲
2、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
① 外力分析,外力向形心 (后弯心 )简化并沿主惯性轴
分解
② 内力分析,求每个外力分量对应的内力方程和内力
图，确定危险面。
③ 应力分析,画危险面应力分布图，叠加，建立危险
点的强度条件。
3、连接件的近似计算
如桥梁桁架结
点处的铆钉 (或螺
栓 )连接,
工程实际中，经常需要将构件相互连接。
m
n
m
n F
F
F
2
F
2
F
机械中的轴与齿
轮间的键连接,
以及木结构
中的榫齿连接等。
工程实际中,采用简化计算的方法，计算名
义应力（包括剪切应力、挤压应力）, 称为 工
程实用计算法 。
铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件，统
称为连接件。
主要包括 连接件的剪切实用计算,挤压实用
计算。
§ 8-2 两相互垂直平面内的弯曲
? 平面弯曲,在前面曾指出只要作用在杆件上的
横向力通过弯曲中心,并 与一个形心主惯性轴
方向平行,杆件将只发生平面弯曲。
? 对称弯曲：平面弯曲的一种。
? 斜弯曲：挠曲线 不位于 外力所在的纵向平面内 。
------横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯
性轴平行
斜弯曲时的应力与位移计算
在集中力 F1, F2 作用下（ 双对称截面梁在水
平 和垂直两纵向对称平面内同时受横向外力作用）,
梁将分别在水平纵对称面 (Oxz)和铅垂纵对称面
(Oxy)内发生对称弯曲。
在梁的任意横截面 m-m上, F1, F2引起的弯矩为
)(,21 axFMxFM zy ???
x
y
z
C(y,z) O
y
z
m
m
F1
F a2
M
m
m
z
O
y
zM
y
在 F2 单独 作用下，梁在竖直平面内发生平面弯曲，
z轴为中性轴
在 F1 单独 作用下，梁在水平平面内发生平面弯曲，
y轴为中性轴 。
斜弯曲是 两个互相垂直方向的平面弯曲的组合 。
(2) F1单独作用下
求应力, m-m截面上第一象限某点 C(y,z)
(1) F2单独作用下 )(
2 axFM z ??
y
I
M
Z
Z??"?
xFM y 1?
z
I
M
y
y?'?
(3) 当 F1 和 F2共同作用时，应用 叠加法
note,应根据弯距在该点造成的应力方向,再
叠加
所以,C点的 x方向正应力为 压
y
I
Mz
I
M
z
z
y
y ???? "' ???
z
y
B
D
中性轴
E
F
My
＋ ＝
zM
F 2 F1和 共同作用时F 2单独作用时
' '
F 单独作用时1
'
危险点, m-m截面上
角点 B 有最大拉应力,D 有最大压应力；
E,F点的正应力为零,EF线即是中性轴。
可见 B,D点就是危险点，离中性轴最远
强度条件, B,D角点处的切应力为零，按 单向应力
状态 来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相
同，则斜弯曲时的强度条件为
][m a x ?? ?
中性轴, 正应力为零处，即求得中性轴方程
0??? y
I
Mz
I
M
z
z
y
y?
上式可见，中性轴是一条通过横截
面形心的直线,E,F点的正应力为零，
EF线即是中性轴。其与 y轴的夹角 ?为
?? t a nt a n
0
0
z
y
z
y
y
z
I
I
I
I
M
M
y
z ????
?是横截面上合成弯矩 M
矢量与 y 轴间的夹角。
22
zy MMM ??
一般, 截面 Iy?Iz,即 ???,因而中性轴与合成弯
矩 M所在的平面并不相互垂直 。 所以挠曲线将不在合
成弯矩所在的平面内, 即是斜弯曲 。
对圆形, 正方形等 Iy=Iz的截面, 得 ?=?, 即是平
面弯曲
O z
y
例 8-1 图示悬臂梁，承受载荷 F1与 F2作用，已知
F1=800N,F2=1.6kN,l=1m，许用应力 [σ ]=160MPa。
试分别按下列要求确定截面尺寸,(1) 截面为矩形，
h=2b； (2) 截面为圆形。
解,(1) 矩形截面：
2、圆截面
例 8-2 图示简支梁。工字钢型号为 No.32a,F=60kN,
[σ]=170MPa,φ=5o。试校核梁的强度。
F
2m 2m
解：（ 1）
kNFkNF zy 23.5,77.59 ??
（ 2）
mkNMmkNM yz,23.5,.77.59 m a xm a x ??
（ 3）
33 758.70,2.692 cmWcmW
yz ??
（ 4）
][3.1 6 091.7335.86
107 5 8.70
1023.5
102.6 9 2
1077.59
3
6
3
6
m a xm a x
m a x
?
?
????
?
?
?
?
?
???
M P a
W
M
W
M
y
y
z
z
例 8-3 20a号工字钢悬臂梁承受均布荷载 q 和集中力
F=qa/2 如图 。 已知钢的许用弯曲正应力 [?]=160MPa,
a=1m。 试求梁的许可荷载集度 [q]
解,作计算简图,将自由
端截面 B上的集中力沿两
主轴分解为
qaFF
qaFF
o
z
o
y
3 2 1.040s i n
3 8 3.040c o s
??
??
在 xoz主轴平面内的
弯矩图 (y轴为中性轴 )
在 xoy主轴平面内的
弯矩图 (z轴为中性轴 )
y
q
z
a a
40°F
O
C BA
F
z
q
a a
A BCD Fz
y
x
0.6
42
qa 0.444qa0.321qa
2 2
2
A D C B
yM 图 (N m)
0.617a
A D C B Mz 图
0.456qa 0.383qa
0.2
66
qa
2
2 2
(N m)
危险截面,由 弯矩图, 可确定 B,D两截面为危险截面
按叠加法，在 xoz主轴平面内,xoy主轴平面内的
弯曲正应力，在 x方向叠加
q
W
M
W
M
A
z
zA
y
yA
A )m105.21()(:截面
13
m a x
??????
q
W
M
W
M
B
z
zD
y
yD
B )m1002.16()(:
13
m a x
??????截面
B,D截面在 xoz,xoy平面的弯曲截面系数，
可查表得
3636 m105.31,m102 3 7 ?? ???? yz WW
可见, 梁的危险点在截面 A的棱角处 。 危险点处
是单轴应力状态, 强度条件为
][m a x ?? ?
即
Pa101 6 0)m105.21()( 613m a x ???? ? qA?
解得
k N / m44.7N / m1044.7][ 3 ???q
§ 8-3 拉伸 (压缩 )与弯曲
包括,轴向拉伸 (压缩 )和弯曲
偏心拉（压）,截面核心
1,横向力与轴向力共同作用
对于 EI较大的杆, 横向力引起的挠度与横截面的
尺寸相比很小, 因此, 由轴向力引起的弯矩可以略
去不计 。
可 分别计算 由横向力和轴向力引起的杆横截面上
的正应力, 按叠加原理 求其代数和, 即得在拉伸
(压缩 )和弯曲组合变形下, 杆横截面上的正应力 。
上 图示由两根槽钢组成杆件的计算图, 在其纵
对称面内有横向力 F和轴向拉力 Ft共同作用, 以
此说明杆在拉伸与弯曲组合变形时的强度计 算 。
Ft FtF
2
h h
2
x
y
z
在拉力 Ft作用下，杆各个横截面上有
相同的轴力 FN=Ft,拉伸正应力 ?t在
各横截面上的各点处均相等
A
FF tN
t A ???
在横向力 F作用下, 杆跨中截面上的
弯矩为最大, Mmax=Fl/4。 跨中截面
是杆的危险截面 。 该截面上的最大
弯曲正应力
W
Fl
W
M
4
m a x
b ???
按 叠加原理，杆件的最大正应力是危
险截面下边缘各点处的拉应力,值为
t = FAN
=b Mmax
W
maxM
当 b ＞ t
W
FlF
4A
t
m a x,t ???
正应力沿截面高度的变化情
况还取决于 ?b,?t值的相对大
小 。 可能的分布还有,
Note:当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,
杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆
件的拉, 压强度条件 。
危险点处为单轴应力状态, 故可将最大拉应力与
材料的许用应 力相比较, 以进行强度计算 。
当 t=b b当 ＜ t
例 8-4 一折杆由两根无缝钢管焊接而成, 已知两钢
管的外径均为 140mm,壁厚均为 10mm。 试求折杆
危险截面上的最大拉应力和最大压应力 。
解, 求支反力,由平衡方程
kN5,0' ??? BAA FFF
作折杆的受力图,折杆及
受力对称，只需分析一半
即杆 AC
将 FA分解,得杆的 轴力
FN,弯矩 M(x)
xxFM ( x )
FF
Ay
Ax
)kN4(
kN3N
??
????
AxF
FAy
A B
C
m
m
f
g
FB
10kN
BF
AF '
FA
A B
C
1.6m 1.6m
1.2
m
10kN
最大弯矩在 C 处的 m-m横截面,m-m 截面为
危险截面
mkN8m2m a x ???? AyFM
按 叠加原理，最大拉应力 ?t和最大压应力 ?c分
别在杆下边缘的 f 点和上边缘的 g 点处，其值
分别为
W
MF ??
?
?
?
A
N
m a x,c
m a x,t
?
?
根据已知的截面尺寸
2422 m108.40)(
4
π ????? dDA
)(64π 44 dDI ??
36 m10124
2/
????
D
IW
代入应力表达式得
M P a
2.65
8.63
m a x,c
m a x,t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
例 8-5 图 示 折 杆 结 构, 已 知 材 料 许 用 应 力
[σ]=160MPa,试校核强度 。
1 0 k N
D 2 5 0
C
5 0 0
F
C
40
A B
F
Ax
250 500
F
Ay
1 0 k N
8,5kN
1 4 1 4 N, m
解：（ 1）求支反力
kNFkNF
kNFM
AyAx
CA
24,26
2,0
??
???
（ 2）作内力图，确定危险截面
mkNM
kNF N
.141 4
10
m a x
m a x
?
?
（ 3）强度校核
][9.130
6.12425.6m a xm a xm a x
?
?
??
????
M P a
W
M
A
F N
作业,8-1,8-5,8-7
