§ 11－ 1 概 述
1.能量法,
利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形
固体的位移、变形和内力等的方法。
2.能量法的应用范围：
（ 1）线弹性体；非线性弹性体
（ 2）静定问题；超静定问题
（ 3）是有限单元法的重要基础
§ 11－ 2 应变能 ?余能
1.应变能
(1) 线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达
式 (参见上册 )
拉 (压 )杆
EA
lFWV
2
2
N＝＝
?
圆轴扭转
IG
lTWV
p2
2
＝＝?
梁弯曲
?l EI xxMWV 2 d)(
2
＝＝?
(2) 非线性弹性体的应变能表达式
对图 (a)的拉杆,)关系如图(其 bΔF ?
F在 d?上所作微功为 dW = F d?
F作的总功为, ?? ?? ?? ?11
00 dd FWW
（ F-?曲线与横坐标轴间的面积）
A
F
l
(a)
F
F1
F
d?
O
1
(b)
由能量守恒得应变能：
???? 10 d? ?FWV
(此为由外力功计算应变能的表达式 ）
类似，可得其余变形下的应变能：
? w wFV 0 d＝?而弯曲：梁受 F
??? ?0e dMVM e＝而弯曲：梁受
? ??? 0x d MVM x＝而扭转：圆轴受
若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下
表面上的力为, F = ??1?1 = ?
其伸长量为,?＝ ??1＝ ?
则作用于此单元体上的外力功为：
?? 10 d? ??W
注意到此单元体的体积为单位值，从而此时的
应变能 (数值上等于上式中的 W) 为应变能密度,
?? 10 d?? ??v (?-?曲线与横坐标轴间的面积 ）
?
O
d ? 1
1
(c)
若取边长分别为 dx,dy,dz 的单元体，则此
单元体的应变能为：
zyxvV dddd ?? ?
整个拉杆的应变能为：
VvVV vv dd ?? ?? ???
(此为由应变能密度计算应变能的表达式 )
为常量积内特别地，在拉杆整个体 v ε
AlvVvV ??? ??所以有
说明：线弹性体的 v?,V ?可作为非线性体的 v?,V ?的
特例 。 由于线弹性的 F与 ?或 ?与 ?成正比, 则 F－ ?曲
线或 ?－ ?曲线与横坐标轴围成一个三角形, 其面积
等于应变能 V ?和应变能密度 v? 。
l
EA
EA
lFFWV
222
1 2121
11
?? ????
?
EEv 22
1
2
1d 212
1110
1 ???????
? ???? ?
同理, 可得纯剪时的 应变能密度 v?为：
GGv 22
1
2
1d 212
1110
1 ????? ??
? ???? ?
例 11-1 弯曲刚度为 EI的简支梁受均布荷载 q作用，
如图所示。试求梁内的应变能 。
解：梁的挠曲线方程为：
???
?
???
? ???
l
x
l
x
l
x
EI
lqw
4
4
3
34
2
24
荷载所作外力功为：
? ? wxqW l ?? ? d21
0
将前一式代入后一式得：
EI
lqWV
240
52
???
w
x l
y
A B
q
x
例 11-2 原为水平位置的杆系如图 a 所示, 试计算在
荷载 F1作用的应变能 。 两杆的长度均为 l,横截面面
积均为 A,其材料相同, 弹性模量为 E,且均为线弹
性的 。
解：设两杆的轴力为 FN, 则两杆的伸长量均为：
EA
lFl N??
两杆伸长后的长度均为：
?
?
??
?
? ????
EA
Flll N1
F1
1 1
l l
(a)
? ?
EA
F
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
lll
N
l
22
211
22
22
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?????
?
???
??
由图 a的几何关系可知：
F1
1 1
l l
(a)
???? 22t an2s i n2
Fl
l
FFF
F N ????
代入前一式得,l
EA
F
3??
或：
EA
l
F
3
?
?
??
?
?? ?
（ 几何非线性弹性问题 ）
其 F-?间的非线性关系曲线为：
应变能为：
???
?? ??
113
4
1
0
3
1
0 4
1
4
1dd 1
FEA
l
EA
l
FV ???
?
??
?
??? ??
?
F
F= ( ) EA 3
O ?
?/l
2,余能
设图 a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的 F-?
曲线如图 b。
“余功 Wc”定义为：
?? FC FW 10 d?
与余功相应的能称为余能 Vc,余功 Wc与余能 Vc
在数值上相等。
F
(a)
?
F
O
dF
??
1
F1
?
(b)
??? FCc FWV 10 d?
（ 代表 F-?曲线 与纵坐标轴间的面积 ）
即：
F
O
dF
??
1
F1
?
(b)
另外，也可由余能密度 vc计算余能 V c：
VvV c cc d??
其中，余能密度 vc为,?? 1
0 d
? ??
cv
（ 代表图 c中 ?-?与纵坐标轴间的面积 ）
O
d?
?
?1
?
(c)
?
?对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上
相等，其概念和计算方法却截然不同。
注意：
?对非线性材料，则 余能 V c与应变能 V?在数
值上不一定相等。
?余功、余能、余能密度都没有具体的物
理概念，仅是具有功和能的量纲而已。
例 11-3 试计算图 a 所示结构在荷载 F1作用下的余能
Vc 。 结构中两杆的长度均为 l,横截面面积均为 A。
材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图 b所示 。
解,两杆轴力均为：
?c o s2
1FF
N ?
两杆横截面上的应力为：
?? c o s2
1
1 A
F
A
F N ??
O
1
1
1)(n /1 ?? nK ??
(b)
F 1
C
B D
(a)
1
1
c os)1()2(
)(2
?
?
?
??
?
?
?
???
n
nncc
F
nKA
llA
vV ?
所以 余能为
余能密度为：
? ??? ?? 11 0 0 dd ?? ???? nc Kv
由已知
? ? nK ?? ?
§ 11－ 3 卡氏定理
1.卡氏第一定理
设图中材料为非线性弹性，
由于应变能只与
最后荷载有关，
而与加载顺序无
关。不妨按比例
方式加载，从而
有
i
n
i
iFWV ??? ? ?
?
? d
1 0
1
?
假设与第 i个荷载相应的位移有一微小增量 d ?i,
则 应变能的变化为：
i
i
VV ?
?
?
? dd ??
??
1 2 3 n
1 2 3 n
B
因仅与第 i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其
余各 荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微
小增量 d ?i,仅 Fi作了外力功，外力功的变化为：
iiFW ?dd ?
注意到上式与下式在数值上相等
i
i
VV ?
?
?
? dd ??
??
从而有：
i
i
V
F ??
?? ? （ 卡氏第一定理 ）
注意：
?卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线
性弹性体。
?式中 Fi及 ?i分别为广义力、广义位移。
?必须将 V ?写成给定位移的函数，才可求其变化率。
例 11-4 由两根横截面面积均为 A的等直杆组成的平
面桁架, 在结点 B处承受集中力 F,如图 a 所示 。 两
杆的材料相同, 其弹性模量为 E,且均处于线弹性范
围内 。 试按卡氏第一定理, 求结点 B的水平和铅垂位
移 。
解,设结点 B的水平和铅垂位移分别为 ?1和 ?2，
先假设结点 B只发生水平位移 ?1（图 b）
????? 1011 2
245co s ???
BCAB
则：
A B
(b)C
B'
?1
A B
F
45O
(a)C
l
同理，结点 B只发生铅垂位移 ?2（图 c）
则：
?? 202 2
245s i n0 ??
????? BCAB
当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）
? ?211
2
2 ???
?? ??? BCAB
A B
(c)C
B''
?2
?
?
??
?
? ???
?
??? ??? ????? 21212121
2
2
1
2
1
2222 l
EA
l
EA
l
EAV
i
i
应用卡氏第一定理得
FVV ??????
??
??
21
0 及
解得：
EAFlEAFl ）（及 22121 ?????
桁架的应变能为
2.卡氏第二定理
设有非线性弹性的梁，
梁内的余能为：
i
n
i
F
cc FiWV d1
1
0? ? ??? ?
假设第 i个荷载 Fi有一微小增量 dFi,而其余 荷载均
保持不变，因此，由于 Fi改变了 dFi, 外力总余功的
相应改变量为：
iic FW dd ??
余能的相应改变量为：
i
i
c
c FF
VV dd
?
??
1 2 3 n
1 2 3 n
B
由于外力余功在数值上等于余能，得
cc WV dd ?
解得：
F
V
i
c
i ?
??? （称为,余能定理,）
特别,对线弹性体，由于力与位移成正比，应
变能 V?在数值上等于余能 V c, 此时上式变为：
F
V
i
i ?
?? ?? （称为,卡氏第二 定理,）
式中的 Fi 和 ?i分别为广义力和广义位移。
注意,?卡氏第一定理和 余能定理 既适合于线弹性体,
也适合于非线性弹性体, 而卡氏第二定理 作
为 余能定理的特例, 仅 适合于线弹性体 。
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
l
i
l
ip
l
i
NN
l
i
l
pi
l
N
i
i
x
F
M
EI
M
x
F
T
GI
T
x
F
F
EA
F
x
EI
M
F
x
IG
T
F
x
EA
F
F
ddd
d
2
d
2
d
2
222
?
?所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。
?当所求位移处无相应广义力时, 可在该处
,虚加, 上广义力, 将其看成已知外力, 反
映在反力和内力方程中, 待求过偏导后, 再
令该, 虚加, 外力为 0。
?实际计算时，常采用以下更实用的形式：
例 11-5 求悬臂梁 B点的挠度。 EI为常数。
q F
A x B
l
x
F
xMqxFxxM ?
?
??? )(,
2
)(
2
EI
ql
EI
Fl
dx
F
xM
EI
xM
F
V
w
lB 83
)()( 43
??
?
?
?
?
?
? ??
例 11-6 图示桁架结构。已知,F=35kN,d1=12mm,
d2=15mm,E=210Gpa。求 A点垂直位移。
C
B
4 5
o
3 0
o
① ②
1 m A 0.8m
F
31
2
,
31
2
31
2
,
31
2
21
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
F
F
F
F
F
F
F
F
NN
NN
mm
EA
Fl
EA
Fl
F
F
AE
lF
F
V
n
i
Nj
jj
jNj
y
3 6 5.1
31
2
31
2
2
2
2
2
1
1
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
例 11-7 弯曲刚度为 EI的悬臂梁受三角形分布荷载如
图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度
的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。
解,在自由端“虚加”外力
F任意 x截面处的弯矩为：
?
?
??
?
? ????? Fx
xl
q)x(
M)x(M)x(M Fq 306
1
xF )x(M ????
q q
x
l
y
A
B x
00
l xF
? ?
EI
lq
xx
l
xq
EI
x
F
xM
EI
xM
w
l
l
F
A
30
d
6
1
d
)()(
4
0
0
3
0
0
0
???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
例 11-8 弯曲刚度均为 EI的静定组合梁 ABC，在 AB
段上受均布荷载 q作用，如图 a 所示。梁材料为线弹性
体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理
求梁中间铰 B两侧截面的相对转角。
解,在中间铰 B两侧虚设一对外力偶 MB（图 b)
各支反力如图 b。 AB段弯矩方程：
22
2)(
22 xqlq
MxlMqlxM BB ???
?
?
???
? ???
?
??
?
? ??
q
A CBl l MBMB
22
2qlM
B ?
lMql B? lMB
A CB
q
x x
由卡氏第二定理得：
EI
lq
x
x
xM
EI
xM
BM
BM
lB
24
7
d
)()(
3
0
0
?
?
?
? ?? ?
?
??
结果符号为正，说明相对转角 ??B的转向与图 b
中虚加外力偶 MB的转向一致。
BC段弯矩方程
xlM)x(M B??
例 11-9 求图示刚架 B截面 ΔBx,ΔBy。
F = qa
F
f
C B
q a
A a
解：（ 1）求 Δ Bx：
2
2
2
2
2
2
1
11
)(
,
2
)(:
0
)(
,)(:
x
F
xM
xF
qx
FaxMAC
F
xM
FxxMBC
f
f
f
?
?
?
???
?
?
?
?
? ????
?
???
? ??
?
??? a
f
Bx EI
qadxxqxqa
EIF
V
0
4
2
2
2
2
22
8
5
2
1?
（ 2）求 Δ By：
a
F
xMqx
FaxMAC
x
F
xM
FxxMBC
?
?
?
??
?
?
?
?
)(
,
2
)(:
)(
,)(:
2
2
2
2
1
1
11
EI
qadxqxFadxxFx
EI
a a
By 2
3
2
1 4
20 0
2
2
111 ??
?
?
?
?
?
???
?
???
?
????? ? ?
例 11-10 图示弯曲刚度为 EI的等截面开口圆环受
一对集中力 F作用。环的材料为线弹性的，不计圆
环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理
求圆环的张开位移 ?和相对转角 。 。
解,1、张开位移
)c os1()()c os1()( ???? ?????? RFMFRM
F
R
F
?
?R (1-cos )
? ? )(
3
dc o s1
2
)d(
)(
)(
1
2
32
0
3
0
??
?
?????
??
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?
?
EI
RF
EI
RF
R
F
M
M
EIF
V
?
所以
F
R
F
?
?R (1-cos )
2、相对转角：
F
R
F
?
?R (1-cos )
Mf Mf
? ????
?
?
?
???
? ?
??
?
??
0
22
2
)co s1(2
1
)(
)co s1()(
EI
FR
d
EI
FR
M
M
MFRM
f
f
F
MN
A
A
F
B
?
T
例 11-11 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内,在 A点
受铅垂力 F的作 用,求 A点的垂直位移。
解：
① 求内力
?? s i n)(,FRM ?弯矩
)c o s1()(,?? ?? FRT扭矩
A
F R
FN
② 变形：
?? ??????? LL
P EI
M
F
T
GI
T ?????? Rd
F
)M()( Rd)()(
?? ???
??
????
0
22
0
22
d)( s i nd)c os1( R
EI
FRR
GI
FR
P
)(
22
3 33
???
EI
FR
GI
FR
P
??
作业,3-6(a),3-7(c),3-8(b)
作业,3-1(b),3-1(d),3-3(b)