上次课回顾：
1,一点处的应力状态
2,平面应力状态分析
（ 1） 斜截面上的应力
???????? ? 2s i n2c o s22 xyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s i n2 xyx ???
（ 2）应力圆
?
O
?
C
?2
F A1B1
B2A2
D1
D2
E
?x
?y
?y
?x
?1
2?0
应力圆和单元体的对应关系
圆上一点，体上一面；
圆上半径，体上法线；
转向一致，数量一半；
直径两端，垂直两面。
（ 3）主平面和主应力
2
2
1 22 x
yxyx ?????? ?
??
?
?
??
?
? ?
?
?
?
2
2
2 22 x
yxyx ?????? ?
??
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
yx
x
??
?? 2a r c t a n
2
1
0
§ 7-3 空间应力状态的概念
下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况,
称为一般的 空间应力状态 。
图中 x平面有：
xzxyx ???,,
图中 y平面有：
yzyxy ???,,
图中 z平面有：
zyzxz ???,,
在切应力的下标中, 第一个表示所在平面, 第
二个表示应力的方向 。
x
y
z
O dx
dy dz
?xy
?xz ?x
?yx
?y
?yz
?xy
?z ?zx?xy
?x ?
xz ?zy
?z?zx
?yx
?y
?yz
zxyzxyzyx ??????,,,,,
可以证明, 对上述应力状态一定可找到一个
单元体, 其三对相互垂直的面都是主平面, 其上
应力分别为：
321,,???
空间应力状态共有 9个分量, 然而, 根据切应
力互等定理可知, 独立的分量只有 6个, 即：
空间应力状态,三个主应力都不等于零；
平面应力状态,两个主应力不等于零；
单向应力状态,只有一个主应力不等于零 。
该单元体称为主单元体。
考虑图 a所示主单元体中斜截面上的应力。
对与 ?3平行的斜截面,
同理,和 ?2平行的斜截面上
应力与 ?2无关, 由 ?1,?3的 应力
圆确定；和 ?1平行的斜截面上应
力与 ?1无关, 由 ?2,?3的 应力圆
确定 。
下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。
c
a
b
?1
?3
?3
(b)
?2
?1
?2
?1
?3
?3
?2
(a)
进一步研究表明, 一般斜截
面 abc面上应力位于图 c所示的阴
影部分内 。
由图 b可知, 该面上应力 ??,??
与 ?3无关, 由 ?1,?2的应力圆来
确定 。
1m ax ?? ?
3m i n ?? ?
2
31
m ax
??? ??
?max作用面为与 ?2平行, 与 ?1或 ?3成 45° 角 的
斜截面 。
所以, 由 ?1,?3构成的应
力圆最大, ?max作用点位
于该圆上, 且有：
因为：
?
?
O
?3
?2
?1
?max
B
D
A
? m
ax
(c)
注意,?max作用面上,??0。
例 7-4 用应力圆求图 a所示应力状态的主应力, 主平面,
最大切应力 ?max及作用面 。
解：由图示应力状态可知 ?z=20MPa为一主应力,
则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关 。 可由
图 b所示的平面应力状态来确定另两个主应力 。
20
20
40
(b)(a)
20MPa
20MPa
40MPa
20MPa x
y
z
M P a461 ?? M P a202 ?? M P a263 ???
图 b所示平面应力状态对应的应力圆如图 c。
最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图 d。
?
?O
?3 ?1
A
C
D2
D1
(c)
?
?O
?ma
x
?3 ?2 ?1
B
A
C
D 2
D1
(d)
由此可得：
M P a36m a x ?? BC?
作用面与 ?2平行而与 ?1成 45° 角，如图 e所示。
最大剪应力对应于 B点的纵坐标，即
x
(e)
?3
?2
?1
?max
17°
解析法：
o
yx
x
xyxyx
tg
M P a
M P a
85.16
2
2
1
1.26
1.46
4)(
2
1
)(
2
1
1
0
22
m i n
m a x
?
?
?
?
?
??????
?
??
?
?
?????
?
?
M P aM P aM P a 1.26,29,1.46 321 ???? ???
M P a1.36
2
31
m a x ?
?? ???
§ 7-4 应力与应变之间的关系
1、各向同性材料的广义胡克定律
P?? ?
时，
Ex
?? ?
Ey
??? ??
Ez
??? ??
2）纯剪应力状态：
G
x
xy
?? ?
P?? ?
1）单向应力状态：
横向线应变：?
?x
?xy
时，
3）空间应力状态：
对图示空间应力状态：;,,zyx ???
正负号规定,正应力分量同前, 拉为正, 压
为负；切应力分量重新规定, 正面 （ 外法线与坐
标轴指向一致 ） 上切应力矢与坐标轴正向一致或
负面上切应力矢与坐标轴负向一致时, 切应力为
正, 反之为负 。
六个应力分量，
zxyzxy ???,,
dx
dy dz
?xy
?xz ?x
?yx
?y
?yz
?xy
?z ?zx?xy
?x ?
xz ?zy
?z?zx
?yx
?y
?yz
对应的六个应变分量，
zxyzxyzyx ??????,,,,,
正负号规定,正应变分量同前, 拉为正, 压为
负；切应变分量以使直角减小为正, 反之为负 。
对各向同性材料, 在线弹性, 小变形条件下,
正应力只引起线应变, 切应力只引起切应变, 应力
分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：
三个正应力分量单独作用时,x方向的线应变为：
E
x
x
?? ??
E
y
x
??? ????
E
z
x
??? ?????
? ?? ?yxzz E ????? ??? 1
? ?? ?zyxxxxx E ???????? ???????????? 1
? ?? ?zxyy E ????? ??? 1同理可得：
则可得：
对切应力分量与切应变的关系，有：
G
xy
xy
?? ?
G
yz
yz
?? ?
G
zx
zx
?? ?
上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性
和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。
对平面应力状态：设 ?z=0,?xz=0,?yz=0，有：
? ?yxz E ???? ???
? ?yxx E ???? ?? 1
? ?xyy E ???? ?? 1
xyxy G ??
1?
若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有,? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
2133
3122
3211
1
1
1
?????
?????
?????
E
E
E
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
213
122
211
1
1
??
?
?
????
????
E
E
E二向应力状态：
,03 ??设 有
? ???
?
12
E
G
可见，即使 ?3 =0，但 ?3 ?0
而且各向同性材料有
V
V???
每单位体积的体积改变，称为体积应变，即：
zyxV ddd?
? ? ? ? ? ?
? ? zyx
zyxV
ddd1
d1d1d1
321
321
???
???
????
???????
所以：
? ? ? ?321321 21 ???????? ??????? E
2、各向同性材料的体应变
对图示主单元体，有：
而变形后单元体体积为：
?3
?2
?1
dx
dz
dy
可见，任一点处的体积应变与三主应力之和成正比。
对平面纯剪应力状态：
0231 ???? ???? ；xy
因此：
? ? 021 321 ????? ????? E
即在小变形条件下, 切应力不引起各向同性材料
的体积改变, 在空间应力状态下, 材料的体积应变只
与三个线应变有关, 并有：
? ?zyx
E
???
?
? ??
?
?
21
例 7-5 已知一受力构件自由表面上某点处的
两主应变值为 ?1=240× 10-6,?3=–160× 10-6。
材料的弹性模量 E =210GPa,泊松比 ? =0.3。
求该点处的主应力值数, 并求另一应变 ?2的
数值和方向 。
解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：
02 ??
即为平面应力状态，有
? ?311 1 ???? ?? E ? ?133 1 ???? ?? E
联立两式可解得：
? ? ? ?
M P a3.44
101 6 03.02 4 0
3.01
102 1 0
1
6
2
9
3121
?
???
?
?
??
?
? ????
?
?
E
? ? ? ?
M P a3.20
102 4 03.01 6 0
3.01
102 1 0
1
6
2
9
1323
??
????
?
?
??
?
? ????
?
?
E
? ? ? ?
6
6
9312
103.34
103.203.44
10210
3.0
????
??
?
????? ??
?
?
E
主应变 ?2为：
其方向必与 ?1和 ?3垂直，沿构件表面的法线方向。
例 7-6 讨论图示各应力状态下的体积应变。
M P a70321 ??? ???
M P a70321 ??? ???
因为：
所以：
20
100
50
(a)
40
80
50
(b)
M P a7021 ??? Ea ??
因为：
所以：
M P a7021 ??? Eb ??
可见：
ba ?? ?
?
???
???
0321 ??? ???
0321 ??? ???
可见，图 c和 d所示应力状态下无体积应变。
40
100
60
(c)
?
(d)
因为：
所以：
0?c?
因为：
所以,0?
d?
例 7-7 边长 a =0.1m的铜立方块, 无间隙地放入体积
较大, 变形可忽略的钢凹槽中, 如图 a所示 。 已知
铜的弹性模量 E=100GPa,泊松比 ? =0.34。 当受到
F=300kN的均布压力作用时, 试求铜块的主应力,
体应变以及最大切应力 。
解：铜块应力状态如图 b所示，横截面上的压应力为：
?y
?x
?z
(b)
y
x
z(a)
F
a
a
? ?? ? 01 ???? zyxx E ?????
? ?? ? 01 ???? xyzz E ?????
联解可得：
? ? M P a5.15
1
1
2 ???
???
yzx ??
????
M P a30???? AFy?
受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，
并产生压应力，即有：
7, 2 5M P a2 31m a x ??? ???
利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：
则铜块的主应力为：
M P a30M P a5.15 321 ????? ???,
由此可得其体应变为：
? ? 4321 1095.121 ???????? ????? E
例 7-8 已知图示简支梁 C点 45° 方向的线应变
?,材料的弹性模量为 E,横向变形系数为 ν
求载荷 F。
l/3 2l/3F
C 45°
b
h
? ? ? ?? ? ?????????? EEE ???????? 111 3145 ?
bh
FE
21 ??? ??
? ?
?
?
?? 1
2 b h EF
而：
所以：
解,C点的应力状态为图示
纯剪应力状态 。
?C
????? ???? 321 0,，
?3?? ?1??
主应力方向如图中红线所示，一
主应力方向的应变已知，并且
bh
F
bh
F
bh
F S
2
3/
2
3
2
3 ????
例 7-9 图示圆截面杆，已知 d=100mm,E=200Gpa,
ν=0.3,,求 F,M。
F F
M M
σ
τ
PW
M
A
F ?? ??,
kNEAF
E
7 8 5
0
0
??
?
?
?
?
解：
o?
6
45
6
0 104 0 0ε,105 0 0ε 00
?? ????
)]1(
2
)1(
[
1
])1(
2
1
[
1
)]
2
()
2
[(
1
0
45
??
?
???
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
????
P
W
ME
E
E
E
o
mkNEWM oP,79.6)
2
1(
1 045
???
?
? ???
?
§ 7-5 空间应力状态下的应变能密度
在线弹性范围和小变形条件下, 应变能与加载
顺序无关, 只取决于外力 (变形 )的最终值 。
V
Vv
d
d ?
? ?
单位体积的应变能，称为应变能密度，即：
1、单向应力状态
dz
dy
dx
? ?
2
2
22
1
2
1
d
d ?????
?
E
EV
Vv ????
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? zyx
zyx
yxxzyV
ddd
2
1
ddd
2
1
dd z d
2
1
ddd
2
1
d
332211
33
2211
??????
??
????
?
???
??
????
2、三向应力状态
比例加载,图示主单元体中,
各面上的应力按同一比例增加直
至最终值 。
dz
dy
dx
?2
?1?
3
此时, 对每一主应力, 其对应的应变能仅与对
应的主应变有关, 而与其它主应力在该主应变上不
作功, 同时考虑三个主应力, 有：
? ?33221121dd ???????? ???? VVv
由前述广义虎克定律
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
2133
3122
3211
1
1
1
?????
?????
?????
E
E
E
有：
? ?? ?313221232221 22 1 ??????????? ?????? Ev
则应变能密度为：
zyxV dddd ?而主单元体体积为：
? ?32131 ???? ???m
3、形状改变比能
一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。
1
= +
主单元体分解为图示两种单元体的叠加，有
?2
?3
?
(a)
?m
?m
?m
(b)
?2??m??2'
?1??m??1'
?3??m??3'
(c)
平均应力：
则体积不变，仅发生形状改变。
0321 ?????? ???
在 ?m作用下, 图 b无形状改变, 且其体积应变同
图 a,而对图 c,因为：
与此对应, 图 a的体积改变能密度等于图 b的应变
能密度, 而图 a的形状改变能密度等于图 c所示单元体
的应变能密度, 即：
? ?? ? mmmmmmm EE ????????? 211321 ???????
而：
mmmmmmVv 321 2
1
2
1
2
1 ?????? ???
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???????
2133
3122
3211
1
1
1
?????
?????
?????
E
E
E
332211d 2
1
2
1
2
1 ?????? ?????????v
而：
所以：
? ? ? ? 2
321
2
1 6
21
2
213
2
3 ???????? ???????
EEv mmmV
另外，由图 c可得：
所以：
? ? ? ? ? ?? ?231232221d 61 ??????? ??????? Ev
dvvv V ???
由两者相加并与图 a的应变能密度比较可证明：
对一般空间应力状态的单元体, 应变能密度可
由六个应力分量和对应的应变分量来表示, 即为：
? ?zxzxyzyzxyxyzzyyxxv ????????????? ?????? 21
请推导单纯由应力分量表示的应变能密度！
练习题：图示悬臂梁，已知中性层 A点沿 45o
线应变 ε,弹性模量 E,横向变形 ν,截面尺寸 b、
h。求 F=?
F
h
L b
作业,7-15(a),7-21,7-23
1,一点处的应力状态
2,平面应力状态分析
（ 1） 斜截面上的应力
???????? ? 2s i n2c o s22 xyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s i n2 xyx ???
（ 2）应力圆
?
O
?
C
?2
F A1B1
B2A2
D1
D2
E
?x
?y
?y
?x
?1
2?0
应力圆和单元体的对应关系
圆上一点，体上一面；
圆上半径，体上法线；
转向一致，数量一半；
直径两端，垂直两面。
（ 3）主平面和主应力
2
2
1 22 x
yxyx ?????? ?
??
?
?
??
?
? ?
?
?
?
2
2
2 22 x
yxyx ?????? ?
??
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
yx
x
??
?? 2a r c t a n
2
1
0
§ 7-3 空间应力状态的概念
下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况,
称为一般的 空间应力状态 。
图中 x平面有：
xzxyx ???,,
图中 y平面有：
yzyxy ???,,
图中 z平面有：
zyzxz ???,,
在切应力的下标中, 第一个表示所在平面, 第
二个表示应力的方向 。
x
y
z
O dx
dy dz
?xy
?xz ?x
?yx
?y
?yz
?xy
?z ?zx?xy
?x ?
xz ?zy
?z?zx
?yx
?y
?yz
zxyzxyzyx ??????,,,,,
可以证明, 对上述应力状态一定可找到一个
单元体, 其三对相互垂直的面都是主平面, 其上
应力分别为：
321,,???
空间应力状态共有 9个分量, 然而, 根据切应
力互等定理可知, 独立的分量只有 6个, 即：
空间应力状态,三个主应力都不等于零；
平面应力状态,两个主应力不等于零；
单向应力状态,只有一个主应力不等于零 。
该单元体称为主单元体。
考虑图 a所示主单元体中斜截面上的应力。
对与 ?3平行的斜截面,
同理,和 ?2平行的斜截面上
应力与 ?2无关, 由 ?1,?3的 应力
圆确定；和 ?1平行的斜截面上应
力与 ?1无关, 由 ?2,?3的 应力圆
确定 。
下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。
c
a
b
?1
?3
?3
(b)
?2
?1
?2
?1
?3
?3
?2
(a)
进一步研究表明, 一般斜截
面 abc面上应力位于图 c所示的阴
影部分内 。
由图 b可知, 该面上应力 ??,??
与 ?3无关, 由 ?1,?2的应力圆来
确定 。
1m ax ?? ?
3m i n ?? ?
2
31
m ax
??? ??
?max作用面为与 ?2平行, 与 ?1或 ?3成 45° 角 的
斜截面 。
所以, 由 ?1,?3构成的应
力圆最大, ?max作用点位
于该圆上, 且有：
因为：
?
?
O
?3
?2
?1
?max
B
D
A
? m
ax
(c)
注意,?max作用面上,??0。
例 7-4 用应力圆求图 a所示应力状态的主应力, 主平面,
最大切应力 ?max及作用面 。
解：由图示应力状态可知 ?z=20MPa为一主应力,
则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关 。 可由
图 b所示的平面应力状态来确定另两个主应力 。
20
20
40
(b)(a)
20MPa
20MPa
40MPa
20MPa x
y
z
M P a461 ?? M P a202 ?? M P a263 ???
图 b所示平面应力状态对应的应力圆如图 c。
最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图 d。
?
?O
?3 ?1
A
C
D2
D1
(c)
?
?O
?ma
x
?3 ?2 ?1
B
A
C
D 2
D1
(d)
由此可得：
M P a36m a x ?? BC?
作用面与 ?2平行而与 ?1成 45° 角，如图 e所示。
最大剪应力对应于 B点的纵坐标，即
x
(e)
?3
?2
?1
?max
17°
解析法：
o
yx
x
xyxyx
tg
M P a
M P a
85.16
2
2
1
1.26
1.46
4)(
2
1
)(
2
1
1
0
22
m i n
m a x
?
?
?
?
?
??????
?
??
?
?
?????
?
?
M P aM P aM P a 1.26,29,1.46 321 ???? ???
M P a1.36
2
31
m a x ?
?? ???
§ 7-4 应力与应变之间的关系
1、各向同性材料的广义胡克定律
P?? ?
时，
Ex
?? ?
Ey
??? ??
Ez
??? ??
2）纯剪应力状态：
G
x
xy
?? ?
P?? ?
1）单向应力状态：
横向线应变：?
?x
?xy
时，
3）空间应力状态：
对图示空间应力状态：;,,zyx ???
正负号规定,正应力分量同前, 拉为正, 压
为负；切应力分量重新规定, 正面 （ 外法线与坐
标轴指向一致 ） 上切应力矢与坐标轴正向一致或
负面上切应力矢与坐标轴负向一致时, 切应力为
正, 反之为负 。
六个应力分量，
zxyzxy ???,,
dx
dy dz
?xy
?xz ?x
?yx
?y
?yz
?xy
?z ?zx?xy
?x ?
xz ?zy
?z?zx
?yx
?y
?yz
对应的六个应变分量，
zxyzxyzyx ??????,,,,,
正负号规定,正应变分量同前, 拉为正, 压为
负；切应变分量以使直角减小为正, 反之为负 。
对各向同性材料, 在线弹性, 小变形条件下,
正应力只引起线应变, 切应力只引起切应变, 应力
分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：
三个正应力分量单独作用时,x方向的线应变为：
E
x
x
?? ??
E
y
x
??? ????
E
z
x
??? ?????
? ?? ?yxzz E ????? ??? 1
? ?? ?zyxxxxx E ???????? ???????????? 1
? ?? ?zxyy E ????? ??? 1同理可得：
则可得：
对切应力分量与切应变的关系，有：
G
xy
xy
?? ?
G
yz
yz
?? ?
G
zx
zx
?? ?
上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性
和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。
对平面应力状态：设 ?z=0,?xz=0,?yz=0，有：
? ?yxz E ???? ???
? ?yxx E ???? ?? 1
? ?xyy E ???? ?? 1
xyxy G ??
1?
若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有,? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
2133
3122
3211
1
1
1
?????
?????
?????
E
E
E
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
213
122
211
1
1
??
?
?
????
????
E
E
E二向应力状态：
,03 ??设 有
? ???
?
12
E
G
可见，即使 ?3 =0，但 ?3 ?0
而且各向同性材料有
V
V???
每单位体积的体积改变，称为体积应变，即：
zyxV ddd?
? ? ? ? ? ?
? ? zyx
zyxV
ddd1
d1d1d1
321
321
???
???
????
???????
所以：
? ? ? ?321321 21 ???????? ??????? E
2、各向同性材料的体应变
对图示主单元体，有：
而变形后单元体体积为：
?3
?2
?1
dx
dz
dy
可见，任一点处的体积应变与三主应力之和成正比。
对平面纯剪应力状态：
0231 ???? ???? ；xy
因此：
? ? 021 321 ????? ????? E
即在小变形条件下, 切应力不引起各向同性材料
的体积改变, 在空间应力状态下, 材料的体积应变只
与三个线应变有关, 并有：
? ?zyx
E
???
?
? ??
?
?
21
例 7-5 已知一受力构件自由表面上某点处的
两主应变值为 ?1=240× 10-6,?3=–160× 10-6。
材料的弹性模量 E =210GPa,泊松比 ? =0.3。
求该点处的主应力值数, 并求另一应变 ?2的
数值和方向 。
解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：
02 ??
即为平面应力状态，有
? ?311 1 ???? ?? E ? ?133 1 ???? ?? E
联立两式可解得：
? ? ? ?
M P a3.44
101 6 03.02 4 0
3.01
102 1 0
1
6
2
9
3121
?
???
?
?
??
?
? ????
?
?
E
? ? ? ?
M P a3.20
102 4 03.01 6 0
3.01
102 1 0
1
6
2
9
1323
??
????
?
?
??
?
? ????
?
?
E
? ? ? ?
6
6
9312
103.34
103.203.44
10210
3.0
????
??
?
????? ??
?
?
E
主应变 ?2为：
其方向必与 ?1和 ?3垂直，沿构件表面的法线方向。
例 7-6 讨论图示各应力状态下的体积应变。
M P a70321 ??? ???
M P a70321 ??? ???
因为：
所以：
20
100
50
(a)
40
80
50
(b)
M P a7021 ??? Ea ??
因为：
所以：
M P a7021 ??? Eb ??
可见：
ba ?? ?
?
???
???
0321 ??? ???
0321 ??? ???
可见，图 c和 d所示应力状态下无体积应变。
40
100
60
(c)
?
(d)
因为：
所以：
0?c?
因为：
所以,0?
d?
例 7-7 边长 a =0.1m的铜立方块, 无间隙地放入体积
较大, 变形可忽略的钢凹槽中, 如图 a所示 。 已知
铜的弹性模量 E=100GPa,泊松比 ? =0.34。 当受到
F=300kN的均布压力作用时, 试求铜块的主应力,
体应变以及最大切应力 。
解：铜块应力状态如图 b所示，横截面上的压应力为：
?y
?x
?z
(b)
y
x
z(a)
F
a
a
? ?? ? 01 ???? zyxx E ?????
? ?? ? 01 ???? xyzz E ?????
联解可得：
? ? M P a5.15
1
1
2 ???
???
yzx ??
????
M P a30???? AFy?
受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，
并产生压应力，即有：
7, 2 5M P a2 31m a x ??? ???
利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：
则铜块的主应力为：
M P a30M P a5.15 321 ????? ???,
由此可得其体应变为：
? ? 4321 1095.121 ???????? ????? E
例 7-8 已知图示简支梁 C点 45° 方向的线应变
?,材料的弹性模量为 E,横向变形系数为 ν
求载荷 F。
l/3 2l/3F
C 45°
b
h
? ? ? ?? ? ?????????? EEE ???????? 111 3145 ?
bh
FE
21 ??? ??
? ?
?
?
?? 1
2 b h EF
而：
所以：
解,C点的应力状态为图示
纯剪应力状态 。
?C
????? ???? 321 0,，
?3?? ?1??
主应力方向如图中红线所示，一
主应力方向的应变已知，并且
bh
F
bh
F
bh
F S
2
3/
2
3
2
3 ????
例 7-9 图示圆截面杆，已知 d=100mm,E=200Gpa,
ν=0.3,,求 F,M。
F F
M M
σ
τ
PW
M
A
F ?? ??,
kNEAF
E
7 8 5
0
0
??
?
?
?
?
解：
o?
6
45
6
0 104 0 0ε,105 0 0ε 00
?? ????
)]1(
2
)1(
[
1
])1(
2
1
[
1
)]
2
()
2
[(
1
0
45
??
?
???
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
????
P
W
ME
E
E
E
o
mkNEWM oP,79.6)
2
1(
1 045
???
?
? ???
?
§ 7-5 空间应力状态下的应变能密度
在线弹性范围和小变形条件下, 应变能与加载
顺序无关, 只取决于外力 (变形 )的最终值 。
V
Vv
d
d ?
? ?
单位体积的应变能，称为应变能密度，即：
1、单向应力状态
dz
dy
dx
? ?
2
2
22
1
2
1
d
d ?????
?
E
EV
Vv ????
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? zyx
zyx
yxxzyV
ddd
2
1
ddd
2
1
dd z d
2
1
ddd
2
1
d
332211
33
2211
??????
??
????
?
???
??
????
2、三向应力状态
比例加载,图示主单元体中,
各面上的应力按同一比例增加直
至最终值 。
dz
dy
dx
?2
?1?
3
此时, 对每一主应力, 其对应的应变能仅与对
应的主应变有关, 而与其它主应力在该主应变上不
作功, 同时考虑三个主应力, 有：
? ?33221121dd ???????? ???? VVv
由前述广义虎克定律
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
2133
3122
3211
1
1
1
?????
?????
?????
E
E
E
有：
? ?? ?313221232221 22 1 ??????????? ?????? Ev
则应变能密度为：
zyxV dddd ?而主单元体体积为：
? ?32131 ???? ???m
3、形状改变比能
一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。
1
= +
主单元体分解为图示两种单元体的叠加，有
?2
?3
?
(a)
?m
?m
?m
(b)
?2??m??2'
?1??m??1'
?3??m??3'
(c)
平均应力：
则体积不变，仅发生形状改变。
0321 ?????? ???
在 ?m作用下, 图 b无形状改变, 且其体积应变同
图 a,而对图 c,因为：
与此对应, 图 a的体积改变能密度等于图 b的应变
能密度, 而图 a的形状改变能密度等于图 c所示单元体
的应变能密度, 即：
? ?? ? mmmmmmm EE ????????? 211321 ???????
而：
mmmmmmVv 321 2
1
2
1
2
1 ?????? ???
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???????
2133
3122
3211
1
1
1
?????
?????
?????
E
E
E
332211d 2
1
2
1
2
1 ?????? ?????????v
而：
所以：
? ? ? ? 2
321
2
1 6
21
2
213
2
3 ???????? ???????
EEv mmmV
另外，由图 c可得：
所以：
? ? ? ? ? ?? ?231232221d 61 ??????? ??????? Ev
dvvv V ???
由两者相加并与图 a的应变能密度比较可证明：
对一般空间应力状态的单元体, 应变能密度可
由六个应力分量和对应的应变分量来表示, 即为：
? ?zxzxyzyzxyxyzzyyxxv ????????????? ?????? 21
请推导单纯由应力分量表示的应变能密度！
练习题：图示悬臂梁，已知中性层 A点沿 45o
线应变 ε,弹性模量 E,横向变形 ν,截面尺寸 b、
h。求 F=?
F
h
L b
作业,7-15(a),7-21,7-23
