第十四章 超静定结构
静不定系统，按其多余约束的情况，可以分为 外力
静不定 系统和 内力静不定 系统。
外力静不定,支座反力不能全由平衡方程求出；
内力静不定,支座反力可由平衡方程求出，但杆件的
内力却不能全由平衡方程求出；
14-1 超静定结构概念
求解静不定系统的基本方法，是解除多余
约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处
的变形协调条件建立补充方程进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原
静不定系统的静定基本系统，或 相当系统 。
（本章主要用 力法解超静定结构 ）
§ 14-2 力法解超静定结构
在求解静不定结构时，一般先解除多余约
束，代之以多余约束力，得到基本静定系。再
根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充
方程。这种以“力”为未知量，由变形协调条
件为基本方程的方法，称为 力法 。
A BC
Fa
l
X1A
B
C
F
A BC
F
F1?
X1
A
B
C
11X?
1
A
B
C
11?
该体系中多出一个外部约束，为一次超静
定梁。解除多余支座 B，并以多余约束 X1
代替。
以 表示 B端沿 X1方向的位移
1?
，
F1?
是在 F单独作用下引起的位移，
11X?
是在 X1单独作用在引起的位移，
因此有
1?
＝
F1?
＋
11X
?
B为支座，因此有
0111 ?????? XF
1111 XX ???
对于弹性结构，位移与力成正比,X1是单位
力的 X1倍，故 也是 的 X1倍，即有
11X? 11
?
01111 ??? FX?
EI
l
3
3
11 ??
)3(
6
2
1 alEI
Fa
F ????
于是可求得
)3(
2
3
3
1
al
l
Fa
X ??
这里可求得
例, 平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试
求 C处的约束力、支座反力。
? 11
2 3
1
2 2 4
1
2
2
3 3
1
2 8 16
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ?
EI
a a a
EI
EI
a qa qa
EI
P?
M 10图 M P 图
? ?
由力法正则方程 得：
，,
顺时针 逆时针
?
11 1 1
1
2
0
3
16
3
16
0 0
3
16 2
16
X
X
qa
X
qa
Y M
X X
qa
Y Y
qa
M M
qa
P
C C C
A B A B
A B
? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ?
?
( ) ( ),
( ) ( )
例：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆
EI=常数。
M 10图
M P 图
? ?
? ? ? ?逆时针
得由
8
,
8
11
,0
8
3
,0
8
3
0
22
1
3
4
3
2
2
1
2
11111
43
1
3
2
2
11
qa
M
qa
YX
qa
YX
qa
XX
EI
qa
a
qa
EI
EI
a
aa
aa
EI
AAA
BB
P
P
????
????
????
??
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?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
例：两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，
设梁的抗弯刚度为 EI，不计轴力影响。求梁中
点的挠度。
M 10图
M P 图
? ??
?
11
1
2 2
11 1 1 1
1
1
1
8
1
8
0
8
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
EI
l
l
EI
EI
Pl Pl
EI
X X
Pl
P
P
?
?由 得
? ?v
Pl
EI
Pl
l
EI
Pl
EI
C ? ? ? ? ?
3
2
3
48
2 8
16 192
求图示刚架的支反力。
M 10图 M P 图
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
11
2 3
1
2 4
11 1 1 1
2
2
2
3
2
3
1 2
3 8 2 24
0
16
16
9
16
16
7
16
? ?
?
?
?
?
?
? ?
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?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
EI
a a a
EI
EI
qa
a
a qa
EI
X X
qa
X
qa
Y
qa
X
qa
Y
qa
P
P
B B
A A
?
?由 得
,
,
等截面梁的受力情况如图所示。试求Ａ、
Ｂ、Ｃ三处的约束力。
M 10图 M P 图
? ?
由反对称性知,支座约束反力B R
EI
a
a
a
EI
EI
ma a
ma
EI
B
P
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
? ? ? ? ?
0
1 9
2
2
9
1
2 2
4
11
2 3
1
2
?
?
? ? ? ?
? ?
由 得
逆时针
?
11 1 1
1
0
4
9
4
9
3
X
X
m
a
R R
m
a
m m
m
P
A C
A B
? ?
?
? ? ? ? ?
? ?
?
等截面平面框架的受力情况如图所示。试
求最大弯矩及其作用位置。
解：载荷关于对角线
和 反对称。
由平衡条件可得：
发生在外载荷 作用点处
AC
BD
Q P P
M
Pa
M P
? ? ?
?
c o s
m a x
m a x
45
2
2
2
上面我们讲的是只有一个
多余约束的情况
那么多余约束不止一个
时，力法方程什么样的
呢？
变形协调条件：
表示 作用点沿着 方向的位移。
由叠加原理：
同理
? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
1 2 3
1 1 1 1 1
1 11 1 12 2 13 3 1
2 21 1 22 2 23 3 2
3 31 1 32 2 33 3 3
0
0
0
0
0
1 2 3
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
i i i
X X X P
P
P
P
X X
X X X
X X X
X X X
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
??????
??????
??????
0
0
0
2211
22222121
11212111
nFnnnnn
Fnn
Fnn
XXX
XXX
XXX
???
???
???
?
????????????
?
?
力法正则方程：
0
2
1
2
1
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
nF
F
F
nnnnn
n
n
X
X
X
??
?
????
?
?
???
???
???
力法正则方程：
生的位移实际载荷单独作用所产
方向由于作用点沿着表示
移单独作用时所产生的位
方向由于作用点沿着表示
移单独作用时所产生的位
方向由于作用点沿着表示
iiFi
j
iiji
i
iiii
XX
X
XX
X
XX
?
?
?
1
1
0
0
?
?
x
IE
MM
x
IE
MM
x
IE
MM
M
MX
MX
l
Fi
Fi
l
ji
ji
l
ii
ii
P
jj
ii
d
dd
1
1
0
00
00
00
00
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
??,则：
实际载荷引起的弯矩为
引起的弯矩为
引起的弯矩为
设
14-3 对称及反对称性质的利用
? 基本概念：
? 对称结构
? 对称载荷与反对称载荷
? 对称内力与反对称内力
对称性的利用：
对称结构,若将结构绕对称轴对折后，结构在
对称轴两边的部分将完全重合。
正对称载荷,绕对称轴对折后，结构在对称轴
两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且
每对力数值相等。
反对称载荷,绕对称轴对折后，结构在对称轴
两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方
向相反。
对称结构在正对称载荷作用下：
结构的内力及变形是对称的
位于对称轴上的截面 C的内力 QC=0
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
F
F
F
XXX
XXX
XXX
???
???
???
力法正则方程：
当对称结构上受对称载荷作用时，在对
称面上，反对称内力等于零。
用图乘法可证明
032232112 ???? ????
于是正则方程可化为
0
222
3333131
1313111
?
????
????
X
XX
XX
F
F
?
??
??
对称结构在反对称载荷作用下：
结构的内力及变形是反对称的
位于对称轴上的截面 C的内力 NC=0, MC=0
当对称结构上受反对称载荷作用时，在
对称面上，对称内力等于零。
用图乘法可证明
032232112 ???? ????
于是正则方程可化为
F
X
XX
XX
2222
333131
313111
0
0
???
??
??
?
??
??