§ 4-5 梁横截面上的切应力 ?梁的切应力强度条件
Ⅰ, 梁横截面上的切应力
推导思路：近似方法
不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程
分离体的平衡
横截面上切应力
分布规律的假设
横截面上弯曲切
应力的计算公式
一,矩形截面梁
m
m n
n
q(x)F
1 F2
x dx
b
h z
y
h
m'
m
n'
n
nm' m
dxb
z
y
O
xF
S(x)
M(x)
M(x)+d M(x)
FS(x)+d FS(x)
m n
nm
m' n'
y
z
y
BA
A1
s
dA
横截面上纵向力不平
衡意味着纵截面上有水平
剪力，即有水平切应力分
布。
*N1*N2S d FFF ???
*
1
1
1
*
1N *** ddd z
z
A
z
A
z
A
S
I
MAy
I
MA
I
MyAF ???? ??? s
*
12
*
N2
dd)d(d
** z
z
A
z
A
S
I
MMAy
I
MMAF ????? ?? s
面积 AA1mm' 对中性轴 z的静矩
而横截面上纵向力的大小为 m
nm'
y1
A B
A1 B1
dx
dAs
y
z
O
*N2F
S dF?
*N1F
x
? ? 0xF *N1*N2S d FFF ???
*
S
dd
z
z
S
I
MF ??
纵截面上水平剪力值为
**
1N z
z
S
I
MF ?
**
N2
d
z
z
S
I
MMF ??
要确定与之对应的水平切应力 t‘ 还需要补充条件。
m n
m'
y1
A B
A1 B1
dx
dAs
y
z
O
*N2F
S dF?
*N1F
x
矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律
(1) 由于梁的侧面为 t =0的
自由表面，根据切应力互
等定理，横截面两侧边处
的切应力必与侧边平行；
(2) 对称轴 y处的切应力必沿
y轴方向，即平行于侧边；
(3)横截面两侧边处的切应
力值大小相等，对于狭长
矩形截面则沿截面宽度其
值变化不会大。
m'
m
n'
n
nm' m
dxb
y
t
t'A1
A B
B1
h
z
y
O x
窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：
(1) 横截面上各点处的切应力均与侧边平行；
(2) 横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。
根据切应力互等定理
tt ??
推得：
(1) t' 沿截面宽度方向均匀分
布；
(2) 在 dx微段长度内可以认为 t'
没有变化。
m'
m
n'
n
nm' m
dxb
y
t
t'A1
A B
B1
h
z
y
O x
*
S
dd
z
z
S
I
MF ??
bI
SF
bI
S
x
M
z
z
z
z
*
S
*
d
d ????t
bI
SF
z
z
*
S?t
xbF dd S t ???
根据前面的分析
m n
m'
y1
A B
A1 B1
dx
dAs
y
z
O
*N2F
S dF?
*N1F
x
即
又
由两式得
其中：
FS→ 横截面上的剪力；
Iz → 整个横截面对于中性轴的惯性矩；
b → 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；
bI
SF
z
z
*
S?t
矩形截面梁弯曲切应力计算公式
z
y
yy 1
Ad
*zS → 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对
中性轴的静矩
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
??
? ?
2
2
1
*
42
2
2/
2
d
*
y
hb
yh
yy
h
b
AyS
A
z
???
?
???
?
????
?
?
???
?
??? 2
2
S2
2
S
4242
yh
I
Fyhb
bI
F
zz
t
矩形横截面上弯曲切应力的变化规律
bI
SF
z
z
*
S?t
z
y
yy 1
Ad
? ? A
F
bh
F
bh
hF
I
hF
z 2
3
2
3
1288
SS
3
2
S
2
S
m a x ??????t
???
?
???
?
??? 2
2
S
*
S
42
yh
I
F
bI
SF
zz
zt
(1) t沿截面高度按二次抛物
线规律变化；
(2) 同一横截面上的最大切应
力 tmax在中性轴处 ( y=0 )；
(3)上下边缘处（ y=± h/2)，
切应力为零。
tmax z
y
O
tmax
二,工字形截面梁
1、腹板上的切应力
dI
SF
z
z
*
S?t
?
?
??
?
? ?????
?
??
?
? ????
?
??
?
? ?? yyhdyhhbS
z 2
2/
222
* ????
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ???? 2
2
222
y
hd
h
b
??
?
y
?
h
O
d
b
t y
dAy
O
sA*
tt'
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ???? 2
2
*
222
y
hd
h
b
S z ??
?
腹板与翼缘交界处
中性轴处
? ???t ??? hb
dI
F
z 2
S
m i n
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
2
S
*
m a x,S
m a x
222
??
?
t
hd
h
b
dI
F
dI
SF
z
z
z
y
O
tmax
tmin
tmax
2、翼缘上的切应力
a、因为翼缘的上、下表面
无切应力，所以翼缘上、下边
缘处平行于 y 轴的切应力为零；
b、计算表明，工字形截面
梁的腹板承担的剪力
(1) 平行于 y 轴的切应力
可见翼缘上平行于 y 轴的切应力很小，工程上一
般不考虑。
S11S 9.0d FAF A ?? ? t
y
?
h
O
d
b
t y
(2) 垂直于 y 轴的切应力
?
t
z
z
I
SF *S
1 ??
*N1*N2S d FFF ???
? ??????
?
????
?
?
??
?
?
?
??
?
? ??? h
I
Fh
I
F
zz 222
SS
*d
z
z
S
I
M?
11 tt ??
??
*N2F
*N1F
xF dd 1S ?t ???t
1 t1'
y
?
h
O
d
b
t
?
即翼缘上垂直于 y轴的切
应力随 ?按线性规律变化。
? ???t ??? h
I
F
z2
S
1
且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、
下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了,切应
力流,。
y
Otmax
tmax
tmin
t1max
三、薄壁环形截面梁
薄壁环形截面梁弯曲切
应力的分布特征：
(1) ? <<r0→沿壁厚切应
力的大小不变；
(2) 内、外壁上无切应力
→切应力的方向与圆周
相切；
(3) y轴是对称轴 →切应
力分布与 y轴对称；与 y
轴相交的各点处切应力
为零。
最大切应力 tmax 仍发生
在中性轴 z上。
y
O
tmax
t
r0tmax
? ? ?? 2000* 2π2π rrrS z ???
3
0
2
00
2
p π2π2d rrrAI A ??? ???? ?
zyz IIII 2p ???
3
0p π2
1 rII
z ???
? ? )2(π
)2(
2 30
2
0S
*
S
m a x ??
?
?
t
r
rF
I
SF
z
z ??
A
F
r
F S
0
S 2
π
??
?
0π2 rA ??
y
O
r0
y
2r0 /p
O
C
薄壁环形截面梁最大切应力的计算
四、圆截面梁 切应力的分布特征：
边缘各点切应力的方向与圆周
相切； 切应力分布与 y轴对称；
与 y轴相交各点处的切应力其
方向与 y轴一致。
)(
*
S
ybI
SF
z
z
y ?t
关于其切应力分布的假设：
1、离中性轴为任意距离 y的水
平直线段上各点处的切应力汇
交于一点 ；
2、这些切应力沿 y方向的分量
ty沿宽度相等。
y
O
tmax
k k'
O'
d
最大切应力 tmax 在中性轴 z处
dI
SF
z
z
*
S
m a x ?t
A
F
d
F
3
4
4
π
3
4 S
2
S ?
?
?
?
?
?
?
?
d
d
dd
F
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
64
π
π3
2
4
π
2
1
4
2
S
y
O
tmax
k k'
O'
d
y
O
C
2d
/3p
Ⅱ,梁的切应力强度条件
一般 tmax发生在 FS,max所在截面的中性轴处，该位置
s=0。不计挤压，则 tmax所在点处于 纯剪切应力 状态 。
梁的切应力强度条件为
? ?tt ?m a x
? ?t?
bI
SF
z
z
*
m a x,m a x,S
材料在横力弯曲时的许用切应力
对等直梁，有
E tmax F tmaxE mm
l/2
q
G
H
C
D
F
l
ql2
/8
ql/2
ql/2
梁上 smax所在点处于
单轴应力状态,其正
应力强度条件为
? ?ss ?m a x
梁上任意点 G 和 H →平面应力状态,
若这种应力状态的点需校核强度时不
能分别按正应力和切应力进行，而必
须考虑两者的共同作用（ 强度理论 ）。
C smax D smax
E mm
l/2
q
G
H
C
D
F
l
ql2
/8
ql/2
G t s
H t
s
横力弯曲梁的强度条件：
? ?tt ?m a x
? ?ss ?m a x 强度
足够
? ?tt ?m a x
? ?ss ?m a x
确定截面尺寸
验
证
设计截面时
E mm
l/2
q
G
H
C
D
F
l
ql2
/8
ql/2
例 4-19 跨度为 6m的简支钢梁，是由 32a号工字钢在其
中间区段焊上两块 100?10 ? 3000mm的钢板制成。材
料均为 Q235钢，其 [s]=170MPa,[t]=100MPa。试校
核该梁的强度。
kN75?AF kN75?BF解 1、计算反力得
F1 F2
50kN 50kN50kN
CA B
FB1.5 m1.5 mFA 1.5 m 1.5 m y
9.5
10010
320
10
FS(kN)
x
M(kN·mm)
x
75 25
25 75
112.5 150 112.5
F1 F2
50kN 50kN50kN
CA B
FB1.5 m1.5 mFA 1.5 m 1.5 m y
9.5
10010
320
10
kN75m a x,S ?F
mkN1 5 0m a x ??M
mkN1 5 0m a x ??M
])2102320(1010012 10100[2105.1 1 0 7 5 2
3
4 ???????
zI
44 mm1016522 ??
最大弯矩为
33
4
m a x
mm1097 210)2/32 0( 1016 52 2 ?????? y IW zz
][M P a3.15410972 10150 3
6
m a x
m a x,ss ???
???
z
E W
M
F1 F2
50kN 40 kN60kN
CA B
FB1.5 m1.5 mFA 1.5 m 1.5 m y
9.5
10010
320
10
E
][M P a5.162
102.692
105.112
3
6
m a x,
s
s
??
?
?
??
z
C
C W
M
][M P a8.28
6.2 7 45.9
1075 3m a x,m a x
m a x
t
s
t
??
?
?
??
z
z
dI
S
mkN5.1 1 2 ??CM
C截面弯矩为
FS(kN)
x
M(kN·mm)
x
75 25
25 75
112.5 150 112.5
F1 F2
50kN 50kN50kN
CA B
FB1.5 m1.5 mFA 1.5 m 1.5 m y
9.5
10010
320
10
满足强度条件
剪应力强度条件
例 4-20 图示外伸梁，由工字钢制成。已知材料的许
用正应力 [σ ]=160MPa,许用剪应力 [τ ]=90MPa。试
选择工字钢的型号。
50kN 80kN
A B
150 500 500
4 7, 5 k N
3 2, 5 k N
50kN
7, 5 k N, m
1 6, 2 5 k N, m
解,（ 1） 作内力图, 确定
最大剪力和最大弯矩
FA=97.5kN,FB=32.5kN,
FSmax=50kN,
Mmax=16.25kN.m
（ 2）由正应力强度条
件，选择工字钢型号：
][m a xm a x ss ??
zW
M
3
6
m a x 56.1 0 1
1 6 0
1025.16
][ cm
MW
z ?
???
s
查表，选 14号工字钢,Wz=102cm3,d=5.5 mm,
Iz:Sz=12cm
（ 4）校核剪应力强度
][76.75
1205.5
1050
):(
3
m a x.
m a x tt ???
??? M P a
SId
F
zz
S
所以选 14号工字钢。
例 4-21 跨度 l=4m 的箱形截面简支梁，沿全长受均布
荷载 q作用，该梁是用四块木板胶合而成如图所示。已
知材料为红松,许用正应力 [σ]=10MPa,许用剪应力
[τ]=1MPa,胶合缝的许用剪应力 [τ’]=0.5MPa。 试求该
梁的容许荷载集度 q之值。
y
20
100
100
10
180
240
45 45
B
l
A
q
ql 2
FS
ql2 8
l/2M
解,1、最大弯矩、最大剪力
2、由正应力确定许可载荷
kN22/m a x,S qqlF ??
mkN28/2m a x ??? qqlM
3
3
)202240(
)452180(
12
1
12
240180
??
????
?
?zI
44 mm1014736?
33
4
m a x
mm101 22 81 20 101 47 36 ????? y IW zz
y
20
100
100
10
180
240
45 45
kN / m14.6?q
10101228 102 3
6
m a x
m a x ??
??? q
W
M
z
s
y
20
100
100
10
180
240
45 45
kN22/m a x,S qqlF ??
33
m a x,
mm108 4 6
2
1 0 0
1 0 0
452)
2
20
1 0 0(201 8 0
???
??????zS
][M P a78.01014 73 690 1084 61014.62 4
33
m a x,m a xS,
m a x tt ????
??????
z
z
bI
SF
33 mm10396)
2
20100(20180 ?????
zS
M P a367.010147 3690 103961014.62 4
33
m a xS,' ?
??
??????
z
z
bI
SFt
3、校核切应力强度条件
<[τ’]
§ 4-6 梁的合理设计
一、合理配置梁的荷载和支座
][m a xm a x ss ??
zW
M控制强度条件：
M↓
Wz↑
辅梁
l
F
l4
F
Fl
4
l4l2
Fl
8
2
m a x 125.0
0
qlMM
a
C ??
? 时当
2
m a x
0 2 1 4.0
2 0 7.0
ql
MMM
la
CB
?
??
? 时当
l/2
q
l
ql2
/8
BA
q
l
a al/2 ECD
qa
2 2
ql2
qla -
8
2
a0921[1].swf
二、合理选取截面形状
1,尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，
以使弯曲截面系数与面积比值 W/A增大。
y
z z
y
b
h z
2,对于由拉伸和压缩强度相等的材料 制成的
梁，其横截面应以中性轴为对称轴。
y
zz
y
b
h z
3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采
用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工
作拉、压应力分别达到 (或接近 )材料的许用拉应
力 [ st ] 和许用压应力 [ sc ] 。
][ t1m a xm a xt,ss ??
zI
yM
][ c2m a xm a xc,ss ??
zI
yM
][
][
c
t
2
1
s
s?
y
y
O z
y
y 1
y 2
三、合理设计梁的外形
考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截
面梁。
F1 F2
50kN 50 kN50kN
CA B
FB1.5 m1.5 mFA 1.5 m 1.5 m y
9.5
10010
320
10
若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的
许用应力，则称为 等强度梁 （ 鱼腹梁 ）。
][
6/)(
)2/(
)(
)(
2m a x ss ??? xbh
xF
xW
xM
][
3)(
sb
Fxxh ?
][
2
)2/(3
2
3
m i n
S
m a x tt ??? bh
F
A
F
][4
3
m in tb
Fh ?
(a)
l2
F
h(x
)
b
(b)
F
l2
图示悬臂梁，由三块木板胶合而成。已知：木板的
许用正应力 [σ ]=10MPa,许用剪应力 [τ ]=1MPa,胶
合缝的许用剪应力 [τ ]′ =0.3MPa。试校核梁的强度。
3 k N
5 0
5 0
1 m 5 0
1 0 0
练习题：
]'[267.0
100
12
150100
50501003000
'
][3.0
150100
3000
2
3
2
3
][8
150100
1036
3
*
m a x
2
6
m a x
m a x
tt
tt
ss
??
?
?
???
??
??
?
???
??
?
??
??
M P a
bI
SF
M P a
A
F
M P a
W
M
z
zS
S
z
作业,4-46,4-52
Ⅰ, 梁横截面上的切应力
推导思路：近似方法
不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程
分离体的平衡
横截面上切应力
分布规律的假设
横截面上弯曲切
应力的计算公式
一,矩形截面梁
m
m n
n
q(x)F
1 F2
x dx
b
h z
y
h
m'
m
n'
n
nm' m
dxb
z
y
O
xF
S(x)
M(x)
M(x)+d M(x)
FS(x)+d FS(x)
m n
nm
m' n'
y
z
y
BA
A1
s
dA
横截面上纵向力不平
衡意味着纵截面上有水平
剪力，即有水平切应力分
布。
*N1*N2S d FFF ???
*
1
1
1
*
1N *** ddd z
z
A
z
A
z
A
S
I
MAy
I
MA
I
MyAF ???? ??? s
*
12
*
N2
dd)d(d
** z
z
A
z
A
S
I
MMAy
I
MMAF ????? ?? s
面积 AA1mm' 对中性轴 z的静矩
而横截面上纵向力的大小为 m
nm'
y1
A B
A1 B1
dx
dAs
y
z
O
*N2F
S dF?
*N1F
x
? ? 0xF *N1*N2S d FFF ???
*
S
dd
z
z
S
I
MF ??
纵截面上水平剪力值为
**
1N z
z
S
I
MF ?
**
N2
d
z
z
S
I
MMF ??
要确定与之对应的水平切应力 t‘ 还需要补充条件。
m n
m'
y1
A B
A1 B1
dx
dAs
y
z
O
*N2F
S dF?
*N1F
x
矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律
(1) 由于梁的侧面为 t =0的
自由表面，根据切应力互
等定理，横截面两侧边处
的切应力必与侧边平行；
(2) 对称轴 y处的切应力必沿
y轴方向，即平行于侧边；
(3)横截面两侧边处的切应
力值大小相等，对于狭长
矩形截面则沿截面宽度其
值变化不会大。
m'
m
n'
n
nm' m
dxb
y
t
t'A1
A B
B1
h
z
y
O x
窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：
(1) 横截面上各点处的切应力均与侧边平行；
(2) 横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。
根据切应力互等定理
tt ??
推得：
(1) t' 沿截面宽度方向均匀分
布；
(2) 在 dx微段长度内可以认为 t'
没有变化。
m'
m
n'
n
nm' m
dxb
y
t
t'A1
A B
B1
h
z
y
O x
*
S
dd
z
z
S
I
MF ??
bI
SF
bI
S
x
M
z
z
z
z
*
S
*
d
d ????t
bI
SF
z
z
*
S?t
xbF dd S t ???
根据前面的分析
m n
m'
y1
A B
A1 B1
dx
dAs
y
z
O
*N2F
S dF?
*N1F
x
即
又
由两式得
其中：
FS→ 横截面上的剪力；
Iz → 整个横截面对于中性轴的惯性矩；
b → 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；
bI
SF
z
z
*
S?t
矩形截面梁弯曲切应力计算公式
z
y
yy 1
Ad
*zS → 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对
中性轴的静矩
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
??
? ?
2
2
1
*
42
2
2/
2
d
*
y
hb
yh
yy
h
b
AyS
A
z
???
?
???
?
????
?
?
???
?
??? 2
2
S2
2
S
4242
yh
I
Fyhb
bI
F
zz
t
矩形横截面上弯曲切应力的变化规律
bI
SF
z
z
*
S?t
z
y
yy 1
Ad
? ? A
F
bh
F
bh
hF
I
hF
z 2
3
2
3
1288
SS
3
2
S
2
S
m a x ??????t
???
?
???
?
??? 2
2
S
*
S
42
yh
I
F
bI
SF
zz
zt
(1) t沿截面高度按二次抛物
线规律变化；
(2) 同一横截面上的最大切应
力 tmax在中性轴处 ( y=0 )；
(3)上下边缘处（ y=± h/2)，
切应力为零。
tmax z
y
O
tmax
二,工字形截面梁
1、腹板上的切应力
dI
SF
z
z
*
S?t
?
?
??
?
? ?????
?
??
?
? ????
?
??
?
? ?? yyhdyhhbS
z 2
2/
222
* ????
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ???? 2
2
222
y
hd
h
b
??
?
y
?
h
O
d
b
t y
dAy
O
sA*
tt'
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ???? 2
2
*
222
y
hd
h
b
S z ??
?
腹板与翼缘交界处
中性轴处
? ???t ??? hb
dI
F
z 2
S
m i n
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
2
S
*
m a x,S
m a x
222
??
?
t
hd
h
b
dI
F
dI
SF
z
z
z
y
O
tmax
tmin
tmax
2、翼缘上的切应力
a、因为翼缘的上、下表面
无切应力，所以翼缘上、下边
缘处平行于 y 轴的切应力为零；
b、计算表明，工字形截面
梁的腹板承担的剪力
(1) 平行于 y 轴的切应力
可见翼缘上平行于 y 轴的切应力很小，工程上一
般不考虑。
S11S 9.0d FAF A ?? ? t
y
?
h
O
d
b
t y
(2) 垂直于 y 轴的切应力
?
t
z
z
I
SF *S
1 ??
*N1*N2S d FFF ???
? ??????
?
????
?
?
??
?
?
?
??
?
? ??? h
I
Fh
I
F
zz 222
SS
*d
z
z
S
I
M?
11 tt ??
??
*N2F
*N1F
xF dd 1S ?t ???t
1 t1'
y
?
h
O
d
b
t
?
即翼缘上垂直于 y轴的切
应力随 ?按线性规律变化。
? ???t ??? h
I
F
z2
S
1
且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、
下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了,切应
力流,。
y
Otmax
tmax
tmin
t1max
三、薄壁环形截面梁
薄壁环形截面梁弯曲切
应力的分布特征：
(1) ? <<r0→沿壁厚切应
力的大小不变；
(2) 内、外壁上无切应力
→切应力的方向与圆周
相切；
(3) y轴是对称轴 →切应
力分布与 y轴对称；与 y
轴相交的各点处切应力
为零。
最大切应力 tmax 仍发生
在中性轴 z上。
y
O
tmax
t
r0tmax
? ? ?? 2000* 2π2π rrrS z ???
3
0
2
00
2
p π2π2d rrrAI A ??? ???? ?
zyz IIII 2p ???
3
0p π2
1 rII
z ???
? ? )2(π
)2(
2 30
2
0S
*
S
m a x ??
?
?
t
r
rF
I
SF
z
z ??
A
F
r
F S
0
S 2
π
??
?
0π2 rA ??
y
O
r0
y
2r0 /p
O
C
薄壁环形截面梁最大切应力的计算
四、圆截面梁 切应力的分布特征：
边缘各点切应力的方向与圆周
相切； 切应力分布与 y轴对称；
与 y轴相交各点处的切应力其
方向与 y轴一致。
)(
*
S
ybI
SF
z
z
y ?t
关于其切应力分布的假设：
1、离中性轴为任意距离 y的水
平直线段上各点处的切应力汇
交于一点 ；
2、这些切应力沿 y方向的分量
ty沿宽度相等。
y
O
tmax
k k'
O'
d
最大切应力 tmax 在中性轴 z处
dI
SF
z
z
*
S
m a x ?t
A
F
d
F
3
4
4
π
3
4 S
2
S ?
?
?
?
?
?
?
?
d
d
dd
F
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
64
π
π3
2
4
π
2
1
4
2
S
y
O
tmax
k k'
O'
d
y
O
C
2d
/3p
Ⅱ,梁的切应力强度条件
一般 tmax发生在 FS,max所在截面的中性轴处，该位置
s=0。不计挤压，则 tmax所在点处于 纯剪切应力 状态 。
梁的切应力强度条件为
? ?tt ?m a x
? ?t?
bI
SF
z
z
*
m a x,m a x,S
材料在横力弯曲时的许用切应力
对等直梁，有
E tmax F tmaxE mm
l/2
q
G
H
C
D
F
l
ql2
/8
ql/2
ql/2
梁上 smax所在点处于
单轴应力状态,其正
应力强度条件为
? ?ss ?m a x
梁上任意点 G 和 H →平面应力状态,
若这种应力状态的点需校核强度时不
能分别按正应力和切应力进行，而必
须考虑两者的共同作用（ 强度理论 ）。
C smax D smax
E mm
l/2
q
G
H
C
D
F
l
ql2
/8
ql/2
G t s
H t
s
横力弯曲梁的强度条件：
? ?tt ?m a x
? ?ss ?m a x 强度
足够
? ?tt ?m a x
? ?ss ?m a x
确定截面尺寸
验
证
设计截面时
E mm
l/2
q
G
H
C
D
F
l
ql2
/8
ql/2
例 4-19 跨度为 6m的简支钢梁，是由 32a号工字钢在其
中间区段焊上两块 100?10 ? 3000mm的钢板制成。材
料均为 Q235钢，其 [s]=170MPa,[t]=100MPa。试校
核该梁的强度。
kN75?AF kN75?BF解 1、计算反力得
F1 F2
50kN 50kN50kN
CA B
FB1.5 m1.5 mFA 1.5 m 1.5 m y
9.5
10010
320
10
FS(kN)
x
M(kN·mm)
x
75 25
25 75
112.5 150 112.5
F1 F2
50kN 50kN50kN
CA B
FB1.5 m1.5 mFA 1.5 m 1.5 m y
9.5
10010
320
10
kN75m a x,S ?F
mkN1 5 0m a x ??M
mkN1 5 0m a x ??M
])2102320(1010012 10100[2105.1 1 0 7 5 2
3
4 ???????
zI
44 mm1016522 ??
最大弯矩为
33
4
m a x
mm1097 210)2/32 0( 1016 52 2 ?????? y IW zz
][M P a3.15410972 10150 3
6
m a x
m a x,ss ???
???
z
E W
M
F1 F2
50kN 40 kN60kN
CA B
FB1.5 m1.5 mFA 1.5 m 1.5 m y
9.5
10010
320
10
E
][M P a5.162
102.692
105.112
3
6
m a x,
s
s
??
?
?
??
z
C
C W
M
][M P a8.28
6.2 7 45.9
1075 3m a x,m a x
m a x
t
s
t
??
?
?
??
z
z
dI
S
mkN5.1 1 2 ??CM
C截面弯矩为
FS(kN)
x
M(kN·mm)
x
75 25
25 75
112.5 150 112.5
F1 F2
50kN 50kN50kN
CA B
FB1.5 m1.5 mFA 1.5 m 1.5 m y
9.5
10010
320
10
满足强度条件
剪应力强度条件
例 4-20 图示外伸梁，由工字钢制成。已知材料的许
用正应力 [σ ]=160MPa,许用剪应力 [τ ]=90MPa。试
选择工字钢的型号。
50kN 80kN
A B
150 500 500
4 7, 5 k N
3 2, 5 k N
50kN
7, 5 k N, m
1 6, 2 5 k N, m
解,（ 1） 作内力图, 确定
最大剪力和最大弯矩
FA=97.5kN,FB=32.5kN,
FSmax=50kN,
Mmax=16.25kN.m
（ 2）由正应力强度条
件，选择工字钢型号：
][m a xm a x ss ??
zW
M
3
6
m a x 56.1 0 1
1 6 0
1025.16
][ cm
MW
z ?
???
s
查表，选 14号工字钢,Wz=102cm3,d=5.5 mm,
Iz:Sz=12cm
（ 4）校核剪应力强度
][76.75
1205.5
1050
):(
3
m a x.
m a x tt ???
??? M P a
SId
F
zz
S
所以选 14号工字钢。
例 4-21 跨度 l=4m 的箱形截面简支梁，沿全长受均布
荷载 q作用，该梁是用四块木板胶合而成如图所示。已
知材料为红松,许用正应力 [σ]=10MPa,许用剪应力
[τ]=1MPa,胶合缝的许用剪应力 [τ’]=0.5MPa。 试求该
梁的容许荷载集度 q之值。
y
20
100
100
10
180
240
45 45
B
l
A
q
ql 2
FS
ql2 8
l/2M
解,1、最大弯矩、最大剪力
2、由正应力确定许可载荷
kN22/m a x,S qqlF ??
mkN28/2m a x ??? qqlM
3
3
)202240(
)452180(
12
1
12
240180
??
????
?
?zI
44 mm1014736?
33
4
m a x
mm101 22 81 20 101 47 36 ????? y IW zz
y
20
100
100
10
180
240
45 45
kN / m14.6?q
10101228 102 3
6
m a x
m a x ??
??? q
W
M
z
s
y
20
100
100
10
180
240
45 45
kN22/m a x,S qqlF ??
33
m a x,
mm108 4 6
2
1 0 0
1 0 0
452)
2
20
1 0 0(201 8 0
???
??????zS
][M P a78.01014 73 690 1084 61014.62 4
33
m a x,m a xS,
m a x tt ????
??????
z
z
bI
SF
33 mm10396)
2
20100(20180 ?????
zS
M P a367.010147 3690 103961014.62 4
33
m a xS,' ?
??
??????
z
z
bI
SFt
3、校核切应力强度条件
<[τ’]
§ 4-6 梁的合理设计
一、合理配置梁的荷载和支座
][m a xm a x ss ??
zW
M控制强度条件：
M↓
Wz↑
辅梁
l
F
l4
F
Fl
4
l4l2
Fl
8
2
m a x 125.0
0
qlMM
a
C ??
? 时当
2
m a x
0 2 1 4.0
2 0 7.0
ql
MMM
la
CB
?
??
? 时当
l/2
q
l
ql2
/8
BA
q
l
a al/2 ECD
qa
2 2
ql2
qla -
8
2
a0921[1].swf
二、合理选取截面形状
1,尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，
以使弯曲截面系数与面积比值 W/A增大。
y
z z
y
b
h z
2,对于由拉伸和压缩强度相等的材料 制成的
梁，其横截面应以中性轴为对称轴。
y
zz
y
b
h z
3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采
用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工
作拉、压应力分别达到 (或接近 )材料的许用拉应
力 [ st ] 和许用压应力 [ sc ] 。
][ t1m a xm a xt,ss ??
zI
yM
][ c2m a xm a xc,ss ??
zI
yM
][
][
c
t
2
1
s
s?
y
y
O z
y
y 1
y 2
三、合理设计梁的外形
考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截
面梁。
F1 F2
50kN 50 kN50kN
CA B
FB1.5 m1.5 mFA 1.5 m 1.5 m y
9.5
10010
320
10
若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的
许用应力，则称为 等强度梁 （ 鱼腹梁 ）。
][
6/)(
)2/(
)(
)(
2m a x ss ??? xbh
xF
xW
xM
][
3)(
sb
Fxxh ?
][
2
)2/(3
2
3
m i n
S
m a x tt ??? bh
F
A
F
][4
3
m in tb
Fh ?
(a)
l2
F
h(x
)
b
(b)
F
l2
图示悬臂梁，由三块木板胶合而成。已知：木板的
许用正应力 [σ ]=10MPa,许用剪应力 [τ ]=1MPa,胶
合缝的许用剪应力 [τ ]′ =0.3MPa。试校核梁的强度。
3 k N
5 0
5 0
1 m 5 0
1 0 0
练习题：
]'[267.0
100
12
150100
50501003000
'
][3.0
150100
3000
2
3
2
3
][8
150100
1036
3
*
m a x
2
6
m a x
m a x
tt
tt
ss
??
?
?
???
??
??
?
???
??
?
??
??
M P a
bI
SF
M P a
A
F
M P a
W
M
z
zS
S
z
作业,4-46,4-52
