第十三章 能量法
§ 13-1 概 述
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生
变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，
简称应变能。
物体在外力作用下发生变形，物体的变形
能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移
上所做的功，即
=W
?V
§ 13-2 杆件变形能计算
一、轴向拉伸和压缩
WV ??
F
F
?l ?l
lF ???
2
1
EA
lFF
2
1?
EA
lF
EA
lF N
22
22
??
??
l
N x
xEA
xF
V d
)(2
)(2
?
二、扭转
WV ??
??
??
??
m
m
???? eM
2
1
pp
e
p
e
e IG
lT
IG
lM
IG
lM
M
222
1 22
???
??
l p
x
xIG
xT
V d
)(2
)(2
?
三、弯曲
WV ??
纯弯曲：
横力弯曲：
??
l
x
xIE
xMV d
)(2
)(2
?
??? eM21
IE
lMM e
e2
1?
IE
lM
IE
lM e
22
22
??
13-3 变形能的普遍表达式
1F
2F
3F
1?
2?
3?
?????? 332211 212121 ???? FFFWV
即,线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
)(xN)(xN
)(xM)(xM
)(xT )(xT
? ?? ???
L L PL
N
GI
dxxT
EI
dxxM
EA
dxxFV
2
)(
2
)(
2
)( 222
?
所有的广义力均以静力方式，按一定比例由 O增加至最终值。
任一广义位移 与整个力系有关，但与其相应的广义力
呈线性关系。
i? iF
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功
能原理求自由端 B的挠度。
F
x
l
解：
xFxM ???)(
? ??
l EI
lFx
IE
xMV
6
d
2
)( 322
?
BwFW ?? 2
1,得由 WV ??
EI
Flw
B 3
3
?
例题：悬臂梁在自由端承受集中力 F及集中力偶矩 M0作用。
设 EI为常数，试求梁的应变能。
L
F
Me
AB
解,⑴ 弯矩方程
FxMxM e ??)(
⑵ 变形能
EI
LF
EI
FLM
EI
LM
dxFxM
EI
dx
EI
xM
V
ee
L
e
L
622
)(
2
1
2
)(
2222
2
2
???
??? ???
L
F
M0
AB
⑶ 当 F和 M0分别作用时
EI
LFV
EI
LMV e
62
32
21 ?? ??
??? VVV ?? 21
⑷ 用普遍定理
EI
LM
EI
FLwww e
MAFAA 23)()(
23
0
????
EI
LM
EI
FL e
MAFAA e ???? 2)()(
2
???
EI
LM
EI
FM
EI
LFMFwWV ee
AeA 2262
1
2
1 2232 ?????? ?
?
§ 13-4 互等定理
ji?
?位移发生点
荷载作用点
1? 2?
F1 F2
F1
11? 21?
F2
12? 22?
，外力所作的功：，后作用先作用 21 FF
121222111 2
1
2
1 ??? FFFV
e ???
，外力所作的功：，后作用先作用 12 FF
212111222 2
1
2
1 ??? FFFV
e ???
F2
12? 22?
F1
11? 21?
功的互等定理,
212121 ?? FF ?
位移互等定理,
，则得若 21 FF ?
2112 ?? ?
例：求图示简支梁 C截面的挠度。
1Cw
?B2
21 BC MwF ????解：由功的互等定理
IE
lF
MwF C
16
2
1 ???得：
IE
lM
w C
16
2
1 ?由此得：
F
例：求图示悬臂梁中点 C处的铅垂位移 。
C?
1Cw ?B2
21 BC MwF ????解：由功的互等定理
IE
l
F
MwF
C
2
2
2
1
?
?
?
?
?
?
???得：
IE
Ml
w C
8
2
1 ?由此得：
F
13-5 卡氏定理
?????? 332211 212121 ???? FFFWV
1F
2F
3F
1?
2?
3?
i?
若只给 以增量,其余不变，在 作用下，原各力作用点将产
生位移 iF i
F?
????,,,,21 i??? ???
变形能的增加量：
?? ???????????? iiii FFFFV ????? 221121
iF??
略去二阶小量，则：
?? ????????? iiFFFV ???? 2211
如果把原有诸力看成第一组力，把 看作第二组力，根据互等
定理,i
F?
?? ????????? iiii FFFF ???? 2211
所以：
iiFV ?? ????
i
iF
V ?? ?
?
? 0?? iF
i
iF
V
?? ?
?
?
变形能对任一载荷 Fi 的偏导数，等于 Fi作用点沿 Fi方向的位移
卡氏第二定理
推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构。
横力弯曲：
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
L i
Lii
i
dx
F
xM
EI
xM
dx
EI
xM
FF
V
)()(
)
2
)(
(
2
??
桁架杆件受拉压：
?
?
?
n
j j
jjN
EA
LF
V
1
2
2? ?? ?
???
?
?? n
j i
jN
j
jjN
i
i F
F
EA
LF
F
V
1
??
轴受扭矩作用：
? ???????
L iPi
i dxF
xT
GI
xT
F
V )()(??
13-6 单位载荷法 莫尔积分
1F 2F
C
?
M x( )
M x0 ( )
M x M x( ) ( )? 0
1F 2F
C
C
??
l
x
IE
xMV d
2
)(2
?
??
l
x
IE
xMV d
2
)]([ 20
0?
? ??
l
x
IE
xMxMV d
2
)]()([( 20
1?
1F 2F
C
0F
10 ?F
C
10 ?F
1F 2F
作功：0F 0?V
?
作功：,21 FF ?V
上又作功：在 ?0F 1??
?????
?
?
?
?
?
?
?
1
01 ??
VVW
共做功
11 ?VW ?
? ??????
l
x
IE
xMxMVV d
2
)]()([(1 20
0 ??
? ? ?? ? ?M x
E I
x M x
E I
x
M x M x
E I
x
l l l
2 0 2 0
2 2
( ) [ ( )] ( ) ( )d d d
1
0
? ? ??
M x M x
E I
x
l
( ) ( )
d
? ? ?
M x M x
E I
x
l
( ) ( )
0
d
? ? ?
M x M x
E I
x
l
( ) ( )0
d
莫尔定理
（莫尔积分）
? ? ?
M x M x
E I
x
l
( ) ( )0
d
??? ????
ll pl
NN x
IE
xMxM
x
IG
xTxT
x
AE
xFxF
d
)()(
d
)()(
d
)()( 00
0
对于组合变形：
注意：上式中 应看成广义位移，把单 位力看成与广
义位移对应的广义力
?
例：试用莫尔定
理计算图 (a)所 示
悬臂梁自由端 B
的挠度和转角。
F
A
B
A
B
A
B
l
x
x
x
1
1
xxMFxxM
bB
???? )(,)(
)(,)1(
0
所示如图截面作用一单位力在解：
v
M x M x
E I
xB
l
? ?
( ) ( )0
d??
l
x
IE
Fx
0
2
d ? ???
EI
Fl
3
3
1)(,)(
)(,)2(
0 ???? xMFxxM
cB 所示如图截面作用一单位力偶在
? B
l
M x M x
E I
x? ?
( ) ( )0
d??
l
x
IE
Fx
0
d ? ?
EI
Fl
2
2
?
§ 13-7计算莫尔积分的图乘法
在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形
式的积分：
???
l
x
IE
xMxM
d
)()(
?
l
xxMxM d)()(
对于等直杆,EI=const，可以提到积分号外，
故只需计算积分
直杆的 M0(x)图必定是直线或折线。
?tg)( ?? xxM
?
?
???
l
l
xxMx
xxMxM
d)(tg
d)()(
?
? ? ?tg ? ? x C
CM?? ?
IE
M
x
IE
xMxM
C
l
?
?
?? ? d
)()(
顶点
顶点
? ? 2
3
l h ? ? 1
3
l h
二次抛物线
例：试用图乘法求 所 示悬臂梁自由端 B的挠度和转角。
L
F
IE
M
x
IE
xMxM
w
C
l
B
?
?
? ? d
)()(
???
?
???
??
3
2
2
1 2 lFl
IE
? ??? IEFl3 3
Fl
F
解 （ 1）求自由端的挠度
Fl
F
m=1
(2) 求自由端的转角
??
?
?
??
?
?
?? 1
2
1 2Fl
IEB
?
? ?顺时针
IE
Fl
2
2
?
例：试用图乘法求 所 示简支梁的最大挠度和最大
转角。
q
l
ql2 8/
l/4
M
???
?
???
?
????
32
5
823
22 2
m a x
lqll
IE
w
? ?? ?5
384
4ql
E I
解 （ 1） 简支梁的最大挠度
??
?
?
??
?
?
????
2
1
83
21 2
m a x
ql
l
IE
?
?
ql
E I
3
24
ql 2 8/
（ 2）求最大转角
最大转角发生在两个支座处
例：试用图乘法求 所 示简支梁 C截面的挠
度和 A,B截面的转角。
CL12TU34
解：
???
?
???
?
??
28
1 2 Ml
IE
w C
? ???
IE
lm
16
2
l/4
? A
E I
m l
? ??
??
?
??
1
2
1
3
? ?? m l
E I6
顺时针
? B
E I
m l
? ??
??
?
??
1
2
2
3
? ?? m l
E I3
逆时针
例：试用图乘法求 所 示悬臂梁自由端 B的
挠度和转角。
CL12TU35
解：
???
?
???
?
???
4
3
23
1 2 lqll
IE
w B
? ?? ?ql
E I
4
8
ql2
2
? B
E I
l ql
? ? ?
?
?
?
?
?
?
1
3 2
1
2
? ?? ql
E I
3
6
顺时针
ql2
2
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点 C处的
铅垂位移。
CL12TU36
解：
???
?
???
?
?? ml
IE
w C
8
1 2
? ?? ?ml
E I
2
8
例：图示梁，抗弯刚度为 EI，承受均布载
荷 q及集中力 X作用。用图乘法求：
(1)集中力作用端挠度为零时的 X值；
(2)集中力作用端转角为零时的 X值。
CL12TU37
F
解,(1)
???
?
???
? ??????
2123
2
23
2
2
1 32 aqlaFaaF a l
IEC?
?0
ql 2 8/
)(8
3
ala
qlF
??
F
(2)
???
?
???
? ??????
2
1
12123
2
2
1 32 qlFaF a l
IEC?
?0
ql 2 8/
)32(4
3
ala
qlF
??
例：图示梁的抗弯刚度为 EI，试求 D点的
铅垂位移。
CL12TU38
解：
???
?
???
?
??
3
2
2
3 2 aPa
IEC
? ? Pa
E I
3
例：图示开口刚架,EI=const。求 A,B两
截面的相对角位移 θ AB 和沿 P力作用线方向的
相对线位移 ΔAB 。
CL12TU39
解：
? AB Pa
E I
? ? ? ? ???? ???2 1
8
1
3
2 1
2
1
2
3
? 2
3
3Pa
E I
? AB ? 0
例：用图乘法求图示阶梯状梁 A截面的转
角及 E截面的挠度。
CL12TU40
解：
? A
Pa
E I
Pa
E I
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
2
2
1
2
5
6
1
2
1
6
2
2
1
2
? Pa
E I
2
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
1
2
3
2
2
3
1
2
1
3
3
IE
Pa
IE
Pa
E
?
? 13
12
3Pa
E I
例：图示刚架,EI=const。求 A截面的水
平位移 ΔAH 和转角 θ A。
CL12TU41
解：
qa
2
qa/2
qa
qa2
2
? ?? AH qaE I qaE I? ? ? ???? ??? ? ?
4 41
4
2
3
1
3
5
8
3
8
§ 13-1 概 述
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生
变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，
简称应变能。
物体在外力作用下发生变形，物体的变形
能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移
上所做的功，即
=W
?V
§ 13-2 杆件变形能计算
一、轴向拉伸和压缩
WV ??
F
F
?l ?l
lF ???
2
1
EA
lFF
2
1?
EA
lF
EA
lF N
22
22
??
??
l
N x
xEA
xF
V d
)(2
)(2
?
二、扭转
WV ??
??
??
??
m
m
???? eM
2
1
pp
e
p
e
e IG
lT
IG
lM
IG
lM
M
222
1 22
???
??
l p
x
xIG
xT
V d
)(2
)(2
?
三、弯曲
WV ??
纯弯曲：
横力弯曲：
??
l
x
xIE
xMV d
)(2
)(2
?
??? eM21
IE
lMM e
e2
1?
IE
lM
IE
lM e
22
22
??
13-3 变形能的普遍表达式
1F
2F
3F
1?
2?
3?
?????? 332211 212121 ???? FFFWV
即,线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
)(xN)(xN
)(xM)(xM
)(xT )(xT
? ?? ???
L L PL
N
GI
dxxT
EI
dxxM
EA
dxxFV
2
)(
2
)(
2
)( 222
?
所有的广义力均以静力方式，按一定比例由 O增加至最终值。
任一广义位移 与整个力系有关，但与其相应的广义力
呈线性关系。
i? iF
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功
能原理求自由端 B的挠度。
F
x
l
解：
xFxM ???)(
? ??
l EI
lFx
IE
xMV
6
d
2
)( 322
?
BwFW ?? 2
1,得由 WV ??
EI
Flw
B 3
3
?
例题：悬臂梁在自由端承受集中力 F及集中力偶矩 M0作用。
设 EI为常数，试求梁的应变能。
L
F
Me
AB
解,⑴ 弯矩方程
FxMxM e ??)(
⑵ 变形能
EI
LF
EI
FLM
EI
LM
dxFxM
EI
dx
EI
xM
V
ee
L
e
L
622
)(
2
1
2
)(
2222
2
2
???
??? ???
L
F
M0
AB
⑶ 当 F和 M0分别作用时
EI
LFV
EI
LMV e
62
32
21 ?? ??
??? VVV ?? 21
⑷ 用普遍定理
EI
LM
EI
FLwww e
MAFAA 23)()(
23
0
????
EI
LM
EI
FL e
MAFAA e ???? 2)()(
2
???
EI
LM
EI
FM
EI
LFMFwWV ee
AeA 2262
1
2
1 2232 ?????? ?
?
§ 13-4 互等定理
ji?
?位移发生点
荷载作用点
1? 2?
F1 F2
F1
11? 21?
F2
12? 22?
，外力所作的功：，后作用先作用 21 FF
121222111 2
1
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，外力所作的功：，后作用先作用 12 FF
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1 ??? FFFV
e ???
F2
12? 22?
F1
11? 21?
功的互等定理,
212121 ?? FF ?
位移互等定理,
，则得若 21 FF ?
2112 ?? ?
例：求图示简支梁 C截面的挠度。
1Cw
?B2
21 BC MwF ????解：由功的互等定理
IE
lF
MwF C
16
2
1 ???得：
IE
lM
w C
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2
1 ?由此得：
F
例：求图示悬臂梁中点 C处的铅垂位移 。
C?
1Cw ?B2
21 BC MwF ????解：由功的互等定理
IE
l
F
MwF
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?
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???得：
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w C
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1 ?由此得：
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13-5 卡氏定理
?????? 332211 212121 ???? FFFWV
1F
2F
3F
1?
2?
3?
i?
若只给 以增量,其余不变，在 作用下，原各力作用点将产
生位移 iF i
F?
????,,,,21 i??? ???
变形能的增加量：
?? ???????????? iiii FFFFV ????? 221121
iF??
略去二阶小量，则：
?? ????????? iiFFFV ???? 2211
如果把原有诸力看成第一组力，把 看作第二组力，根据互等
定理,i
F?
?? ????????? iiii FFFF ???? 2211
所以：
iiFV ?? ????
i
iF
V ?? ?
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? 0?? iF
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iF
V
?? ?
?
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变形能对任一载荷 Fi 的偏导数，等于 Fi作用点沿 Fi方向的位移
卡氏第二定理
推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构。
横力弯曲：
?
?
?
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L i
Lii
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桁架杆件受拉压：
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???
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F
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V
1
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轴受扭矩作用：
? ???????
L iPi
i dxF
xT
GI
xT
F
V )()(??
13-6 单位载荷法 莫尔积分
1F 2F
C
?
M x( )
M x0 ( )
M x M x( ) ( )? 0
1F 2F
C
C
??
l
x
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2
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l
x
IE
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0?
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l
x
IE
xMxMV d
2
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1?
1F 2F
C
0F
10 ?F
C
10 ?F
1F 2F
作功：0F 0?V
?
作功：,21 FF ?V
上又作功：在 ?0F 1??
?????
?
?
?
?
?
?
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1
01 ??
VVW
共做功
11 ?VW ?
? ??????
l
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2
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x M x
E I
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E I
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2 0 2 0
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( ) [ ( )] ( ) ( )d d d
1
0
? ? ??
M x M x
E I
x
l
( ) ( )
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M x M x
E I
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l
( ) ( )
0
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M x M x
E I
x
l
( ) ( )0
d
莫尔定理
（莫尔积分）
? ? ?
M x M x
E I
x
l
( ) ( )0
d
??? ????
ll pl
NN x
IE
xMxM
x
IG
xTxT
x
AE
xFxF
d
)()(
d
)()(
d
)()( 00
0
对于组合变形：
注意：上式中 应看成广义位移，把单 位力看成与广
义位移对应的广义力
?
例：试用莫尔定
理计算图 (a)所 示
悬臂梁自由端 B
的挠度和转角。
F
A
B
A
B
A
B
l
x
x
x
1
1
xxMFxxM
bB
???? )(,)(
)(,)1(
0
所示如图截面作用一单位力在解：
v
M x M x
E I
xB
l
? ?
( ) ( )0
d??
l
x
IE
Fx
0
2
d ? ???
EI
Fl
3
3
1)(,)(
)(,)2(
0 ???? xMFxxM
cB 所示如图截面作用一单位力偶在
? B
l
M x M x
E I
x? ?
( ) ( )0
d??
l
x
IE
Fx
0
d ? ?
EI
Fl
2
2
?
§ 13-7计算莫尔积分的图乘法
在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形
式的积分：
???
l
x
IE
xMxM
d
)()(
?
l
xxMxM d)()(
对于等直杆,EI=const，可以提到积分号外，
故只需计算积分
直杆的 M0(x)图必定是直线或折线。
?tg)( ?? xxM
?
?
???
l
l
xxMx
xxMxM
d)(tg
d)()(
?
? ? ?tg ? ? x C
CM?? ?
IE
M
x
IE
xMxM
C
l
?
?
?? ? d
)()(
顶点
顶点
? ? 2
3
l h ? ? 1
3
l h
二次抛物线
例：试用图乘法求 所 示悬臂梁自由端 B的挠度和转角。
L
F
IE
M
x
IE
xMxM
w
C
l
B
?
?
? ? d
)()(
???
?
???
??
3
2
2
1 2 lFl
IE
? ??? IEFl3 3
Fl
F
解 （ 1）求自由端的挠度
Fl
F
m=1
(2) 求自由端的转角
??
?
?
??
?
?
?? 1
2
1 2Fl
IEB
?
? ?顺时针
IE
Fl
2
2
?
例：试用图乘法求 所 示简支梁的最大挠度和最大
转角。
q
l
ql2 8/
l/4
M
???
?
???
?
????
32
5
823
22 2
m a x
lqll
IE
w
? ?? ?5
384
4ql
E I
解 （ 1） 简支梁的最大挠度
??
?
?
??
?
?
????
2
1
83
21 2
m a x
ql
l
IE
?
?
ql
E I
3
24
ql 2 8/
（ 2）求最大转角
最大转角发生在两个支座处
例：试用图乘法求 所 示简支梁 C截面的挠
度和 A,B截面的转角。
CL12TU34
解：
???
?
???
?
??
28
1 2 Ml
IE
w C
? ???
IE
lm
16
2
l/4
? A
E I
m l
? ??
??
?
??
1
2
1
3
? ?? m l
E I6
顺时针
? B
E I
m l
? ??
??
?
??
1
2
2
3
? ?? m l
E I3
逆时针
例：试用图乘法求 所 示悬臂梁自由端 B的
挠度和转角。
CL12TU35
解：
???
?
???
?
???
4
3
23
1 2 lqll
IE
w B
? ?? ?ql
E I
4
8
ql2
2
? B
E I
l ql
? ? ?
?
?
?
?
?
?
1
3 2
1
2
? ?? ql
E I
3
6
顺时针
ql2
2
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点 C处的
铅垂位移。
CL12TU36
解：
???
?
???
?
?? ml
IE
w C
8
1 2
? ?? ?ml
E I
2
8
例：图示梁，抗弯刚度为 EI，承受均布载
荷 q及集中力 X作用。用图乘法求：
(1)集中力作用端挠度为零时的 X值；
(2)集中力作用端转角为零时的 X值。
CL12TU37
F
解,(1)
???
?
???
? ??????
2123
2
23
2
2
1 32 aqlaFaaF a l
IEC?
?0
ql 2 8/
)(8
3
ala
qlF
??
F
(2)
???
?
???
? ??????
2
1
12123
2
2
1 32 qlFaF a l
IEC?
?0
ql 2 8/
)32(4
3
ala
qlF
??
例：图示梁的抗弯刚度为 EI，试求 D点的
铅垂位移。
CL12TU38
解：
???
?
???
?
??
3
2
2
3 2 aPa
IEC
? ? Pa
E I
3
例：图示开口刚架,EI=const。求 A,B两
截面的相对角位移 θ AB 和沿 P力作用线方向的
相对线位移 ΔAB 。
CL12TU39
解：
? AB Pa
E I
? ? ? ? ???? ???2 1
8
1
3
2 1
2
1
2
3
? 2
3
3Pa
E I
? AB ? 0
例：用图乘法求图示阶梯状梁 A截面的转
角及 E截面的挠度。
CL12TU40
解：
? A
Pa
E I
Pa
E I
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
2
2
1
2
5
6
1
2
1
6
2
2
1
2
? Pa
E I
2
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
1
2
3
2
2
3
1
2
1
3
3
IE
Pa
IE
Pa
E
?
? 13
12
3Pa
E I
例：图示刚架,EI=const。求 A截面的水
平位移 ΔAH 和转角 θ A。
CL12TU41
解：
qa
2
qa/2
qa
qa2
2
? ?? AH qaE I qaE I? ? ? ???? ??? ? ?
4 41
4
2
3
1
3
5
8
3
8
