第九章 压杆稳定
§ 9-1 压杆稳定性的概念
CL13TU1
钢板尺：一端固定
一端自由
CL13TU2
F
称为临界压力
rcF
FF <Fcr
F >Fcr
F
CL13TU3
§ 9-2 细长压杆的临界压力
欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU4
F F
W
x l
W
F F
Fw
wFxM ??)(
FwxM ??)(
wFxMIwE ??? )(''
0'' ?? w
IE
F
w即
IE
F
k ?2令
02'' ?? wkw，则
kxBkxAw c oss in ??通解：
CL13TU5
sin kl ? 0
边界条件,00 ?? wx 时,? ?B 0
0?? wlx 时,? ?A kls in 0
? ? ?kl n n? (,,,)0 1 2 ?
k
n
l
?
?
2
22
l
IEn
F
?
??
IE
F
k ?2
IE
F
?
CL13TU6
CL13TU7
2
2
l
IE
F
rc
?
?
两端铰支细长压杆临界压力的 欧拉公式
Fcr
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
称为长度系数?
?
?
2
2
)( l
IE
F
rc
?
CL13TU8
1
2
2
?
?
?
?
l
IE
F
rc
Fcr
CL13TU9
2
)2(
2
2
?
?
?
?
l
IE
F
rc
Fcr Fcr
CL13TU10
7.0
)7.0(
2
2
?
?
?
?
l
IE
F
rc
Fcr
CL13TU11
5.0
)5.0(
2
2
?
?
?
?
l
IE
F
rc
Fcr
CL13TU12
2
2
l
IE
F rc
?
?
? 2
22
E I
l( )
? 2
20 7
E I
l(, )
? 2
20 5
E I
l(, )
Fcr FcrF
cr
Fcr
CL13TU13
例 9-1：图示结构,①、②两杆 截面和材料相同
，为细长压杆。确定使载荷 F 为最大值时的 θ
角（设 0<θ<π /2）。
?
?
90?
②①
CL13TU14
F
解：由静力平衡条件可 解得两杆的压力分别为,
?? s inc o s 21 FFFF NN ??,
两杆的临界压力分别为,
2
2
2
22
1
2
1 l
IEF
l
IEF
rcrc
?? ??,
到临界压力，即
都达、最大，只有要使 21 NN FFF
）（
）（
2s in
1c o s
2
2
2
2
1
2
l
IE
F
l
IE
F
?
?
?
?
?
? ?
90?
②①
F
将式 除以式 便得( ) ( ),2 1 1
2
2
tg ? ?
?
?
?
?
?
?
l
l
? ctg 2 ?
由此得 ? ?? a rc tg (c tg 2 )
?
90?
②①
CL13TU16
F
§ 9-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一、压杆的临界应力
2
2
)( l
IE
F rc
?
?
?
A
F rc
rc ?? ?
?
?
2
2
E I
l A( )
?
?
?
2 2
2
E i A
l A
( )
( )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
E
l
i
令 ? ?? l
i 则 ?
?
?
c r
E
?
2
2 CL13TU17
?
?
?
l
i
压杆的长细比
压杆的柔度
计算压杆的临界
应力的欧拉公式? ?
?
c r
E
?
2
2
CL13TU18
二、欧拉公式的适用范围 经验公式
在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微
分方程
)('' xMwIE ?
prc
E
?
?
?
? ??
2
2
在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉
公式也只有在满足胡克定律时才能适用：
CL13TU19
或写成 ?
?
?
?
2 E
p
欧拉公式的适用范围：
满足该条件的杆称为 细长杆 或大柔度杆
p
E
?
?
?
2
1 ?记
1?? ?
CL13TU20
对 A3钢，当取 E=206GPa,σp=200MPa,则
p
E
?
?
?
2
1?
所以，只有压杆的长细比 λ≥100时，才能应用欧
拉公式计算其临界压力。
?
? ?
?
? 2 9
6
206 10
200 10
? 100
CL13TU21
当压杆的长细比 λ＜ λ1时，欧拉公式已不适
用。
? ?c r a b? ?
直线公式
式中 a,b是与材料性质有关的系数。
在工程上，一般采用经验公式。 在我国
的设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物
线公式。
CL13TU22
表 13-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 a( MPa) b( MPa)
A3 钢 304 1.12
优质碳钢 461 2.568
硅钢 578 3.744
铬钼钢 9807 5.296
铸铁 332.2 1.454
强铝 373 2.15
松木 28.7 0.19
CL13TU23
下面考虑经验公式的适用范围：
? ? ?c r sa b? ? ?
经验公式的适用范围
对于塑性材料：
即 ?
?
?
?a
b
s
b
a s?? ??
2记
12 ??? ??则
CL13TU24
对于 λ＜ λ2的杆，不存在失稳问题，应考虑强
度问题
? ?c r s?
? ?c r a b? ?1 1 2
a b1 1、
经验公式中，抛物线公式的表达式为
式中 也是与材料性质有关的系数，可
在有关的设计手册和规范中查到。 CL13TU25
三、临界应力总图
src
rc
rc
ba
E
??
??
??
???
?
?
?
??
?
?
??
??
?
?
用强度条件粗短杆
用经验公式中长杆
用欧拉公式细长杆
),(.3
),(.2
),(.1
2
12
2
2
1
CL13TU26
? ?c r s?
? ?c r a b? ?
?
?
?
c r
E
?
2
2
b
a s?? ??
2
p
E
?
?
?
2
1 ?
?
?
?
l
i
?cr
O
小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
?s
?p
CL13TU27
§ 13-4 压杆的稳定性计算
稳定性条件：
maxF
rcF
[ ]nst
nst
式中 ------压杆所受最大工作载荷
------压杆的临界压力
------压杆的规定稳定安全系数
式中 为压杆实际的工作稳定安全系数。
st
cr
n
F
F
n ??
CL13TU28
例 9-2：图示圆截面压杆 d=40mm,σs=235MPa
。求可以用经验公式 σcr=304-1.12λ (MPa)计算
临界应力时的最小杆长。
CL13TU29
F
?
?
?
b
a s?
? 2解：
304 235
1 12
61 6
?
?
.
.
得：由 2?
?
? ??
i
l
m88.0
7.0
4
04.0
6.61
2
????
?
?
i
l
CL13TU30
例题 9-3：空压机活塞杆由 45＃ 制成。 ?s＝ 350MPa，
?p＝ 280MPa,E＝ 210GPa。 L＝ 703mm,d＝
45mm,Fmax＝ 41.6kN，规定安全系数 nst＝ 8～ 10。
试校核其稳定性。
解：活塞杆两端为铰支,?＝ 1。
4
2
4
4
64
d
d
d
A
I
i ???
?
?
CL13TU32
86
2
1 ??
p
E
?
?
?
1?? ?
5.62
4
45
7 0 3
???
i
l?
?
所以用直线公式，查表 a＝ 461MPa，
b＝ 2.568MPa。
12 ??? ??
中柔度杆
CL13TU33
M P a3 0 1
5.625 6 8.24 6 1
?
????? ?? bacr
kN4 7 8?? crcr AF ?
st
cr n
F
F
n ??? 5.11
m a x
CL13TU34
作业（ P251-254)
1,2,3,6,16