第五章 梁弯曲时的位移
§ 5-1 梁的位移 — 挠度及转角
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。
研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用 w表示。
与 y 同向为正，反之为负。
2.转角：横截面绕其中性轴转
动的角度。用 ? 表示，顺时
针转动为正,反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为,w =f (x)
三、转角与挠曲线的关系：
一、度量梁变形的两个基本位移量
F
x
w
C
?
C1y
? ?xfw ????? ?? t a n
小变形
§ 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
? ?
? ?
EI
xM
x ??
1
? ? ? ? 2321
1
w
w
x ??
????
?
因为在小变形情况下,lw ??
11 2 ??? w
所以：
? ? wx ?????
1 ? ? ?
EI
xMw ????
? ?
EI
xMw ????
即：
? ?xMwEI ????
对于本书采用的坐标系，由下图可见：
M
M>0,w″<0
x
y
M
M<0,w″>0
x
y
对等直梁：
此即为 挠曲线的近似微分方程
二、求挠曲线方程（弹性曲线）
)()(" xMxE I w ??
1d))(()(' CxxMxE I w ??? ?
? ? 11dd))(()( DxCxxxMxE I w ???? ? ?
1.微分方程的积分
C1,D1为常数，由梁的边界条件（包括位移约
束和连续条件）确定。
常数 C1,D1确定后，代入上两式即可分别得到
梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的
转角和挠度。
2、积分常数确定
F
A BC
F
D
0,0 ?? BA ww
0,0 ?? DDw ?
?位移边界条件：
?连续条件：
?光滑条件：
右左 CC ?? ?
右左 CC ww ?
例 5-1 由积分法求图示梁的 wA,?A。
F
A B
l
解,1、弯矩方程
y
x
x FxxM ??)(
2、微分方程及积分
DCxx
F
E I w
Cx
F
E I w
FxE I w
???
??
?
3
2
6
2
'
"
3、确定积分常数
3,0;20',
32 Fl
DwFlCwlx ????????
4、转角方程，弯矩方程
)23(
6
)(
2
'
323
22
lxlx
EI
F
w
xl
EI
F
w
???
??
5、最大转角和最大挠度
（向下）
（逆时针）
EI
Fl
w
EI
Fl
w
A
A
3
2
'
3
2
?
??
? ?xMwEI ????
积分法求解梁位移的思路：
① 建立合适的坐标系；
② 求弯矩方程 M(x) ；
③ 建立近似微分方程：
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数；
⑥ 一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接
判别。
根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。
wEI ? ;EIw④ 积分求 和
例 5-2 图示简支梁受分布力作用, 确定其挠度, 转
角方程及最大挠度和转角, EI为常数 。
解,1、弯矩方程为：
2
22)( x
qxqlxM ??
代入微分方程并积分得
DCxlx
qx
xE I w
Clx
qx
xEI
????
???
)2(
24
)(
)32(
6
)(
3
2
?
y
2
22" x
qxqlE I w ???
代入边界条件,w(0)=0,w(l)=0
D=0
24
3ql
C ?
所以
)2(
24
)(
)46(
24
)(
323
323
xlxl
EI
qx
xw
xlxl
EI
q
x
???
????
EI
qlw
EI
ql
BA 384
5,
24
4
m a x
3
m a x ????? ???
? ? FxxM ??
? ?ax ??0
? ? FxxMwEI ?????1
1
2
1 2
1 CFxwEI ???
11
3
1 6
1 DxCFxE I w ???
例 5-3 由积分法求图示梁的 wA,?A。
解,1)坐标系如图；
AC段：
则近似微分方程为：
积分可得：
x
y
x
x
Fa
a a
F
EI
CA
B 2) 分两段进行分析：
? ? FaFxxM ???? ?axa 2??BC段：
FaFxwEI ???2
2
2
2 2
1 CF a xFxwEI ????
22
23
2 2
1
6
1 DxCF a xFxE I w ????
积分可得：
则近似微分方程为：
利用约束和连续条件确定 C1, D1, C2,D2四个常数：
ax 2? 时,约束条件：
022 ??? ww
连续条件,ax ? 处,
22
1
2
2
1
2
1 FaFaCFa ???
2121 wwww ???? ；
由此可得：
333
11
3
3
2
2
1
6
1
6
1 FaFaFaDaCFa ?????
即,；2
1 FaC ?? 3
1 6
7 FaD ?
02 ?C
由此可得：
3
2 3
2 FaD ?
EI
FaDww
xA 6
7 3
101 ??? ?
EI
FaCw
xA
2
101 ' ???? ??
最后可得：
（向下）
（逆时针）
(2) 由约束和连续条件求积分常数；
(1) 两段：四个常数, 每增加一段, 就增加
两个积分常数；
小结：
(3) 坐标原点一律放在左边，分段写出 M(x)；
(4) 注意 x的范围。
例 5-4 求图示弯曲刚度为 EI的简支梁的挠曲线和转角
方程, 并确定其最大挠度和最大转角 。
? ? xlbFxMwEI ??????1
解：坐标系如图，求出反力。
AD段,? ?ax ??0
则：
? ? xlbFxM ?
BA
x
y
F
D
a b
l
x FBFA
分 AD,DB两段分析：
1
2
1 2 C
x
l
bFwEI ?????积分可得：
DB段：
则：
11
3
1 6 DxC
x
l
bFE I w ?????
? ?lxa ?? ? ? ? ?axFx
l
bFxM ???
? ? ? ?axFxlbFxMwEI ????????2
BA
x
y
F
D
a b
l
x
直接以 (x-a)作为自变量进行积分，可得：
? ?
2
22
2 22 C
axFx
l
bFwEI ???????
? ?
22
33
2 66 DxC
axFx
l
bFE I w ???????
确定 C1,C2,D1,D2四个常数：
21 DD ?
则：
21 CC ?
ax ? 2121 wwww ???? ；处,（ 1）连续条件：
21 0 DD ??
由此可得：
lx? 02 ?wb) 处,
? ? 1222 6 CbllFbC ???
由此可得：
（ 2）约束条件,0?x 时, 0
1 ?w
a)
? ? ?
?
?
??
? ????? 222
11 3
1
2
xbl
l E I
Fbw?
则梁的挠曲线和转角方程为：
AD段：
? ?? ?2221 6 xbll E IF b xw ???
DB段：
? ? ? ? ?
?
?
??
? ??????? 2222
22 3
1
2
xblax
b
l
l E I
Fbw?
? ? ? ? ?
?
?
??
? ????? 3223
2 6 xxblaxb
l
l E I
Fbw
由此可得梁左右两支座截面的转角分别为：
? ?
l E I
blF a b
A 6
??? ? ?
l E I
alF a b
B 6
????
梁的变形曲线以及相关的量见下图。
对 AD段，由 w'1=0可得极值点位置为：
当 a>b时，右支座截面的转角绝对值最大，为：
? ?
l E I
alF a b
B 6m a x
???? ??
? ?
3
2
3
22
1
baablx ????
BA C
x
y
wC
?A
F
wmax ?B
D
l/2
ⅡⅠ
x1
a b
当 a>b时，可见 x1将小于 a，则最大挠度在 AD段，为：
? ? 3221m a x
391
bl
l E I
Fbww
xx ??? ?
当载荷接近于右支座，即 b很小时，由上式可得：
EI
F b l
EI
F b lw 22
m a x 0 6 4 2.039 ??
而此时梁中点 C截面处的挠度为：
EI
F b l
EI
F b lw
C
22
0 6 2 5.016 ??
两者相差也不超过中点挠度的 3%。
因此，在简支梁中，只要挠曲线无拐点，即可有
中点挠度来代替最大挠度。
当载荷作用在梁的中点，即 a=b=l/2时，其最大转
角和挠度为：
EI
Fl
16
2
m a x ??? EI
Flww
C 48
3
m a x ??
总结,遵循了两个规则，即
1）对各段都参照同一坐标原点建立弯矩方程；
2）以 (x-a)为自变量对 (x-a)项进行积分，则由
x=a处的连续条件可得两段梁对应的积分常数
分别相等的结果。
练习题,由积分法求图示梁的 wA,?A。
M
A B
l
作业,5-2,5-4,5-10
§ 5-1 梁的位移 — 挠度及转角
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。
研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用 w表示。
与 y 同向为正，反之为负。
2.转角：横截面绕其中性轴转
动的角度。用 ? 表示，顺时
针转动为正,反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为,w =f (x)
三、转角与挠曲线的关系：
一、度量梁变形的两个基本位移量
F
x
w
C
?
C1y
? ?xfw ????? ?? t a n
小变形
§ 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
? ?
? ?
EI
xM
x ??
1
? ? ? ? 2321
1
w
w
x ??
????
?
因为在小变形情况下,lw ??
11 2 ??? w
所以：
? ? wx ?????
1 ? ? ?
EI
xMw ????
? ?
EI
xMw ????
即：
? ?xMwEI ????
对于本书采用的坐标系，由下图可见：
M
M>0,w″<0
x
y
M
M<0,w″>0
x
y
对等直梁：
此即为 挠曲线的近似微分方程
二、求挠曲线方程（弹性曲线）
)()(" xMxE I w ??
1d))(()(' CxxMxE I w ??? ?
? ? 11dd))(()( DxCxxxMxE I w ???? ? ?
1.微分方程的积分
C1,D1为常数，由梁的边界条件（包括位移约
束和连续条件）确定。
常数 C1,D1确定后，代入上两式即可分别得到
梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的
转角和挠度。
2、积分常数确定
F
A BC
F
D
0,0 ?? BA ww
0,0 ?? DDw ?
?位移边界条件：
?连续条件：
?光滑条件：
右左 CC ?? ?
右左 CC ww ?
例 5-1 由积分法求图示梁的 wA,?A。
F
A B
l
解,1、弯矩方程
y
x
x FxxM ??)(
2、微分方程及积分
DCxx
F
E I w
Cx
F
E I w
FxE I w
???
??
?
3
2
6
2
'
"
3、确定积分常数
3,0;20',
32 Fl
DwFlCwlx ????????
4、转角方程，弯矩方程
)23(
6
)(
2
'
323
22
lxlx
EI
F
w
xl
EI
F
w
???
??
5、最大转角和最大挠度
（向下）
（逆时针）
EI
Fl
w
EI
Fl
w
A
A
3
2
'
3
2
?
??
? ?xMwEI ????
积分法求解梁位移的思路：
① 建立合适的坐标系；
② 求弯矩方程 M(x) ；
③ 建立近似微分方程：
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数；
⑥ 一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接
判别。
根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。
wEI ? ;EIw④ 积分求 和
例 5-2 图示简支梁受分布力作用, 确定其挠度, 转
角方程及最大挠度和转角, EI为常数 。
解,1、弯矩方程为：
2
22)( x
qxqlxM ??
代入微分方程并积分得
DCxlx
qx
xE I w
Clx
qx
xEI
????
???
)2(
24
)(
)32(
6
)(
3
2
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y
2
22" x
qxqlE I w ???
代入边界条件,w(0)=0,w(l)=0
D=0
24
3ql
C ?
所以
)2(
24
)(
)46(
24
)(
323
323
xlxl
EI
qx
xw
xlxl
EI
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???
????
EI
qlw
EI
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BA 384
5,
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4
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3
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? ? FxxM ??
? ?ax ??0
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1
2
1 2
1 CFxwEI ???
11
3
1 6
1 DxCFxE I w ???
例 5-3 由积分法求图示梁的 wA,?A。
解,1)坐标系如图；
AC段：
则近似微分方程为：
积分可得：
x
y
x
x
Fa
a a
F
EI
CA
B 2) 分两段进行分析：
? ? FaFxxM ???? ?axa 2??BC段：
FaFxwEI ???2
2
2
2 2
1 CF a xFxwEI ????
22
23
2 2
1
6
1 DxCF a xFxE I w ????
积分可得：
则近似微分方程为：
利用约束和连续条件确定 C1, D1, C2,D2四个常数：
ax 2? 时,约束条件：
022 ??? ww
连续条件,ax ? 处,
22
1
2
2
1
2
1 FaFaCFa ???
2121 wwww ???? ；
由此可得：
333
11
3
3
2
2
1
6
1
6
1 FaFaFaDaCFa ?????
即,；2
1 FaC ?? 3
1 6
7 FaD ?
02 ?C
由此可得：
3
2 3
2 FaD ?
EI
FaDww
xA 6
7 3
101 ??? ?
EI
FaCw
xA
2
101 ' ???? ??
最后可得：
（向下）
（逆时针）
(2) 由约束和连续条件求积分常数；
(1) 两段：四个常数, 每增加一段, 就增加
两个积分常数；
小结：
(3) 坐标原点一律放在左边，分段写出 M(x)；
(4) 注意 x的范围。
例 5-4 求图示弯曲刚度为 EI的简支梁的挠曲线和转角
方程, 并确定其最大挠度和最大转角 。
? ? xlbFxMwEI ??????1
解：坐标系如图，求出反力。
AD段,? ?ax ??0
则：
? ? xlbFxM ?
BA
x
y
F
D
a b
l
x FBFA
分 AD,DB两段分析：
1
2
1 2 C
x
l
bFwEI ?????积分可得：
DB段：
则：
11
3
1 6 DxC
x
l
bFE I w ?????
? ?lxa ?? ? ? ? ?axFx
l
bFxM ???
? ? ? ?axFxlbFxMwEI ????????2
BA
x
y
F
D
a b
l
x
直接以 (x-a)作为自变量进行积分，可得：
? ?
2
22
2 22 C
axFx
l
bFwEI ???????
? ?
22
33
2 66 DxC
axFx
l
bFE I w ???????
确定 C1,C2,D1,D2四个常数：
21 DD ?
则：
21 CC ?
ax ? 2121 wwww ???? ；处,（ 1）连续条件：
21 0 DD ??
由此可得：
lx? 02 ?wb) 处,
? ? 1222 6 CbllFbC ???
由此可得：
（ 2）约束条件,0?x 时, 0
1 ?w
a)
? ? ?
?
?
??
? ????? 222
11 3
1
2
xbl
l E I
Fbw?
则梁的挠曲线和转角方程为：
AD段：
? ?? ?2221 6 xbll E IF b xw ???
DB段：
? ? ? ? ?
?
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??
? ??????? 2222
22 3
1
2
xblax
b
l
l E I
Fbw?
? ? ? ? ?
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2 6 xxblaxb
l
l E I
Fbw
由此可得梁左右两支座截面的转角分别为：
? ?
l E I
blF a b
A 6
??? ? ?
l E I
alF a b
B 6
????
梁的变形曲线以及相关的量见下图。
对 AD段，由 w'1=0可得极值点位置为：
当 a>b时，右支座截面的转角绝对值最大，为：
? ?
l E I
alF a b
B 6m a x
???? ??
? ?
3
2
3
22
1
baablx ????
BA C
x
y
wC
?A
F
wmax ?B
D
l/2
ⅡⅠ
x1
a b
当 a>b时，可见 x1将小于 a，则最大挠度在 AD段，为：
? ? 3221m a x
391
bl
l E I
Fbww
xx ??? ?
当载荷接近于右支座，即 b很小时，由上式可得：
EI
F b l
EI
F b lw 22
m a x 0 6 4 2.039 ??
而此时梁中点 C截面处的挠度为：
EI
F b l
EI
F b lw
C
22
0 6 2 5.016 ??
两者相差也不超过中点挠度的 3%。
因此，在简支梁中，只要挠曲线无拐点，即可有
中点挠度来代替最大挠度。
当载荷作用在梁的中点，即 a=b=l/2时，其最大转
角和挠度为：
EI
Fl
16
2
m a x ??? EI
Flww
C 48
3
m a x ??
总结,遵循了两个规则，即
1）对各段都参照同一坐标原点建立弯矩方程；
2）以 (x-a)为自变量对 (x-a)项进行积分，则由
x=a处的连续条件可得两段梁对应的积分常数
分别相等的结果。
练习题,由积分法求图示梁的 wA,?A。
M
A B
l
作业,5-2,5-4,5-10
