第十五章
虚位移原理
§ 15-1 约束 ·虚位移 ·虚功
1 约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为 约束,
限制条件的数学方程称为 约束方程,
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为 几何
约束,
222 lyx ??
（ 1）几何约束和运动约束
如
1.swf
? ? 0,,?zyxf
2.swf 15-2.swf
限制质点系运动情况的运动学条件称 运动约束,
0?? ?rv A
? ? ? ?
0
22
?
????
B
ABAB
y
lyyxx
0?? ??? rx A
222 ryx AA ??
3.swf
4.swf 15-4-1.swf
? ? 2022 tvlyx ????
2 定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称
非定常约束,否则 称定常约束,
5.swf
（ 3） 其它分类
约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分或有
限形式的约束称 非完整约束,否则为 完整约束,
约束方程是等式的，称 双侧约束 （或称 固执约束 ），
约束方程为不等式的，称 单侧约束 （或称 非固执单侧约束 ）。
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；
? ? sizyxzyxf nnn,,2,10,,,,,,,111 ?? ??
n为质点系数
S 为约束方程数
2 虚位移
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何
无限小的位移称为 虚位移,
虚位移 ????,,xr? 等
实位移 d,d,drx ? 等
3 虚功
rFW ?? ?? ??
4 理想约束
如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和
等于零，称这种约束为 理想约束,
? ? ???? 0iNiNiN rFWW ?? ???
力在虚位移中作的功称虚功,
即 ? ?? 0
ii rF
?? ?
设质点系处于平衡,有
0?? Nii FF ??
或记为 0?? FiW?
此方程称 虚功方程,其表达的原理称 虚位移原理 或 虚功原理,
0???? iNiii rFrF ???? ??
?? ???? 0iNiii rFrF ???? ??
§ 15-2 虚位移原理
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是,
作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和
等于零,
解析式为 ? ?? ??? 0
iziiyiixi zFyFxF ???
例 15-1 如图所示,在螺旋压榨机的手柄 AB上作用一在
水平面内的力偶 ( ),其力矩,螺杆的导
程为, FF ?
??,FlM 2?
h
求,机构平衡时加在被压物体上的力,
15-7d.swf
解,给虚位移,,s???
02 ????? ???? FlsFW NF
满足如下关系：s??? 与
h
s?
?
?? ?
2
? ??????? ?? 022 ???? hFFlW NF
是任意的因 ??, 故
02 hFFl2 N ?? ? Fh lF N ?4?
例 15-2 图中所示结构,各杆自重不计,在 Ｇ 点作用一铅直
向上的力 Ｆ,lGEDGCBCDCEAC ??????
求,支座 Ｂ 的水平约束力,
解,解除 B端水平约束,以力
代替,如图 (b)
BxF
? ? ?????
??
???
c o s3,s in2
s in3,c o s2
0
lylx
lylx
yFxFw
GB
GB
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???
??
???
? ? 0l3Fl2F Bx ???? ? ? ?? ? ? c o ss in
?c o t23 FF Bx ?
带入虚功方程
0c o s3c o s3c o ss in2( 00 ????? ????????????? lFlklklF Bx
解得
??? c o tc o t23 0kFF Bx ??
0
0
0
????????
?
??
GGGCCBBx
F
GC
yFyFyFxF
W
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???
c o s3,c o s,s in2
s in3,s in,c o s2
lylylx
lylylx
GCB
GCB
????
???
如图在 CG 间加一弹簧,刚度 K,且已有伸长量,仍求,
0?
在弹簧处也代之以力,如
图（ b),其中
BxF
例 15-3 图所示椭圆规机构中,连杆 AB长为 L,滑块 Ａ,
Ｂ 与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡,
BA FF 与
求：主动力 之间的关系。
15-10d.swf
解, (1) 给虚位移,,
BA rr ?? ??
? ?? 0ii rF ?? ?
代入虚功方程,有
0c o s ?? BBBA rFrF ???
即 ?ta n
BA FF ?
由 ???? s inc o s
AB rr ?
( 在 A,B 连线上投影相等 )
BA rr ?? ??,
0?? BBAA rFrF ??
(2) 用解析法,建立
坐标系,由
? ? 0FFF ziziyiyixixi ???? ???
有 0???
yAAxBB FF ??
?? s in,c o s lylx AB ??
得 ?ta n
BA FF ?
? ? ?????? c o s,s in ll yAxB ???
代入到 得中,0? ??
ii rF
?? ?
由速度投影定理,有
,s inc o s ?? AB vv ?
代入上式
得 ?ta n
BA FF ?
0?? AABB vFvF
(3) 虚速度法
定义,
t
rv
t
rv B
B
A
A dd
???? ??
??,
为虚速度
例 15-4 如图所示机构,不计各构件自重与各处摩
擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩 Ｍ 与主动力
Ｆ 之间的关系,
15-11d2.swf
解, 给虚位移
cr???,
? ??? 0cF rFMw ????
由图中关系有
?
??
sin
e
a
rr ?
?
??????
???? 2s in,s in
hrrhOBr
aCe ????
代入虚功方程得
?2sin
FhM ?
用虚速度法,
?
??
?? 2s in,s in
hvvhOBv
Cae ?????
代入到
?? 2s in,0
FhMFvM
C ??? 亦得中
用建立坐标,取变分的方法,有
?
??
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2s in
c ot
0
h
x
BChx
xFM
C
C
C
??
??
??
解得
?2sin
FhM ?
求,
AF
例 15-5 求图所示无重组合梁支座 Ａ 的约束力,
解：解除 A处约束，代之,给虚位移，如图 （ b）
AF
代入虚功方程,得
MFFF A 81141183 21 ???
02211 ????? sFMsFsFW AAF ??????
AMA
A sssss ???????????
8
1111,
8
33,
8 1 ?????
AAM2 ssss ???? 14
11
8
11
7
4
7
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虚位移原理
§ 15-1 约束 ·虚位移 ·虚功
1 约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为 约束,
限制条件的数学方程称为 约束方程,
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为 几何
约束,
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（ 1）几何约束和运动约束
如
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（ 3） 其它分类
约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分或有
限形式的约束称 非完整约束,否则为 完整约束,
约束方程是等式的，称 双侧约束 （或称 固执约束 ），
约束方程为不等式的，称 单侧约束 （或称 非固执单侧约束 ）。
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；
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S 为约束方程数
2 虚位移
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何
无限小的位移称为 虚位移,
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实位移 d,d,drx ? 等
3 虚功
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4 理想约束
如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和
等于零，称这种约束为 理想约束,
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此方程称 虚功方程,其表达的原理称 虚位移原理 或 虚功原理,
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§ 15-2 虚位移原理
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是,
作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和
等于零,
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(3) 虚速度法
定义,
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例 15-4 如图所示机构,不计各构件自重与各处摩
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