§ ９ –1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力,① 强度
②刚度
③稳定性
工程中有些构
件具有足够的强度、
刚度，却不一定能
安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡,
1,不稳定平衡
2,稳定平衡
3,稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力,
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
F
轴压
F（较小）
压弯
F（较小）
恢复
直线平衡 曲线平衡 直线平衡
Q
F（特殊值）
压弯 失稳
曲线平衡 曲线平衡
F（特殊值）
保持常态、稳定 失去常态、失稳
Q Q Q
压杆失稳的现象：
1,轴向压力较小时，杆件能保持稳定的 直线 平衡状态；
2,轴向压力增大到某一特殊值时,直线 不再是杆件唯
一的平衡状态；
稳定, 理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）
（ Stable） 直线平衡状态；
失稳, 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直
（ Unstable） 线平衡状态；
压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值临界力
（ Critical force）
§ 9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
思路,假设压杆在某个压力 Fcr作用下在曲线状态
平衡，
1）求得的挠曲函数 ≡0，
2）求得不为零的挠曲函数，
然后设法去求挠曲函数。 若：
平衡状态；
说明只有直线
确能够在曲线状态下平衡，
说明压杆的
稳现象。
即出现失
x
w
x
y
F
(a)
B
A
cr
l
l 2
x
(b)
B
y
w
Fcr
M(x)= Fcrw
M(x)=Fcrw
0'' 2 ?? wkw
?''EIw )( xM? wF cr??
kxBkxAw c o ss i n ??
当 x=0时, w=0。
kxBA c o s00 ???
得,B=0，
kxAw s in?
2cr k
EI
F ?令
（ +）
以图示两端铰支压杆为例：
x
w
x
y
F
(a)
B
A
cr
l
l 2
x
(b)
B
y
w
Fcr
M(x)= Fcrw
kxAw s in?
又当 x=l时, w=0。
得 Asin kl = 0
要使上式成立，
1） A=0 w=0；
代表了压杆的直线平衡状态。
2） sin kl = 0
此时 A可以不为零。
0s in ?? kxAw 失稳 !!!
0s in ?kl
?nkl ?
?nl
EI
F ?cr
失稳的条件是：
2
22
cr l
EInF ??
m inc r cr FF ? 2
2
l
EI??
理想中心压杆的欧拉临界力
2
2
cr l
EIF ??
在确定的约束条件下，欧拉临界力 Fcr：
有关，
1）仅与材料（ E）、长度 (l)和截面尺寸 (A)
2）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映
承载能力的强弱，
3） 与外部轴向压力的大小无关。
材料的 E越大,截面越粗，
短，
杆件越
临界力 Fcr越高；
临界力 Fcr越高，
越好，
稳定性
承载能力越强；
M(x)=
0'' 2 ?? wkw
?''EIw )(xM wF cr??
2cr k
EI
F ?令
Fcr(-w) =-Fcrw
与前面获得的结果相同。
挠曲函数与采用的坐标
系或规定弯矩的符号无关。
x
w
F
(c)
B
A
cr
l
l 2
x
w
Fcr
M(x)= Fcrw
x
y
(d)
B
y
（ +）
§ 9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的
欧拉公式 ·压杆的长度系数
0.5
l
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定另端铰支 两端固定 一端固定另端自由 两端固定但可沿横向相对移动
失
稳
时
挠
曲
线
形
状
Fcr
A
B
l
临界力 Fcr
欧拉公式
长度系数 μ
2
2
l
EIF
cr
??
2
2
)7.0( l
EIF
cr
??
2
2
)5.0( l
EIF
cr
??
2
2
)2( l
EIF
cr
??
2
2
l
EIF
cr
??
?=1 ??0.7 ?=0.5 ?=2 ?=1
Fcr
A
B
l
Fcr
A
B
l0.7
l
C C
D
C— 挠曲
线拐点
C,D— 挠
曲线拐点
0.5
l
FcrFcr
l
2l l
C— 挠曲线拐点
细长压杆临界力的欧拉公式的统一形式
2
2
)( l
EI
F
cr
?
?
?
其中,μ — 压杆长度系数
μ l— 压杆的相当长度。
F
Mkwkw 22" ??
MFwxME I w ????? )("
EI
Fk ?2:令
FMkxdkxcw /s i nc o s ???
0',;0',0 ?????? wwLxwwx
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
边界条件为,
例 9-1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆
的临界力 公式。
Ｆ
L
x
Ｆ
M0
Ｆ
M0
Ｆ
M0
xＦ
Fw-M0
?? nkLnkLdFMc ????? 2,0,并
2
2
2
2
)2/(
4
L
EI
L
EIF
cr
?? ??
?2?kL
为求最小临界力,, k” 应取除零以外的最小值, 即取：
所以，临界力为：
2 ?nkL ??
? = 0.5
例 9-2 图示结构, 各杆的 EI相同, 均为细长压杆,
求临界力 Fcr。
F
cr
l
α α
解：
)c o s1(
2
c o s2
c o s
)c o s(
2
)7.0(
3
2
2
21
2
2
2
2
2
31
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
??
????
???
??
l
EI
FFF
l
EI
l
EI
FF
l
EI
l
EI
F
crcrcr
crcr
cr
例 9-3 图示结构, 各杆的 EI相同, 均为细长压
杆, 试求 α =？ F最大 。
α F
① ②
3 0
o
l
解：
2
2
22
2
2
2
1
4,
3
4
)30co s( l
EIF
l
EI
l
EIF
crocr
??? ???
?
?
? s i n3
4
s i n' 2
2
1
l
EIFF cr
cr ??
?
?
? c o s
4
c o s'' 2
2
1
l
EIFF cr
cr ??
o
crcr tgFF 43.18,3
1,''' ??? ??
A
F cr
cr ??
一,欧拉公式的应用范围
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
3.柔度：
2
2
2
2
2
2
)/()( ?
?
?
?
?
?? E
iL
E
AL
EI
A
F cr
cr ????
2.细长压杆的 临界应力：
—惯性半径。— AIi?
）—杆的柔度（或长细比— iL?? ?
2
2
?
?? E
cr ?即：
§ 9-4 欧拉公式的应用范围 ·临界应力总图
4.欧拉公式的应用条件,
Pcr
E ?
?
?? ??
2
2
欧拉公式求。长细杆），其临界力用的杆称为大柔度杆（或满足 P?? ?
P
P
E ?
?
?? ?? 2
求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其 P?? ?
二、中小柔度杆的临界应力计算与临界应力总图
1.直线型经验公式
① ?P<?<?S 时：
scr ba ??? ????
s
s
b
a ??? ????
界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临 Ps ??? ??
?? bacr ??
i
L???
cr?
界应力为屈服极限。的杆为小柔度杆，其临 S?? ?
2
2
?
?
? E
cr
?
③ 临界应力总图
② ?S<?时：
scr ?? ?
?? bacr ??
P?
S?
b
as
s
???
?
P
P
E
?
?
?
2
?
2.抛物线型经验公式
211 ?? bacr ??
S
c
EAA
?
???
56.0
43.016
2
53 ??,锰钢：钢和钢、对于
。时，由此式求临界应力 c?? ?
我国建筑业常用：
① ?P<?<?s 时：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
1
c
scr ?
????
② ?s<?时：
scr ?? ?
3,折减弹性模量公式
σs
σcr
O λ
σp
λp
2
2
?
?? E
cr ?
2
2
?
?? r
cr
E?
例 9-4 图示结构, 已知 E=200Gpa,λ<122时, σ cr=240-
0.0068λ2 MPa。 求 Fcr=?
F cr
6
100 8
300 5
1 0
解,1杆：
12280
5.2
1002
5.2
1
11
1
1
1
1
??
?
??
??
i
l
A
I
i
?
?
kNAF
M P a
crcr
cr
32.4
3.196
00682.0240
111
2
1
??
?
??
?
??
F cr
6
100 8
300 5
1 0
2杆：
1 2 25.1 4 5
4 4 3.1
3 0 07.0
4 4 3.1
2
22
2
2
2
2
??
?
??
??
i
l
A
I
i
?
?
kN
l
EI
F cr 66.4
)( 2
2
2 ??
?
?
所以,Fcr=4.32 kN
练习题,图示结构中,AB为刚性杆,BD杆
为细长压杆,EI,l已知。试求结构的临界
载荷。
F
C
A B
a a l
D
作业,9-2,9-7,9-10