§ 11－ 4 用能量法解超静定系统
用能量法解超静定系统的步骤：
（ 1）选取基本静定系；
（ 2）建立变形协调条件；
（ 3）求力 -位移关系,应用能量原理（余能原理、卡氏第
二定理）计算基本静定系分别在荷载和多余未知力作用下的
位移；
（ 4）求解多余未知力,将力 -位移间物理关系，代入变形协
调条件，得补充方程。由补充方程解出多余未知力。
（ 5）进行其他计算。
例 11-12 作图示梁的弯矩图,EI为常数。
A B
l
q
解：
（ 1）选基本静定系
（ 2）变形协调条件
0?? B
（ 3） 求力 -位移关系
q
X
x
x
X
xM
qx
XxxM
?
?
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)(
2
)(
2
? ? ??????? l l B
B
B x dx
qxxF
EI
dx
F
xM
EI
xM
0 0
2
0)
2
(1)()(
083
43
?? EIqlEIlF B
（ 4）求解未知力
8
3 qlF
B ?
（ 5）作弯矩图
ql2/8
9ql2/128
例 11-13 用能量方法求解图示刚架，并作弯矩图。
q
l l
A
B C
解：（ 1）选基本静定系：
（ 2）变形条件,ΔC=0
（ 3） 求力 -位移关系
l
X
xMql
lXxMAB
x
X
xMqx
xXxMBC
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,
2
)(
)(
,
2
)(
2
2
2
1
1
2
1
11
：
：弯矩方程及偏导数
x1x2 X
EI
ql
X
EI
l
l d x
ql
lXdxx
qx
xX
EI
l l
C
8
5
3
4
22
1
43
0 0
2
2
11
2
1
1
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卡氏第二定理求位移
（ 4）求解未知力
0
8
5
3
4
43
??
EI
ql
X
EI
l
qlX
32
15?
（ 5）作弯矩图
0.11ql2
0.0625ql2
例 11-14 由同一非线性弹性材料制成的 1,2,3杆，
用铰连接如图 a所示。已知三杆的横截面面积均为 A，
材料的应力一应变关系为 ?=K?1/n，且 n> 1；并知 1、
2两杆的杆长为 l。试用余能定理计算各杆的内力。
解：
（ 1）选基本静定系统如图 b。
F
B D C
A
1 3 2
a a
(a)
B
A
(b)
D C
1 3 2
X
F
a a
（ 2）变形协调条件,?D=0
（ 3） 求力 -位移关系,用余能原理
由图 b的平衡得各杆轴力：
B
A
(b)
D C
1 3 2
X
F
a a
XFXFFF NNN ???? 321 c o s2 a
余能密度为：
1
0
1
00
21
c o s2)1(
1
d
dd
1
11
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N
n
cc
A
XF
KnKA
F
K
vv
a
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1
03 )1(
1d3 ?
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n
nc A
X
Kn
v
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总余能为
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?? 11
332211
c o s
c o s2
2
)1(
nn
n
cccc
A
X
A
XF
Kn
lA
VvVvVvV
0
1
c o s
.c o s2
1
.c o s2
2
)1(
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X
AA
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Kn
lA
X
V
nn
n
C
D
a
aa
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nNN
nN
F
FF
F
FX
/1221
/123
c o sc o s2
c o sc o s21
?
?
??
?
??
aa
aa
（ 4）求解未知力
例 11-15 试作图示结构的弯矩图。
（ 1）基本静定系
（ 2）变形条件,Δ Bx=0
（ 3）求力 -位移关系：
解：
q
aa
A
BC
x2 x1
X
q
FAyFAx
FBy
2
2
2
2
22
1
1
11
)(
,
22
)(
)(
,)(
x
X
xMqx
xX
qa
xMBC
x
X
xM
XxxMAC
??
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：
：
0
243
2
0)(
22
1
43
22
0 0
2
2
2111
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??
?
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EI
qa
X
EI
qa
dxx
qx
xX
qa
dxxxX
EI
a a
Bx
（ 4）求解：
16
7,
16,16
9,
16
qaFqaFqaFqaFX
ByAxAyBx ?????
49ql2/512
qa2/16
例 11-16 试作图示结构的弯矩图。
q
C B
a
a
A
q
X
1
x
2
x
1
X
2
（ 1）基本静定系；
（ 2）变形条件,Δ Bx=0,Δ By=0；
解：
（ 3）求力 -位移关系：
a
X
xM
x
X
xMqa
aXxXxMAC
x
X
xM
X
xMqx
xXxMBC
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2
2
2
1
2
2
2212
1
2
2
1
1
2
1
121
)(
,
)(
,
2
)(
)(
,0
)(
,
2
)(
：
：
0
22
1
0
2
1
0
2
2
221
0
11
2
1
12
2
0
22
2
221
1
??
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By
a
Bx
a d x
qa
aXxXdxx
qx
xX
EIX
V
dxx
qa
aXxX
EIX
V
?
?
0
8
5
3
4
2
0
423
4
2
3
1
3
4
2
3
1
3
???
???
EI
qa
X
EI
a
X
EI
a
EI
qa
X
EI
a
X
EI
a
所以
qaXqaX 73,283 21 ??
qa
2
/ 14
9 ql
2
/ 98
qa
2
/ 28
例 11-17 图 a所示两端固定半圆环在对称截面处受集
中力 F作用 。 环轴线的半径为 R,弯曲刚度为 EI,不
计剪力和轴力对圆环变形的影响 。 试用卡氏第二定
理求对称截面上的内力 。
F
R
(a)
解,（ 1）基本静定系统如图 b
F
2 2
F
j
X11X
2X
3X X3
X2
（ b）
（ 2）变形协调条件
0,0,0 321 ??????
（ 3）力与位移关系,
)3,2,1(0)d()()(12 2
0
??j?
?
j?j??
?
? ? ?? iR
X
MM
EIX
V
ii
其中：
1
)(
)c o s1(
)(
)c o s1(s i n
2
)(
2
1
21
??
?
?
???
?
?
????
X
M
R
X
M
XRXR
F
M
j
j
j
jjj
（ 4）求解补充方程：
FRXFX 8 )3(284 2221 ?
?
???
??
???
补充方程
0
22
1
2
0
4
1
2
2
4
3
21
21
????
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
FR
XRX
FR
XRX
??
??
练习题：作图示刚架的弯矩图,EI为常数。
A
BF
a a
作业,3-12(c),3-12(e),3-13(a)