1、应变能 ?余能
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应变能
余 能
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2、卡氏定理
卡氏第一定理
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卡氏第二定理
F
V
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上次课回顾
卡氏第二定理的实用形式
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桁架结构
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1
梁与刚架结构
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例 11-5 求悬臂梁 B点的挠度。 EI为常数。
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例 11-6 图示桁架结构。已知,F=35kN,d1=12mm,
d2=15mm,E=210Gpa。求 A点垂直位移。
C
B
4 5
o
3 0
o
① ②
1 m A 0.8m
F
31
2
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31
2
31
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2
21
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例 11-7 弯曲刚度为 EI的悬臂梁受三角形分布荷载如
图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度
的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。
解,在自由端“虚加”外力
F任意 x截面处的弯矩为：
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例 11-8 弯曲刚度均为 EI的静定组合梁 ABC，在 AB
段上受均布荷载 q作用，如图 a 所示。梁材料为线弹性
体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理
求梁中间铰 B两侧截面的相对转角。
解,在中间铰 B两侧虚设一对外力偶 MB（图 b)
各支反力如图 b。 AB段弯矩方程：
22
2)(
22 xqlq
MxlMqlxM BB ???
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A CB
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由卡氏第二定理得：
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lq
x
xM
EI
xM
BM
BM
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3
B
0
0
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结果符号为正，说明相对转角 ??B的转向与图 b
中虚加外力偶 MB的转向一致。
BC段弯矩方程
xlM)x(M B??
例 11-9 求图示刚架 B截面 ΔBx,ΔBy。
F = qa
F
f
C B
q a
A a
解：（ 1）求 Δ Bx：
2
2
2
2
2
2
1
11
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2
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xM
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2
2
2
2
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8
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（ 2）求 Δ By：
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F
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FaxMAC
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3
2
1 4
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2
2
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例 11-10 图示弯曲刚度为 EI的等截面开口圆环受
一对集中力 F作用。环的材料为线弹性的，不计圆
环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理
求圆环的张开位移 ?和相对转角 。 。
解,1、张开位移
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F
R
F
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?R (1-cos )
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3
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)(
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EI
RF
EI
RF
R
F
M
M
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V
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所以
F
R
F
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?R (1-cos )
2、相对转角：
F
R
F
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?R (1-cos )
Mf Mf
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EI
FR
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M
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f
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MN
A
A
F
B
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例 11-11 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内,在 A点
受铅垂力 F的作 用,求 A点的垂直位移。
解：
① 求内力
?? s i n)(,FRM ?弯矩
)c o s1()(,?? ?? FRT扭矩
A
F R
FN
② 变形：
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M
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3 33
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EI
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FR
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练习题,图示刚架，承受载荷 F作用。试用卡
氏第二定理计算截面 C的转角。设弯曲刚度 EI
为常数。
作业,3-6(a),3-7(c),3-8(b)