应力分析和强度理论、组合变形习题课
一、应力分析和强度理论
1、平面应力状态分析
（ 1） 斜截面上的应力
???????? ? 2s i n2c o s22 xyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s i n2 xyx ???
（ 2）主平面和主应力
2
2
2
1
22 x
yxyx ?????
?
? ?
???
?
???
? ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
yx
x
??
?? 2a r c t a n
2
1
0
（ 3）应力圆
?
O
?
C
?2
F A1B1
B2A2
D1
D2
E
?x
?y
?y
?x
?1
2?0
应力圆和单元体的对应关系
圆上一点，体上一面；
圆上半径，体上法线；
转向一致，数量一半；
直径两端，垂直两面。
2、空间应力状态的概念
最大剪应力
2
31
m ax
??? ??
3、应力应变关系
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
2133
3122
3211
1
1
1
?????
?????
?????
E
E
E
主应力
三向应力圆
?
?
O
?3
?2
?1
?max
B
D
A
? m
ax
（ 1）、广义胡克定律
（ 2）、各向同性材料的体积应变
? ?zyxE ????? ???? 21
4、空间应力状态下的应变能密度
? ?? ?313221232221 22 1 ??????????? ?????? Ev
体积改变比能
? ? 23216 21 ???? ???? Ev V
形状改变比能
? ? ? ? ? ?? ?231232221d 61 ??????? ??????? Ev
强度理论的统一形式,][?? ?
r
11 ?? ?r
? ?3212 ????? ???r
313 ??? ??r
? 第一强度理论：
? 第二强度理论：
? 第三强度理论：
? ? ? ? ? ?? ?2312322214
2
1 ??????? ??????
r
? 第四强度理论：
5、四个常用强度理论
1、组合变形解题步骤
① 外力分析,外力向形心简化并沿主惯性轴分解；
② 内力分析,求每个外力分量对应的内力图，确
定危险面；
③ 应力分析,画危险面应力分布图，叠加；
二、组合变形
④ 强度计算,建立危险点的强度条件，进行强度
计算。
有棱角的截面
][m a x ?? ???
y
y
z
z
W
M
W
M
圆截面
][
22
m a x ?? ?
?
? W
MM yz
3、拉伸（压缩）与弯曲
][m a x,m a x,m a x,m a x ?? ????
y
y
z
zN
W
M
W
M
A
F
2、两相互垂直平面内的弯曲
有棱角的截面
圆截面
][m a xm a x,m a x ?? ??? WMAF N
4,弯曲与扭转
][
22
3 ?? ?
???
W
TM
r
][75.0
22
4 ?? ?
??
W
TM
r
统一形式：
][?? ?? WM rr
222
4
222
3
75.0 TMMM
TMMM
yzr
yzr
???
???
5、连接件的强度条件
剪切的强度条件
][
S
S ?? ??
A
F
挤压强度条件
][ bs
bs
bs
bs ?? ?? A
F
?3
例 1 求图示单元体的主应力及主平面的位置。
(单位,MPa)
45
325
325
95
150
°
A
B
?1
?2
解,?主应力坐标系如图
?AB的垂直平分线与
??轴的交点 C便是
圆心，以 C为圆心，
以 AC为半径画
圆 —— 应力圆
?0
?1?2
B A
C
2?0
??
??
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
)325,45(B
)325,95(A
?在 坐标系内画出点
?3 ?
1?2
B A
C
2?0
??
??
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
?主应力及主平面如图
0
20
120
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?300 ???
45
325
325
95
150
°
?1
?0?2
A
B
?????? ? 2c o s2s i n2 xyx ???
45
325
325
95
150
°解法 2— 解析法：分析 —— 建立坐标系如图
xy
y
??
?
???
?
M P a325
M P a45
?x?
22
2
1
22 x
yxyx ?????
?
? ?????
?
?
? ）（
60°
M P a325
M P a95
60
60
?
?
?
?x
y
O
例 2 薄壁圆筒受最大内压时,测得 ?x=1.88?10-4,?y=7.37?10-4,已知钢
的 E=210GPa,[?]=170MPa,泊松比 ?=0.3，试用第三强度理论 校核
其 强度。
???? )(1 2 yxx E ????? M P a4.9410)37.73.088.1(3.01 1.2 72 ?????
???? )(1 2 xyy E ????? M P a1.18310)88.13.037.7(3.01 1.2 72 ?????
解：由广义虎克定律得,
A ?x
?y
x
y A
0,M P a4.94,M P a1.1 8 3 321 ???? ???
? ????? ???? 1.183313r
? ?
? ? 003 7.71 7 0
1 7 01.1 8 3 ????
?
?? r?
所以，此容器不满足第三强度理论。不安全 。
P
F
mm5102010100 201020 ???? ???Cz
2
3
5100101210010 ?????CyI
45
2
3
mm1027.7
]252010
12
2010[
??
?????
例 3 图示钢板受力 F=100kN,试求最大正应力；若将缺口移至板
宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？
解,内力分析 如图
坐标如图，挖孔处的形心
Nm500105 3 ??? ?FM
F
F
M
20 10020
y
z
yC
FN
P
F
M
yc
N
I
zM
A
F m a x
m a x ???
M P a8.1 6 28.371 2 5 ???
应力分析 如图
7
3
6
3
1027.7
10555 0 0
108 0 0
101 0 0
?
?
? ?
???
?
??
孔移至板中间时
)100(10mm9.631108.162 10100 26
3
m a x
xFA N ??????? ?
mm8.36 ?? x
20 10020
y
z
yC
FN
例 3-4 图示空心圆杆，内径 d=24mm，外径 D=30mm，
齿轮 1直径 D1=400mm,齿轮 2直径 D2=600mm,F1=600N，
[?]=100MPa，试用第三强度理论校核此杆的强度。
80oF2 z
y
x
F1
150 200 100A B C D
① 外力分析,
弯扭组合变形
80oF2 z
y
x
F1
150 200 100A B C D
150 200 100A B C D
F1
Mx
z
x
y
F2y
F2z
Mx
解：
N
FF
NF
D
F
D
F
o
yz
y
y
5.70
80t an/
400
22
22
2
2
2
1
1
?
?
?
?
② 内力分析,危险
面内力为：
③ 应力分析：
W
TM
r
22
m a x
3
?
??
Nm3.71m a x ?M
Nm1 2 0?T
)8.01(03.014.3
12 03.7132
43
22
??
??
? ???? M P a5.97
安全
M Z ( N m)
X
(Nm)My
x
M y ( N m)
X
Mz (Nm) x
（ Nm ）
x
M nM n
T (Nm)
x
M ( N m)
X
M max
M (Nm) 71.3
x
71.25
40
7.05
120
5.5
40.6
一、应力分析和强度理论
1、平面应力状态分析
（ 1） 斜截面上的应力
???????? ? 2s i n2c o s22 xyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s i n2 xyx ???
（ 2）主平面和主应力
2
2
2
1
22 x
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1
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（ 3）应力圆
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O
?
C
?2
F A1B1
B2A2
D1
D2
E
?x
?y
?y
?x
?1
2?0
应力圆和单元体的对应关系
圆上一点，体上一面；
圆上半径，体上法线；
转向一致，数量一半；
直径两端，垂直两面。
2、空间应力状态的概念
最大剪应力
2
31
m ax
??? ??
3、应力应变关系
? ?? ?
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?
?
?
?
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?
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2133
3122
3211
1
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E
E
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主应力
三向应力圆
?
?
O
?3
?2
?1
?max
B
D
A
? m
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（ 1）、广义胡克定律
（ 2）、各向同性材料的体积应变
? ?zyxE ????? ???? 21
4、空间应力状态下的应变能密度
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体积改变比能
? ? 23216 21 ???? ???? Ev V
形状改变比能
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强度理论的统一形式,][?? ?
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? 第一强度理论：
? 第二强度理论：
? 第三强度理论：
? ? ? ? ? ?? ?2312322214
2
1 ??????? ??????
r
? 第四强度理论：
5、四个常用强度理论
1、组合变形解题步骤
① 外力分析,外力向形心简化并沿主惯性轴分解；
② 内力分析,求每个外力分量对应的内力图，确
定危险面；
③ 应力分析,画危险面应力分布图，叠加；
二、组合变形
④ 强度计算,建立危险点的强度条件，进行强度
计算。
有棱角的截面
][m a x ?? ???
y
y
z
z
W
M
W
M
圆截面
][
22
m a x ?? ?
?
? W
MM yz
3、拉伸（压缩）与弯曲
][m a x,m a x,m a x,m a x ?? ????
y
y
z
zN
W
M
W
M
A
F
2、两相互垂直平面内的弯曲
有棱角的截面
圆截面
][m a xm a x,m a x ?? ??? WMAF N
4,弯曲与扭转
][
22
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W
TM
r
][75.0
22
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统一形式：
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3
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TMMM
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5、连接件的强度条件
剪切的强度条件
][
S
S ?? ??
A
F
挤压强度条件
][ bs
bs
bs
bs ?? ?? A
F
?3
例 1 求图示单元体的主应力及主平面的位置。
(单位,MPa)
45
325
325
95
150
°
A
B
?1
?2
解,?主应力坐标系如图
?AB的垂直平分线与
??轴的交点 C便是
圆心，以 C为圆心，
以 AC为半径画
圆 —— 应力圆
?0
?1?2
B A
C
2?0
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(MPa)
(MPa)
O
20MPa
)325,45(B
)325,95(A
?在 坐标系内画出点
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1?2
B A
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(MPa)
(MPa)
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20MPa
?主应力及主平面如图
0
20
120
3
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°解法 2— 解析法：分析 —— 建立坐标系如图
xy
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M P a325
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2
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M P a325
M P a95
60
60
?
?
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y
O
例 2 薄壁圆筒受最大内压时,测得 ?x=1.88?10-4,?y=7.37?10-4,已知钢
的 E=210GPa,[?]=170MPa,泊松比 ?=0.3，试用第三强度理论 校核
其 强度。
???? )(1 2 yxx E ????? M P a4.9410)37.73.088.1(3.01 1.2 72 ?????
???? )(1 2 xyy E ????? M P a1.18310)88.13.037.7(3.01 1.2 72 ?????
解：由广义虎克定律得,
A ?x
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x
y A
0,M P a4.94,M P a1.1 8 3 321 ???? ???
? ????? ???? 1.183313r
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1 7 01.1 8 3 ????
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所以，此容器不满足第三强度理论。不安全 。
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45
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例 3 图示钢板受力 F=100kN,试求最大正应力；若将缺口移至板
宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？
解,内力分析 如图
坐标如图，挖孔处的形心
Nm500105 3 ??? ?FM
F
F
M
20 10020
y
z
yC
FN
P
F
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m a x ???
M P a8.1 6 28.371 2 5 ???
应力分析 如图
7
3
6
3
1027.7
10555 0 0
108 0 0
101 0 0
?
?
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??
孔移至板中间时
)100(10mm9.631108.162 10100 26
3
m a x
xFA N ??????? ?
mm8.36 ?? x
20 10020
y
z
yC
FN
例 3-4 图示空心圆杆，内径 d=24mm，外径 D=30mm，
齿轮 1直径 D1=400mm,齿轮 2直径 D2=600mm,F1=600N，
[?]=100MPa，试用第三强度理论校核此杆的强度。
80oF2 z
y
x
F1
150 200 100A B C D
① 外力分析,
弯扭组合变形
80oF2 z
y
x
F1
150 200 100A B C D
150 200 100A B C D
F1
Mx
z
x
y
F2y
F2z
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解：
N
FF
NF
D
F
D
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5.70
80t an/
400
22
22
2
2
2
1
1
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?
?
② 内力分析,危险
面内力为：
③ 应力分析：
W
TM
r
22
m a x
3
?
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Nm3.71m a x ?M
Nm1 2 0?T
)8.01(03.014.3
12 03.7132
43
22
??
??
? ???? M P a5.97
安全
M Z ( N m)
X
(Nm)My
x
M y ( N m)
X
Mz (Nm) x
（ Nm ）
x
M nM n
T (Nm)
x
M ( N m)
X
M max
M (Nm) 71.3
x
71.25
40
7.05
120
5.5
40.6
