第二章
平面汇交力系与平面力偶系
一,多个汇交力的合成 力多边形规则
§ 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
211 FFFR ??? ??
?
?
??? 3
1
312
i
iRRR FFFF
????
?? ????
?
? i
n
i
inRnR FFFFF
?????
1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
?
?
??? 3
1
312
i
iRRR FFFF
???? 211 FFFR ??? ??
力多边形
平衡条件
0iF??
二,平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系
的力多边形自行封闭,
已知,AC=CB,P=10kN,各杆自重不计；
求,CD杆及铰链 A的受力,
解,CD为二力杆，取 AB杆，画受力图,
用几何法，画封闭力三角形,
按比例量得 kN4.22,kN3.28 ?? AC FF
例 2-1
或
一,力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
θFF x c o s??
βFF y co s??
二,平面汇交力系合成的解析法
因为 iR FF ?? ??
yx FFF ??? ??
由合矢量投影定理，得合力投影定理
?? ixRx FF ?? iyRy FF
则，合力的大小为,22 RyRxR FFF ??
方向为,? ?
c o s,ixR
R
FFi
F?
?
作用点为力的汇交点,
? ?c o s,iyR
R
FFj
F?
?
三,平面汇交力系的平衡方程
平衡条件 0?RF?
平衡方程 ? ? 0xF
? ? 0yF
求：此力系的合力,
解：用解析法
N3.12945c o s45c o s60c o s30c o s 4321 ?????? ? ???? FFFFFF ixRx
N3.11245s i n45s i n60s i n30s i n 4321 ?????? ? ???? FFFFFF iyRy
N3.1 7 122 ??? RyRxR FFF
7548.0co s ??
R
Rx
F
Fθ
6556.0c o s ??
R
Ry
F
Fβ
?? 01.49,99.40 ?? βθ
例 2-2 已知：图示平面共点力系；
已知：
求：系统平衡时，杆 AB,BC受力,
例 2-3 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，
P=20kN；
解,AB,BC杆为二力杆，
取滑轮 B（或点 B），画受力图,
用解析法，建图示坐标系
0?? ixF 030co s60co s 21 ???? ?? FFF BA
PFF ?? 21
060c o s30c o s 21 ??? ?? FFF BC? ? 0iyF
解得,kN32.27?BCF
解得,kN321.7??BAF
例 2-4
求：平衡时，压块 C对工件与地面的压力,AB杆受力,
已知,F=3kN,l=1500mm,h=200mm.忽略自重；
解,AB,BC杆为二力杆,
取销钉 B.
用解析法
0?? ixF
0c o sc o s ?? θFθF BCBA
得 BCBA FF ?
§ 2-3 平面力对点之矩的概念和计算
一、平面力对点之矩（力矩）
力矩作用面,O称为 矩心, O
到力的作用线的垂直距离 h称
为 力臂
1.大小：力 F与力臂的乘积
2.方向：转动方向
两个要素：
? ? hFFM ????0 ? ?
FrFM ??? ??0
力对点之矩 是 一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂
的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为证，反之为
负,常用单位 Nm或 kNm
二、汇交力系的合力矩定理
niR FFFFF ?????? ?????? 21
nR FrFrFrFr ????????? ???????? 21
即 ? ? ? ??? iORO FMFM ????
nR FFFF ????? ???? 21
平面汇交力系
? ? ? ??? iR FMFM ?? 00
三、力矩与合力矩的解析表达式
? ? ? ? ? ? xyxOyOO FyFxFyFxFMFMFM ???????????? ?? c o ss i n???
? ? ? ?? ???? ixiiyiRO FyFxFM ?
? ? ? ??? iORO FMFM ??
Fx
Fy
例 2-5
求, ? ?.FMO ?
解,
? ?
mN93.78
co s
??
????? θrFhFFM O
按合力矩定理
? ? ? ? ? ? mNrθF FMFMFM rOtOO ????? ?? 93.78c o s ???
,20 ??θ mm60?r已知, F=1400N,
直接按定义
例 2-6
求：
解：
qlxq ???
qlxqlxP l 21d
0
???? ?
由合力矩定理 xq
l
xxxqhP ll dd
0
2
0
?? ???????
得 lh
3
2?
已知,q,l；
合力及合力作用线位置,
取微元如图
§ 2-4 平面力偶理论
一,力偶和力偶矩
1.力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的
力系称为 力偶,记作 ? ?FF ???,
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩
A B CdFdFM ??????????? 2212
力偶中两力所在平面称为力偶作用面
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
2.力偶矩
二, 力偶与力偶矩的性质
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零,
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，
不因矩心的改变而改变,
dFM ??
? ? ? ? ? ?? ?
FdxFxdF
FMFMFFM OOO
??????
????
11
111,
????
? ? ? ?
FddF
xFxdFFFM O
??
???????
' 22
,2 ??
力矩的符号 ? ?FMO 力偶矩的符号 M
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任
意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力
臂的长短，对刚体的作用效果不变,
=
= =
ABDABC ???
? ? ABDdFFFM RRiR ??? 21??,
? ? A B CFdFFM i ??? 2,??
= =
= =
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡,
=
已知,;,,21 nMMM ?
任选一段距离 d 1
1 FdM ? dFM
11 ?
22 Fd
M ?
dFM nn ??nn FdM ?
dFM 22 ?
三,平面力偶系的合成和平衡条件
=
nR FFFF ???? ?21
nR FFFF ???????? ?21
=
= =
dFM R? dFdFdF n???? ?21 nMMM ???? 21
i
n
i
i MMM ??? ?
? 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0,有如下平衡方程
0?? iM
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的
代数和等于零,
例 2-7;200,20,10 321 mmmNmN ?????? lMMM
求,光滑螺柱 AB所受水平力,
已知：
? ? 0M
0321 ???? MMMlF A
解得
N2 0 0321 ????? l MMMFF BA
解：由力偶只能由力偶平衡的性质，
其受力图为
例 2-8,
求：平衡时的 及铰链 O,B处的约束力,
2M
解 （ 1）取轮,由力偶只能
由力偶平衡的性质,画受力
图,
0?? M
0s in1 ??? ?rFM A
解得
kN8?? AO FF;30,5.0,21 ?????? θrOAM mmkN已知
（ 2）取杆 BC，画受力图,
0?? M 0s in 2' ??? MrF A ?
解得
mkN ?? 82M
kN8?? AB FF
作业：
书 2-5,2-12,2-13
指导 p13（ 4）
平面汇交力系与平面力偶系
一,多个汇交力的合成 力多边形规则
§ 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
211 FFFR ??? ??
?
?
??? 3
1
312
i
iRRR FFFF
????
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?
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i
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1
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
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1
312
i
iRRR FFFF
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力多边形
平衡条件
0iF??
二,平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系
的力多边形自行封闭,
已知,AC=CB,P=10kN,各杆自重不计；
求,CD杆及铰链 A的受力,
解,CD为二力杆，取 AB杆，画受力图,
用几何法，画封闭力三角形,
按比例量得 kN4.22,kN3.28 ?? AC FF
例 2-1
或
一,力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
θFF x c o s??
βFF y co s??
二,平面汇交力系合成的解析法
因为 iR FF ?? ??
yx FFF ??? ??
由合矢量投影定理，得合力投影定理
?? ixRx FF ?? iyRy FF
则，合力的大小为,22 RyRxR FFF ??
方向为,? ?
c o s,ixR
R
FFi
F?
?
作用点为力的汇交点,
? ?c o s,iyR
R
FFj
F?
?
三,平面汇交力系的平衡方程
平衡条件 0?RF?
平衡方程 ? ? 0xF
? ? 0yF
求：此力系的合力,
解：用解析法
N3.12945c o s45c o s60c o s30c o s 4321 ?????? ? ???? FFFFFF ixRx
N3.11245s i n45s i n60s i n30s i n 4321 ?????? ? ???? FFFFFF iyRy
N3.1 7 122 ??? RyRxR FFF
7548.0co s ??
R
Rx
F
Fθ
6556.0c o s ??
R
Ry
F
Fβ
?? 01.49,99.40 ?? βθ
例 2-2 已知：图示平面共点力系；
已知：
求：系统平衡时，杆 AB,BC受力,
例 2-3 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，
P=20kN；
解,AB,BC杆为二力杆，
取滑轮 B（或点 B），画受力图,
用解析法，建图示坐标系
0?? ixF 030co s60co s 21 ???? ?? FFF BA
PFF ?? 21
060c o s30c o s 21 ??? ?? FFF BC? ? 0iyF
解得,kN32.27?BCF
解得,kN321.7??BAF
例 2-4
求：平衡时，压块 C对工件与地面的压力,AB杆受力,
已知,F=3kN,l=1500mm,h=200mm.忽略自重；
解,AB,BC杆为二力杆,
取销钉 B.
用解析法
0?? ixF
0c o sc o s ?? θFθF BCBA
得 BCBA FF ?
§ 2-3 平面力对点之矩的概念和计算
一、平面力对点之矩（力矩）
力矩作用面,O称为 矩心, O
到力的作用线的垂直距离 h称
为 力臂
1.大小：力 F与力臂的乘积
2.方向：转动方向
两个要素：
? ? hFFM ????0 ? ?
FrFM ??? ??0
力对点之矩 是 一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂
的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为证，反之为
负,常用单位 Nm或 kNm
二、汇交力系的合力矩定理
niR FFFFF ?????? ?????? 21
nR FrFrFrFr ????????? ???????? 21
即 ? ? ? ??? iORO FMFM ????
nR FFFF ????? ???? 21
平面汇交力系
? ? ? ??? iR FMFM ?? 00
三、力矩与合力矩的解析表达式
? ? ? ? ? ? xyxOyOO FyFxFyFxFMFMFM ???????????? ?? c o ss i n???
? ? ? ?? ???? ixiiyiRO FyFxFM ?
? ? ? ??? iORO FMFM ??
Fx
Fy
例 2-5
求, ? ?.FMO ?
解,
? ?
mN93.78
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??
????? θrFhFFM O
按合力矩定理
? ? ? ? ? ? mNrθF FMFMFM rOtOO ????? ?? 93.78c o s ???
,20 ??θ mm60?r已知, F=1400N,
直接按定义
例 2-6
求：
解：
qlxq ???
qlxqlxP l 21d
0
???? ?
由合力矩定理 xq
l
xxxqhP ll dd
0
2
0
?? ???????
得 lh
3
2?
已知,q,l；
合力及合力作用线位置,
取微元如图
§ 2-4 平面力偶理论
一,力偶和力偶矩
1.力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的
力系称为 力偶,记作 ? ?FF ???,
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩
A B CdFdFM ??????????? 2212
力偶中两力所在平面称为力偶作用面
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
2.力偶矩
二, 力偶与力偶矩的性质
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零,
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，
不因矩心的改变而改变,
dFM ??
? ? ? ? ? ?? ?
FdxFxdF
FMFMFFM OOO
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11
111,
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FddF
xFxdFFFM O
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' 22
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力矩的符号 ? ?FMO 力偶矩的符号 M
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任
意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力
臂的长短，对刚体的作用效果不变,
=
= =
ABDABC ???
? ? ABDdFFFM RRiR ??? 21??,
? ? A B CFdFFM i ??? 2,??
= =
= =
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡,
=
已知,;,,21 nMMM ?
任选一段距离 d 1
1 FdM ? dFM
11 ?
22 Fd
M ?
dFM nn ??nn FdM ?
dFM 22 ?
三,平面力偶系的合成和平衡条件
=
nR FFFF ???? ?21
nR FFFF ???????? ?21
=
= =
dFM R? dFdFdF n???? ?21 nMMM ???? 21
i
n
i
i MMM ??? ?
? 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0,有如下平衡方程
0?? iM
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的
代数和等于零,
例 2-7;200,20,10 321 mmmNmN ?????? lMMM
求,光滑螺柱 AB所受水平力,
已知：
? ? 0M
0321 ???? MMMlF A
解得
N2 0 0321 ????? l MMMFF BA
解：由力偶只能由力偶平衡的性质，
其受力图为
例 2-8,
求：平衡时的 及铰链 O,B处的约束力,
2M
解 （ 1）取轮,由力偶只能
由力偶平衡的性质,画受力
图,
0?? M
0s in1 ??? ?rFM A
解得
kN8?? AO FF;30,5.0,21 ?????? θrOAM mmkN已知
（ 2）取杆 BC，画受力图,
0?? M 0s in 2' ??? MrF A ?
解得
mkN ?? 82M
kN8?? AB FF
作业：
书 2-5,2-12,2-13
指导 p13（ 4）
