弯曲问题 习题课
1、弯曲的概念
2、弯曲内力
剪力值 = 截面左侧（或右侧）所有外力的代数和
弯矩值 = 截面左侧（或右侧）所有外力对该截
面形心的力矩代数和
左上右下为正
左顺右逆为正
作剪力图、弯矩图
剪力、弯矩与外力间的关系
外
力
无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
FS
图
特
征
M
图
特
征
C
F
C
m
水平直线
x
FS >0 FS <0
x
斜直线
增函数
x x
降函数
x
C
自左向右突变
x
C
无变化
斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数
曲线
x
M
坟状
x
M
盆状
自左向右折角 自左向右突变
与
m
反
x
M
折向与 F反向
M
x
M1
M2
mMM ?? 21
利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：
（ 1） 求支座反力；
（ 2） 分段确定剪力图和弯矩图的形状；
（ 3） 计算控制截面内力值, 根据微分关系绘剪力图
和弯矩图；
（ 4） 确定最大剪力和最大弯矩
3、弯曲应力与强度条件
（ 1）弯曲正应力
zI
My??
max?
zW
M?
O z
yy t，
ma
x
y c，
ma
x
zI
My m a x,t
m a xt,??
zI
My m a xc,
m a xc,??
（ 2）梁的正应力强度条件
? ???
zW
M m a x
][ tm a xt,m a xm a xt,?? ??
zI
yM
][ cm a xc,m a xm a xc,?? ??
zI
yM
（ 3）梁的切应力及切应力强度强度条件
bI
SF
z
z
*
S??
? ???
bI
SF
z
z
*
m a x,m a x,S
4,梁弯曲时的位移
（ 1） 挠曲线近似微分方程 ? ?xMwEI ????
（ 2）积分法
? ?xMwEI ????
① 建立合适的坐标系；
② 求弯矩方程 M(x) ；
③ 建立近似微分方程：
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数；
wEI ? ;EIw④ 积分求 和
（ 3）叠加法
（ 4）梁的刚度校核
例 1 作剪力图和弯矩图
ql
ql
ql2ql2
1.5 ql2
(+)
(+)
(-)
y1
y2
G
A1
A2
A3
A4
解,?画弯矩图并求危面内力
例 2 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的 [?t]=30MPa,[?c]=60 MPa，
其截面形心位于 C点,y1=52mm，
y2=88mm,Iz=763cm4,试校核此
梁的强度。并说明 T字梁怎样放置
更合理？
???? kN5.10;kN5.2 BA FF
)(k N m5.2 下拉、上压?CM
（上拉、下压）k N m4??BM
?画危面应力分布图，找危险点
F1=9kN
1m 1m 1m
F2=4kN
A BC D
x
2.5kNm
4kNm
M
?校核强度
M P a2.28107 6 3 885.2 822 ????? ?
z
C
tA I
yM?
M P a2.2710763 524 813 ????? ?
z
B
tA I
yM?
M P a2.461076 3 884 824 ????? ?
z
B
cA I
yM?
? ?Lt ?? ?? 2.28m a x
? ?yt ?? ?? 2.46m a x
?T字头在上面合理。
y1
y2
G
A1
A2
A3
A4
x
2.5kNm
-4kNm
M
y1
y2
G
A3
A4
例 3 图示简支梁，抗弯刚度 EI为常数，
求 θA,θB和 wC。
q q
A C B
a a a a
EI
qa
EI
a
q
EI
a
q
A 48
65
24
2
24
)4(
2
3
33
????
EI
qa
EI
a
q
EI
a
q
B 48
63
24
2
24
)4(
2
3
33
????
EI
ql
EI
a
q
w C
3
5
3 8 4
)4(
2
5 44
??
1、弯曲的概念
2、弯曲内力
剪力值 = 截面左侧（或右侧）所有外力的代数和
弯矩值 = 截面左侧（或右侧）所有外力对该截
面形心的力矩代数和
左上右下为正
左顺右逆为正
作剪力图、弯矩图
剪力、弯矩与外力间的关系
外
力
无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
FS
图
特
征
M
图
特
征
C
F
C
m
水平直线
x
FS >0 FS <0
x
斜直线
增函数
x x
降函数
x
C
自左向右突变
x
C
无变化
斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数
曲线
x
M
坟状
x
M
盆状
自左向右折角 自左向右突变
与
m
反
x
M
折向与 F反向
M
x
M1
M2
mMM ?? 21
利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：
（ 1） 求支座反力；
（ 2） 分段确定剪力图和弯矩图的形状；
（ 3） 计算控制截面内力值, 根据微分关系绘剪力图
和弯矩图；
（ 4） 确定最大剪力和最大弯矩
3、弯曲应力与强度条件
（ 1）弯曲正应力
zI
My??
max?
zW
M?
O z
yy t，
ma
x
y c，
ma
x
zI
My m a x,t
m a xt,??
zI
My m a xc,
m a xc,??
（ 2）梁的正应力强度条件
? ???
zW
M m a x
][ tm a xt,m a xm a xt,?? ??
zI
yM
][ cm a xc,m a xm a xc,?? ??
zI
yM
（ 3）梁的切应力及切应力强度强度条件
bI
SF
z
z
*
S??
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bI
SF
z
z
*
m a x,m a x,S
4,梁弯曲时的位移
（ 1） 挠曲线近似微分方程 ? ?xMwEI ????
（ 2）积分法
? ?xMwEI ????
① 建立合适的坐标系；
② 求弯矩方程 M(x) ；
③ 建立近似微分方程：
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数；
wEI ? ;EIw④ 积分求 和
（ 3）叠加法
（ 4）梁的刚度校核
例 1 作剪力图和弯矩图
ql
ql
ql2ql2
1.5 ql2
(+)
(+)
(-)
y1
y2
G
A1
A2
A3
A4
解,?画弯矩图并求危面内力
例 2 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的 [?t]=30MPa,[?c]=60 MPa，
其截面形心位于 C点,y1=52mm，
y2=88mm,Iz=763cm4,试校核此
梁的强度。并说明 T字梁怎样放置
更合理？
???? kN5.10;kN5.2 BA FF
)(k N m5.2 下拉、上压?CM
（上拉、下压）k N m4??BM
?画危面应力分布图，找危险点
F1=9kN
1m 1m 1m
F2=4kN
A BC D
x
2.5kNm
4kNm
M
?校核强度
M P a2.28107 6 3 885.2 822 ????? ?
z
C
tA I
yM?
M P a2.2710763 524 813 ????? ?
z
B
tA I
yM?
M P a2.461076 3 884 824 ????? ?
z
B
cA I
yM?
? ?Lt ?? ?? 2.28m a x
? ?yt ?? ?? 2.46m a x
?T字头在上面合理。
y1
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G
A1
A2
A3
A4
x
2.5kNm
-4kNm
M
y1
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G
A3
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例 3 图示简支梁，抗弯刚度 EI为常数，
求 θA,θB和 wC。
q q
A C B
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EI
qa
EI
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q
EI
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A 48
65
24
2
24
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2
3
33
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EI
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B 48
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