上次课回顾：
1、压杆稳定的概念
2、细长压杆临界力的欧拉公式
2
2
)( l
EIF
cr ?
??
或
2
2
?
?? E
cr ?
3,欧拉公式的应用范围
P
P
E ?
?
?? ?? 2
）—杆的柔度（或长细比— iL?? ?
i
L???
cr?
2
2
?
?
? E
cr
??? bacr ??
P?
S?
b
as
s
???
?
P
P
E
?
?
?
2
?
4、中小柔度杆的临界应力计算与临界应力总图
9-5 压杆的稳定计算 压杆的合理设计
一、压杆的稳定许用应力
st
cr
st n
?? ?][
])[(][ ???? ?st
1、
2、
nst— 稳定安全系数
— 稳定系数)(??
二、压杆的稳定条件
压杆的稳定条件为
stA
F ][?? ??
1、安全系数法：
工作安全系数其中 ???? nFFnnn crcrst,,??
2、稳定系数法：
][)( ??? ?A F
例 9-5 图示结构, ①, ② 杆材料, 长度相同, 已知,
Q=90kN,E=200Gpa,l=0.8m,λP=99.3,λs=57,经验
公式 σcr=304-1.12λ(MPa),nst=3。 校核结构的稳定性 。
Q
30 32
① ②
3 0
o
30
o
解,①、②杆受力：
kNQPP 96.51
321
???
① 杆的稳定性：
Pi
lmmi ??? ?????? 38.92
66.8
800,66.8
12
30
1
11
11
kNAF crcr 5.18030)38.9212.1304( 2111 ?????? ?
st
cr n
F
Fn ???? 47.3
96.51
5.1 8 0
1
1
1
② 杆的稳定性：
Pi
lmmi ??? ?????? 1 0 0
8
8 0 0,8
4
32
1
11
12
kNlEIF cr 7.158)( 2
22
2
2
2 ?? ?
?
st
cr n
F
Fn ???? 05.3
96.51
7.1 5 8
2
2
2
满足稳定要求
例 9-6 图示结构，①杆的直径 d=60mm,许用应力
[σ]=160 MPa。试根据①杆的稳定条件确定结构的
许可载荷 [F]。
F
① d 1.5m
a 2 a
λ 60 70 80 90 100
)( ??
0.44 0.34 0.26 0.20 0.16
解：（ 1）求①杆的受力：
F1=3F
（ 2）确定, )(??
16.0)(,100151 5 0 0 ??? ???
（ 3）确定结构的许可载荷 [P]
][
)(
3
)(
?
????
??
A
F
A
F
kN
AF
1.24
1016.0
4
60
160
3
1
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3
1
][
3
2
?
??
?
???
?
?
?
???
得
例 9-7由 Q235钢加工成的工字型截面杆件，两端为柱形铰，
即在 xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰
支，长度因素 μz=1.0；当在 xz平面内失稳时，杆端
约束情况接近于两端固定，长度因素 μy=0.6。已知
连杆在工作时承受的最大压力为 F=35kN，材料的强
度许用应力 [σ ]=206MPa,并符合钢结构设计规范中
a类中心受压杆
的要求。试校核
其稳定性。
O
l =580
l =750
12
22
6
6
24
x
x
y
y
z
1
2
O
Iz=7.40× 104mm4
Iy=1.41× 104mm4
A=522mm2
解：
O
l =580
l =750
12
22
6
6
24
x
x
y
y
z
1
2
O
Iz=7.40× 104mm4
Iy=1.41× 104mm4
A=522mm2
A
I
i yy ?
41041.1 ?
? 522
mm05.5?
A
Ii z
z ?
41040.7 ?
? 522
mm58.11?
1)计算惯性半径
2)计算柔度
y
y
?
? ?
l2
iy 6.0 ??
580
5.05
= 68.9
z
z
?? ?
l1
iz 0.1 ??
750
11.58
= 64.8
3)求稳定因数
取 λy和 λz中较大的 λy来查表和计算：
φ= 0.849+ (0.844-0.849)
10
9 =0.845
4)求稳定许用应力
[σ]st= φ [σ] =0.845× 206=174MPa
A
F??
522
1035 3?? =64.3MPa < [σ]st
故该连杆满足稳定性要求。
此题中的连杆在两个平面失稳时的约束情况、计算
长度和惯性矩都不同，应分别计算其柔度以判断其稳定
性的强弱。
计算压杆稳定性时应注意的问题：
1）压杆在不同平面内失稳时约束的不同使 μ 值不同；
3）注意压杆在不同平面内失稳时计算长度 l的不同。
2）压杆在不同平面内失稳时中性轴的不同，计算过
程中应选用不同的惯性矩使 I 和 i 不同；
i
l?? ?
解,1）求 BC杆的轴力
0?? AM
23
2
1 ?? q 230s inN ??? BCF 0?
qF BC 5.4N ?
以 AB梁为分离体，对 A点
取矩，有：
例 9-8 托架的撑杆为钢管，外径 D=50mm，内径 d=40mm，
两端球形铰支，材料为 Q235钢，
E=206GPa。试根据该杆的稳定性
要求，确定横梁上均布载荷集度
1m2m
30°
Ⅰ
Ⅰ
Ⅰ -Ⅰ 截面
A B
C
q
q之许可值。稳定安全系数 nst=3.
2）求 BC杆的临界力
A
Ii ?
i
l?? ?
707
181132? =16mm
0.1?
× 2/cos30°
16
× 103 =144.3
4
)( 22 dDA ?? ?
4
)4050( 22 ?? ? =707mm
2。
64
)( 44 dDI ?? ?
64
)4050( 44 ?? ? =181132mm
4。
因为 λ>λP=100，故可用欧拉公式计算 BC杆的临界力。
2
2
cr )( l
EIF
?
??
10206 32 ??? ?
× 181132
(1.0× 2/cos30°× 103 )2
1m2m
30°
Ⅰ
Ⅰ
A B
C
q
=69 kN
st
N B C
cr n
F
Fn ??
mkNnFq
st
cr /1.5
35.4
69
5.4][ ????
例 9 - 9 正方形截面木制压杆 ①、②杆的许用应力 [ σ ]=10MP a,
截面的边长 a = 100 m m,当 λ? 80,
2
100
20
55.002.1)( ?
?
?
?
?
? ?
??
?
??,当 λ >80,
2
3 0 0 0
)(
?
?? ? 。 求①、②杆同时达到稳定许用应力时,x 与 a 的关
系。
a Q
x
3m ① ② 2m
解：①杆许可载荷：
kNAF 7.27)(][][
278.0
9.103
3000
)(
9.103
12/100
3000
1
21
1
??
??
??
???
??
?
② 杆许可载荷：
kNAF 58)(][][
58.0
100
203.69
55.002.1)(
2.69
12/100
2 0 0 0
22
2
2
2
??
??
?
?
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?
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??
???
??
?
利用变形条件
a
x
lF
lF
l
l ?
?
???
?
?
258
38.27
22
11
2
1
解得 x=0.719a
三, 压杆的合理设计
1,从材料方面考虑,
（ 1） 细长杆 E，
（ 2） 中长杆 σs
2,从柔度方面考虑：
（ 1） 采样合理的截面形状
（ 2） 减少压杆的长度
（ 3）加强杆端的约束
4
1
4
1
0
2
1
cm6.25,cm3.198
,cm52.1,cm74.12
??
??
yz II
zA
41 cm6.3963.19822 ???? zz II
???? ])2/([2 2011 azAII yy
])2/52.1(74.126.25[2 2a????
时合理即 2)2/52.1(74.126.253.1 8 9, a???
例 9-10 图示立柱,L=6m，由两根 10号槽钢组成，下端固定，上
端为球铰支座,试问 a=？时，立柱的 临界压力最大，值为多
少？ 解, 对于单个 10号槽钢, 形心在 C1点 。
两根槽钢图示组合之后，
cm32.4?a
F
L
z0
y y
1
zC1
a
5.1 0 6
1074.122
106.3 9 6
67.0
2
67.0
4
8
1
?
??
?
?
?
?
?
??
?
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A
Ii
L
z
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?
???? 3.99
10200
10200
6
922
P
p
E
kN8.443
)67.0(
106.396200
)( 2
2
2
2
?
?
????? ?
?
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l
EIF
cr
求临界力：
大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
作业,9-12,9-17
1、压杆稳定的概念
2、细长压杆临界力的欧拉公式
2
2
)( l
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cr ?
??
或
2
2
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cr ?
3,欧拉公式的应用范围
P
P
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）—杆的柔度（或长细比— iL?? ?
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2
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4、中小柔度杆的临界应力计算与临界应力总图
9-5 压杆的稳定计算 压杆的合理设计
一、压杆的稳定许用应力
st
cr
st n
?? ?][
])[(][ ???? ?st
1、
2、
nst— 稳定安全系数
— 稳定系数)(??
二、压杆的稳定条件
压杆的稳定条件为
stA
F ][?? ??
1、安全系数法：
工作安全系数其中 ???? nFFnnn crcrst,,??
2、稳定系数法：
][)( ??? ?A F
例 9-5 图示结构, ①, ② 杆材料, 长度相同, 已知,
Q=90kN,E=200Gpa,l=0.8m,λP=99.3,λs=57,经验
公式 σcr=304-1.12λ(MPa),nst=3。 校核结构的稳定性 。
Q
30 32
① ②
3 0
o
30
o
解,①、②杆受力：
kNQPP 96.51
321
???
① 杆的稳定性：
Pi
lmmi ??? ?????? 38.92
66.8
800,66.8
12
30
1
11
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1
1
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② 杆的稳定性：
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12
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22
2
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2
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2
满足稳定要求
例 9-6 图示结构，①杆的直径 d=60mm,许用应力
[σ]=160 MPa。试根据①杆的稳定条件确定结构的
许可载荷 [F]。
F
① d 1.5m
a 2 a
λ 60 70 80 90 100
)( ??
0.44 0.34 0.26 0.20 0.16
解：（ 1）求①杆的受力：
F1=3F
（ 2）确定, )(??
16.0)(,100151 5 0 0 ??? ???
（ 3）确定结构的许可载荷 [P]
][
)(
3
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A
F
A
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1.24
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4
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3
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???
得
例 9-7由 Q235钢加工成的工字型截面杆件，两端为柱形铰，
即在 xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰
支，长度因素 μz=1.0；当在 xz平面内失稳时，杆端
约束情况接近于两端固定，长度因素 μy=0.6。已知
连杆在工作时承受的最大压力为 F=35kN，材料的强
度许用应力 [σ ]=206MPa,并符合钢结构设计规范中
a类中心受压杆
的要求。试校核
其稳定性。
O
l =580
l =750
12
22
6
6
24
x
x
y
y
z
1
2
O
Iz=7.40× 104mm4
Iy=1.41× 104mm4
A=522mm2
解：
O
l =580
l =750
12
22
6
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24
x
x
y
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1
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O
Iz=7.40× 104mm4
Iy=1.41× 104mm4
A=522mm2
A
I
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41041.1 ?
? 522
mm05.5?
A
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41040.7 ?
? 522
mm58.11?
1)计算惯性半径
2)计算柔度
y
y
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l2
iy 6.0 ??
580
5.05
= 68.9
z
z
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l1
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750
11.58
= 64.8
3)求稳定因数
取 λy和 λz中较大的 λy来查表和计算：
φ= 0.849+ (0.844-0.849)
10
9 =0.845
4)求稳定许用应力
[σ]st= φ [σ] =0.845× 206=174MPa
A
F??
522
1035 3?? =64.3MPa < [σ]st
故该连杆满足稳定性要求。
此题中的连杆在两个平面失稳时的约束情况、计算
长度和惯性矩都不同，应分别计算其柔度以判断其稳定
性的强弱。
计算压杆稳定性时应注意的问题：
1）压杆在不同平面内失稳时约束的不同使 μ 值不同；
3）注意压杆在不同平面内失稳时计算长度 l的不同。
2）压杆在不同平面内失稳时中性轴的不同，计算过
程中应选用不同的惯性矩使 I 和 i 不同；
i
l?? ?
解,1）求 BC杆的轴力
0?? AM
23
2
1 ?? q 230s inN ??? BCF 0?
qF BC 5.4N ?
以 AB梁为分离体，对 A点
取矩，有：
例 9-8 托架的撑杆为钢管，外径 D=50mm，内径 d=40mm，
两端球形铰支，材料为 Q235钢，
E=206GPa。试根据该杆的稳定性
要求，确定横梁上均布载荷集度
1m2m
30°
Ⅰ
Ⅰ
Ⅰ -Ⅰ 截面
A B
C
q
q之许可值。稳定安全系数 nst=3.
2）求 BC杆的临界力
A
Ii ?
i
l?? ?
707
181132? =16mm
0.1?
× 2/cos30°
16
× 103 =144.3
4
)( 22 dDA ?? ?
4
)4050( 22 ?? ? =707mm
2。
64
)( 44 dDI ?? ?
64
)4050( 44 ?? ? =181132mm
4。
因为 λ>λP=100，故可用欧拉公式计算 BC杆的临界力。
2
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× 181132
(1.0× 2/cos30°× 103 )2
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30°
Ⅰ
Ⅰ
A B
C
q
=69 kN
st
N B C
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F
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cr /1.5
35.4
69
5.4][ ????
例 9 - 9 正方形截面木制压杆 ①、②杆的许用应力 [ σ ]=10MP a,
截面的边长 a = 100 m m,当 λ? 80,
2
100
20
55.002.1)( ?
?
?
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??,当 λ >80,
2
3 0 0 0
)(
?
?? ? 。 求①、②杆同时达到稳定许用应力时,x 与 a 的关
系。
a Q
x
3m ① ② 2m
解：①杆许可载荷：
kNAF 7.27)(][][
278.0
9.103
3000
)(
9.103
12/100
3000
1
21
1
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???
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?
② 杆许可载荷：
kNAF 58)(][][
58.0
100
203.69
55.002.1)(
2.69
12/100
2 0 0 0
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38.27
22
11
2
1
解得 x=0.719a
三, 压杆的合理设计
1,从材料方面考虑,
（ 1） 细长杆 E，
（ 2） 中长杆 σs
2,从柔度方面考虑：
（ 1） 采样合理的截面形状
（ 2） 减少压杆的长度
（ 3）加强杆端的约束
4
1
4
1
0
2
1
cm6.25,cm3.198
,cm52.1,cm74.12
??
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yz II
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41 cm6.3963.19822 ???? zz II
???? ])2/([2 2011 azAII yy
])2/52.1(74.126.25[2 2a????
时合理即 2)2/52.1(74.126.253.1 8 9, a???
例 9-10 图示立柱,L=6m，由两根 10号槽钢组成，下端固定，上
端为球铰支座,试问 a=？时，立柱的 临界压力最大，值为多
少？ 解, 对于单个 10号槽钢, 形心在 C1点 。
两根槽钢图示组合之后，
cm32.4?a
F
L
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y y
1
zC1
a
5.1 0 6
1074.122
106.3 9 6
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106.396200
)( 2
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求临界力：
大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
作业,9-12,9-17
