一、静载荷与动载荷：
载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件加
速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为 静载荷 。
载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生惯
性力），此类载荷为 动载荷 。
二、动响应：
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移
等），称为 动响应 。
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超
过比例极限,在动载荷下虎克定律仍成立且 E静 =E动 。
§ 12－ 1 概 述
三、动荷系数：
静响应
动响应动荷系数 ?
dK
四、动应力分类：
1.简单动应力,加速度的可以确定，采用, 动静法, 求解
。2.冲击载荷,速度在极短暂的时间内有急剧改变，此时，加
速度不能确定，要采用, 能量法, 求之；
3.交变应力,应力随时间作周期性变化，疲劳问题。
stdd ?? K?
§ 12－ 2 构件有加速度时动应力计算
在构件运动的某一时刻，将分布惯性力加在构
件上，使原来作用在构件上的外力和惯性力假
想地组成平衡力系，然后按静荷作用下的问题
来处理。
计算采用 动静法
一、直线运动构件的动应力
例 12-1 图示梁、钢索结构。起吊重物以等加速度 a提升。
试求钢索横截面的动应力和梁的最大动应力 。
FNd
P
a
g
P
a
P
解,(1) 钢索的轴力：
)1(
0
g
a
Pa
g
P
PF
a
g
P
PF
Nd
Nd
????
???
(2)钢索横截面的动应力：
)1()1( gagaAPAF stNdd ????? ??
令 称为动荷因数，则
g
aK
d ?? 1
stdd K ?? ?
梁的弯矩：
4m a x
PlKMKM d
stdd ??
梁的最大动应力：
W
PlK
W
M dd
d 4
m a x
m a x ???
例 12-2 长度 l=12m 的 16号工字钢，用横截面面积
为 A=108mm2 的钢索起吊，如图 a所示，并以等加速
度 a=10m/s2 上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊
索自重，试求吊索的动应力，以及工字钢在危险点的
动应力 ?d,max
(d)
A B
2.484m2.484m 7.032m
Aa
4m
B
2m2m
C
y
z
4m
(a)
于是，工字钢上总的均布力集度为
)1(stdst gaqqqq ????
g
aqq ??
std
解,将集度为 qd=A?a 的惯性力加在工字钢上，使
工字钢上的起吊力与其重量和惯性力假想地组成平
衡力系。若工字钢单位长度的重量记为 qst,则惯
性力集度为
引入动荷因数
g
aK ?? 1
d
则 std qKq ?
由对称关系可知，两吊索的轴力 （参见图 b）
相等，其值可由平衡方程,
NF
? ? 0yF 02 stN ?? lqF
求得
lqF stN 21?
吊索的静应力为
A
lq
A
F
2
stN ???
故得吊索的动应力为
A
lq
g
aK
2)1(
st
dd ??? ??
(b)
A B
FN NFqst
由型钢表查得 qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g及已知数据
代入上式，即得
M P a6.22101082 )m12)(N / m81.95.20()m / s81.9 m / s101( 62
2
d ???
????
??
同理，工字钢危险截面上危险点处的动应力
zW
M
g
aK m a x
m a xdm a xd,)1( ??? ??
由工字钢的弯矩图 (图 c)可知,Mmax=6qstN·m,并由
型钢表查得 Wz=21.2?10-6 m3以及已知数据代入上式，
得
M P a1 1 5m102.21 mN)81.95.206(02.2 36m a xd,?? ???? ??
2qst
M 图 （ N·m)
q6 st
(c)
gLGRmmaF nNd /22 ?? ???
惯性力：
? ??? ?? AF Nd /
? ? ? ?)(
2
?
?
? g
GLFA Nd ??
例 12-3 重为 G的球装在长 L的转臂端部，以等角速度
在光滑水平面上绕 O点旋转,已知许用强度 [?],求
转臂的截面面积（不计转臂自重）。
② 强度条件
解：① 受力分析如图,
?
FNd
L
O
二、转动构件的动应力,
qd
例 12-4 设圆环的平均直径 D、厚度 t,且 t?D，环
的横截面面积为 A，单位体积重量为 ?,圆环绕过圆
心且垂直于圆环平面的轴以等角速度 ?旋转，如图所
示,试确定圆环的动应力，并建立强度条件。
g
AD
g
Aaq n
d 2
2???
??
2
2?D
an?
解：① 惯性力分析,
O
D
t
② 内 力分析如图
图 2
qd
FNd FNd
02 ?? DqF dNd
2
2
42
??
g
ADDqF G
Nd ??
③ 应力分析
22
2
4 vgg
D
A
F Nd
d
???? ???
? ???? ??
g
v
d
2
?
? gv ][ ??
④ 强度条件
最大线速度：
?
? gv ][
m a x ?
§ 12－ 3 构件受冲击时动应力计算
冲击物在冲击过程中减少的动能 Ek 和势能 Ep 等
于被冲击构件所增加的应变能 V?d,即
εdpk VEE ??
(a)
计算采用 能量守恒定律
设重量为 P的重物，从高度 h自由落下，冲击到等截面
直杆 AB的 B端。杆 AB长度为 l,横截面面积为 A。
B
(c)
P
A
stΔ
(b) B
A
Fd
dΔ
A
(a)
P
B
h
l
一、自由落体冲击问题
则当冲击物速度降为零时，杆 AB发生最大伸长 ?d，则
冲击物减少的势能为
)( dp ΔhPE ?? (b)
假设,1.冲击物变形与回弹可忽略。
2.AB杆质量可忽略。
3.冲击过程的能量耗散可忽略。
而冲击物的初速与终速均为零，故
0k ?E (c)
杆内应变能
2
dεd 2 Δl
EAV ? (d)
将 (b)(c)(d)代入 (a)得
2
dd 2)( Δl
EAΔhP ??
解出 ?d 的两个根，取其中大于 ?st 的那个根，即得
)211(
st
std Δ
hΔΔ ???
引用记号
)211(
st
d Δ
hK ??? 则 stdd ΔKΔ ?
(e)
注意,即在静载 P下 AB杆的伸长，则上式可
stΔEa
Pl ?
022 stdst2d ??? hΔΔΔΔ简化成
将上式两边乘以 E/l 后得
stdd ?? K? (1)
当 h?0 时，相当于 P 骤加在杆件上，这时
2d ?K
对于实际情况，以上计算是偏于安全的。
例 12-5 已知,d1=0.3m,l=6m,P=5kN,E1=10Gpa,求
两种情况的动应力。（ 1） H=1m自由下落；（ 2）
H=1m,橡皮垫 d2=0.15m,h=20mm,E2=8Mpa,
H
P P
h
ld1 d1
d2
解,（ 1）
=0.0425 mm
11 AE
Pl
st ??
2 1 8211 ?????
st
d
HK
M P aK stdd 42.15?? ??
(2)
2211 AE
Ph
AE
Pl
st ???
=0.75mm,Kd=52.3
MPaK stdd 7.3?? ??
stdK
mgmv ?? 22
22
1
二、不计重力的轴向冲击：
0
0
2/
1
1
2
1
?
?
?
?V
V
mvE k
变形能
势能
动能冲击前：
2/
0
0
2
2
2
dd
K
PV
V
E
??
?
?
?变形能
势能
动能冲击后：冲击前后能量守恒，且
stdd
ststdd
K
mgPPKF
???
?? )(
v
mg
动荷系数
st
d g
vK
??
2
例 12-6 一下端固定、长度为 的铅直圆截面杆 AB
，在 C点处被一物体 G沿水平方向冲击（图 a）。已
知 C点到杆下端的距离为 a，物体 G的重量为 P，物
体 G在与杆接触时的速度为 v。试求杆在危险点的冲
击应力。
l
解,
g
FvE
2
2
k ? 0p ?E
杆内的应变能为
ddεd 2
1 ΔFV ??
EI
aFΔ
3
3
d
d ?
由此得
d3d
3 Δ
a
EIF ? (b)
A
GC
BdΔ
dF
(a)
A
l
B
CG
a
v
由机械能守恒定律可得
2
d3
2
)3(212 ΔaEIgPv ?
由此解得 ?d为
st
2
stst
232
d )3( g Δ
vΔΔ
g
v
EI
Pa
g
vΔ ???
式中，
EI
PaΔ
3
3
st ?
于是，可得杆内的应变能为
2
d3ddεd )
3(
2
1
2
1 Δ
a
EIΔFV ??
A
F C
B
(c)
stΔ
当杆在 C点受水平力 F作用时，杆的固定端横截面
最外缘（即危险点）处的静应力为
W
Fa
W
M ?? m a x
st?
W
Fa
g Δ
vK ???
st
2
stdd ??
于是，杆在危险点处的冲击应力 ?d 为
?
st
2
st
d
d g Δ
v
Δ
ΔK ??
例 12-7 已知,P=2.88kN,H=6cm; 梁,E=100GPa,
I=100cm4,l=1m。柱,E1=72Gpa,I1=6.25cm4,
A1=1cm2,a=1m,λP=62.8,σcr=373-2.15λ,nst=3。试
校核柱的稳定性。
H
L L
a
解：（ 1）求柱的动载荷
mmAEPaEIlPst 9.4448 )2(
11
3
????
05.6211 ?????
st
d
HK
kNFKF stdd 71.8288.205.6 ????
（ 2）柱的稳定性校核
7.28,40,25 1
11
1
1 ??????? AFi
amm
A
Ii
crcrP ??
??kN
st
d
cr n
F
Fn ??? 3.3
柱是稳定的。
练习题：图 (a)所示外伸梁自由端放一重物 P，自
由端的挠度 Δst=2mm；若该重物从高度 h=15mm
处自由落下如图 (b)所示，冲击到梁的 B点，则连
得最大动挠度 Δdmax= 。
B
PA h
B
P
A
作业,6-2,6-6,6-9,6-14
