构件受外荷载而变形,当外荷载卸除而恢
复的那部分变形称为 弹性变形 ；
当外载卸除而不能恢复的那部分变形称
为 塑性变形 。
§ 10-1 塑性变形 塑性极限分析的假设?
(4)通常所指的塑性变形,忽
略了时间因素的影响 (常温、
低应变率）。
塑性变形的特征,
(1)变形的不可恢复性是塑性的基本特征。
(2)应力超过弹性范围后,应力 -
应变呈非线性关系,叠加原理
不再适用。
(3)塑性变形与加载历程有关,应
力与应变之间不再是单值关系。
s
O e
1s
ss
s's
eepe
在超过屈服荷载以后,物体内出现了部分塑性变形。
这部分塑性变形改变了物体内的应力分配,使物体的
其它部分更多地参加到承担外载中去，从而提高了整
个物体的承载能力。因此，需要进行 塑性极限分析 。
塑性极限分析
受力物体中,在一般情况下应力分布是不均匀的,如
果单凭弹性分析来进行设计,材料的利用率可能较低。
4.材料应力－应变关系
为刚性－理想塑性或
弹性－理想塑性
为简化计算，通常对塑性极限分析作如下假设：
1.简单加载
2.小变形
3.结构几何形状不变
ss
(a)
s
o e
(b)
ss
s
eo
当结构由于较大塑性变形而成为几何可
变结构时，结构达到了极限状态，计算
结构极限状态下的荷载（极限荷载）称
为 塑性极限分析 。
使结构处于极限状态的荷载，称为 极限荷载,记为
Fu 。
§ 10－ 2拉压杆系的极限荷载
静定拉压杆系，其中一杆内应力达到材料屈服极限
，结构即达极限状态。
超静定拉压杆系，其中多杆应力达到材料屈服极限
，结构才达极限状态。
结构内开始出现塑性变形时的荷载，称为 屈服荷载,
记为 Fs 。
例题 10-1 超静定桁架如图, 三杆的材料相同, 弹性
模量为 E。 三杆的横截面面积均为 A,承受铅垂荷载 F
作用 。 试求结构的屈服荷载 Fs 和极限荷载 Fu 。
B CD
A
231
??
F图 a 图 b
s
ss
eo
几何相容方程 ?ee 231 co s? (3)
物理关系
E
1
1
se ?
E
3
3
se ? (4)
解,当 F不大时, 三杆均处于弹性状态 。 设三杆的轴
力分别为 FN1, FN2 和 FN3（ 图 c）,节点 A的静力
平衡方程
1NF
2NF
N3F
??
A
F
图 c
,0?? xF 2N1N FF ? (1)
,0?? yF )co s2( 13 ?ss ?? AF (2)
将（ 4）代入（ 3），并与（ 2）联立求解，即得
)co s21(
co s
3
2
21 ?
?ss
??? A
F (5)
)co s21( 33 ?s ?? A
F
(6)
)co s21( 3ss ?s ?? AF
杆 3内的应力大于两侧斜杆的应力 。 若增大荷载 F，
则中间杆的应力首先达到材料的屈服极限 ss, 开始
产生塑性变形 。 这时, 结构的荷载为屈服荷载 Fs,
由式 （ 5） 可得到,
若继续增大荷载，则中间杆的应力保持为 ss,两侧
斜杆的应力继续增长。
当荷载大于屈服荷载但小于极限荷载 (Fs<F<Fu)时，
结构处于弹性－塑性状态。这时，由静定平衡条件
(7)
?
sss
c o s2
)/( s
21
??? AF s3 ss ?
继续增大荷载, 当两侧斜杆内的应力达到屈服极限
ss 时, 整个结构进入完全塑性状态而达到极限状态 。
由静力平衡方程, 即得到极限荷载为
)c o s21(su ?s ?? AF (8)
若以 ?表示三杆铰接点 A的铅垂位移, 则 F与 ?之间
的关系如图 d所示 。
?
?
3
s
u
co s21
co s21
?
??
F
F由式（ 7）和（ 8）,
Δ
uΔ
uF
sΔ
sF
F
O
图 d
41.1/ su ?FF若,则?45??
s
3
sps 16
π ?? dWT ??
此时的扭矩称为 屈服扭矩 Ts,
其值为
§ 10-3 等直圆杆扭转时的极限扭矩
等直圆杆在扭转时，可以看成是由半径从 0 ??
的无数薄壁圆筒相套并在两端焊死的一个超静定系
统。若其横截面上最大切应力达到了 ?s,则横截面
任一直径上切应力的变化如图。
s?
(a)
若继续增大扭矩，则随着切应变增大，此直径上各
点处的切应力将从周围向中心逐渐增大到 ?s 。
s?
(b)
当截面上各点处的切应力均达到 ?s,整个截面进入完
全塑性状态。这时不需要再增大外力偶矩，圆杆将继
续扭转变形，即扭杆达到极限状态。对应的极限扭矩
为：
s
32/
0
2
ssu 12
πdπ2d ?????? dAT d
A
??? ?? （ 10-1）
由 33.1
12
π
16
π
s
3
s
3
s
u ??
?
?
d
d
T
T 可见，考虑了材料的塑性，
同一圆杆所对应的扭矩极限值可以增大 33%。
如果这时卸载，即荷载从 Tu 变为 0，就相当于反向施
加外力偶矩 Me= Tu,则可得横截面上的残余应力如
图。
s?
ue TM ? 0e ?M
s3
1?
s?
ue TM ??
s3
4? s?
解, 当达到极限扭矩时 Tu,轴横截面每一点处的切
应力都达到 ?s （图 b），此时
(1)
s
332/
2/
2
ssu 12
)1(πdπ2d ??????? ???? ?? DAT D
dA
例题 10-2 试求空心圆截面轴极限扭矩 Tu 与屈服扭
矩 Ts 的比值。
例 10-2 图
D
O
(a)
Ad
Ads?
?
O
(b)
式中,。
D
d??
空心圆截面轴的
s
43
s 16
)1(π ???? DT (2)
?
4
3
s
u
1
1
3
4
?
?
?
???
T
T (3)
矩形截面梁受纯弯曲时，可以看成是无数在梁两端焊
死的纵向纤维组成的一个超静定系统。若其横截面上
最大正应力达到了 ss,则横截面上正应力的变化如
图。
s
2
ss 6 ss
bhWM ??
此时的弯矩称为 屈服弯矩 Ms,其值
为
§ 10－ 4 梁的极限弯矩 塑性铰?
(a)
ss?
ss
当横截面上各处的正应力均达到 ss 时，整个截面
进入 完全塑性状态 。
若继续增大弯矩，则随着线应变的增大，横截面上
各处正应力将从上下边缘向中性轴逐渐增大到 ss 。
ss?
ss
(b) (c)
ss?
ss
将横截面上受拉部分的面积记为 At,受压部分的面积
记为 Ac 。
由静力学关系，可得
ct AA ?
令 At 对中性轴的静矩为
?? t dt A AyS
Ac对中性轴的静矩为
?? c dc A AyS
这时不需要再增大荷载，梁将继续弯曲变形，即梁达
到了极限状态。
对于具有水平对称轴的横截面，
8
2
ct
bhSS ??
AyAyM AA d))((d
ct ssu ??
???? ss
)( cts SS ?? s
梁的极限弯矩为
则极限弯矩为
s
2
u 4 s??
bhM
由 5.1
6
4
s
2
s
2
s
u ??
s
s
bh
bh
M
M 可见，考虑了材料塑性，
矩形截面梁对应的弯矩极限值可以增大 50％。
几种常用截面的 Mu/Ms 比值见下表。
表 10-1 几种常用截面的 Mu/Ms 比值
截面形状
su / MM
1.15-1.17 1.27 1.5 1.70
如果这时卸载，即荷载从 Mu变为 0，就相当于反向施
加外力偶矩 Me =Mu,则可得到横截面上的残余应力
如图。
ss
uMM ?
s2
3s
uMM ??
s2
1s
0?M
ss
例 10-3 试求圆截面梁的极限弯矩及比值 Ws/W 。
解, 圆截面对称于中性轴，故 St=Sc 。由于半 圆形
的形心到其直径边的距离为 2d/3?,所以
6π3
2)]
4
π(
2
1[2 32
cts
dddSSW ?????
极限弯矩为
s
3
ssu 6 ss
dWM ??
圆截面的弯曲截面系数 W= ?d3/32,所以
70.1π63232/π 6/3
3
s ???
d
d
W
W
)mm2 5 0(mm50)mm50(mm50mm1 6 0mm50 yy ?????
解得 mm70)mm160mm50mm250(
2
1 ????y
解, 因 T形截面无水平对称轴，
为了求 St 和 Sc,必须先确
定中性轴的位置。现以 y表示
翼缘边到中性轴的距离，由
At=Ac,可得
例 10-4 图示 T形截面梁的屈服极限 ss=235MPa
试求该梁的极限弯矩 。
y
160
50
50
z'
例题图
200
3534c m1081mm1081mm90mm50mm180 ????????S
从而
35cts m10118 ????? SSW
? )m10118)(Pa10235( 356
ssu ????? WM s
mkN3.277mN277300 ????
3534 m1037mm1037 ?????
mm10mm20mm50mm45mm50mm160t ??????S
则
塑性铰
在横力弯曲时，梁各横截面上的弯矩是不同的，
最大弯矩所在截面将首先屈服。
h
bl
F
4m a x
FlM ?
us FFF ??
ss
sy
(a) (b)sM sM
设一矩形截面的简支梁在跨长 l 的中点处承受
集中荷载 F 。
当力 F 增大到某个临界值 Fu 时，跨中截面完全
屈服，其邻近的横截面局部屈服，这时 F 不需继续增
加而跨中截面两侧的两段梁可以绕跨中截面的中性轴
相对旋转，犹如在该截面处安置了一个铰链，通常称
为 塑性铰 。
其最大弯矩 Mmax=Fl/4,位于跨中截面。
(c)
ss
uF
sl
当梁卸载时，塑性铰效应也随之消失。
得
s
2
u sl
bhF ?
44
u
s
2
u
lFbhM ?? s由
根据塑性极限分析求得极限荷载，再乘以安全系
数得到许用荷载的强度设计方法称为 极限荷载法 。而
前述弹性极限分析的强度计算方法，称为 容许应力法 。
例 10-5 承受均布荷载作用的矩形截面外伸梁如图 a
所示。已知梁的尺寸为 l=3m,b=60mm,h=120mm,
屈服极限 ss=235MPa 。试求梁的极限荷载。
解, 先按弹性分
析的方法作出梁
的弯矩图 （图 c）
81
8 2
m a x
qlM ?
A B(a) C
3
l
q
l
9
4l
ql 81
2
8
ql 18
2
(c)
b
h
(b)
得出最大弯矩为
于是得
2
2
su 8
81
4
1
lbhq ?? s
?
2
26
u )m3(84
81)m12.0)(m06.0)(Pa102 3 5(
??
???q
k N / m1.57N / m101.57 3 ???
481
8 2
sss
2
u
u
bhWlqM ???? ss即
当梁达到极限状态时，其最大弯矩等于极限弯矩，
梁上的荷载达到极限值。
练习题：求图示矩形截面悬臂梁的极限荷载。
材料屈服极限为 。
ss
F
h
l b
作业,2-2,2-4,2-8
