矩形截面梁受纯弯曲时，可以看成是无数在梁两端焊
死的纵向纤维组成的一个超静定系统。若其横截面上
最大正应力达到了 ?s,则横截面上正应力的变化如
图。
s
2
ss 6 ??
bhWM ??
此时的弯矩称为 屈服弯矩 Ms,其值
为
§ 10－ 4 梁的极限弯矩 塑性铰?
(a)
s??
s?
当横截面上各处的正应力均达到 ?s 时，整个截面
进入 完全塑性状态 。
若继续增大弯矩，则随着线应变的增大，横截面上
各处正应力将从上下边缘向中性轴逐渐增大到 ?s 。
s??
s?
(b) (c)
s??
s?
将横截面上受拉部分的面积记为 At,受压部分的面积
记为 Ac 。
由静力学关系，可得
ct AA ?
令 At 对中性轴的静矩为
?? t dt A AyS
Ac对中性轴的静矩为
?? c dc A AyS
这时不需要再增大荷载，梁将继续弯曲变形，即梁达
到了极限状态。
对于具有水平对称轴的横截面，
8
2
ct
bhSS ??
AyAyM AA d))((d
ct ssu ??
???? ??
)( cts SS ?? ?
梁的极限弯矩为
则极限弯矩为
s
2
u 4 ???
bhM
由 5.1
6
4
s
2
s
2
s
u ??
?
?
bh
bh
M
M 可见，考虑了材料塑性，
矩形截面梁对应的弯矩极限值可以增大 50％。
几种常用截面的 Mu/Ms 比值见下表。
表 10-1 几种常用截面的 Mu/Ms 比值
截面形状
su / MM
1.15-1.17 1.27 1.5 1.70
如果这时卸载，即荷载从 Mu变为 0，就相当于反向施
加外力偶矩 Me =Mu,则可得到横截面上的残余应力
如图。
s?
uMM ?
s2
3?
uMM ??
s2
1?
0?M
s?
例 10-3 试求圆截面梁的极限弯矩及比值 Ws/W 。
解, 圆截面对称于中性轴，故 St=Sc 。由于半 圆形
的形心到其直径边的距离为 2d/3?,所以
6π3
2)]
4
π(
2
1[2 32
cts
dddSSW ?????
极限弯矩为
s
3
ssu 6 ??
dWM ??
圆截面的弯曲截面系数 W= ?d3/32,所以
70.1π63232/π 6/3
3
s ???
d
d
W
W
)mm2 5 0(mm50)mm50(mm50mm1 6 0mm50 yy ?????
解得 mm70)mm160mm50mm250(
2
1 ????y
解, 因 T形截面无水平对称轴，
为了求 St 和 Sc,必须先确
定中性轴的位置。现以 y表示
翼缘边到中性轴的距离，由
At=Ac,可得
例 10-4 图示 T形截面梁的屈服极限 ?s=235MPa
试求该梁的极限弯矩 。
y
160
50
50
z'
例题图
200
3534c m1081mm1081mm90mm50mm180 ????????S
从而
35cts m10118 ????? SSW
? )m10118)(Pa10235( 356
ssu ????? WM ?
mkN3.277mN277300 ????
3534 m1037mm1037 ?????
mm10mm20mm50mm45mm50mm160t ??????S
则
塑性铰
在横力弯曲时，梁各横截面上的弯矩是不同的，
最大弯矩所在截面将首先屈服。
h
bl
F
4m a x
FlM ?
us FFF ??
s?
sy
(a) (b)sM sM
设一矩形截面的简支梁在跨长 l 的中点处承受
集中荷载 F 。
当力 F 增大到某个临界值 Fu 时，跨中截面完全
屈服，其邻近的横截面局部屈服，这时 F 不需继续增
加而跨中截面两侧的两段梁可以绕跨中截面的中性轴
相对旋转，犹如在该截面处安置了一个铰链，通常称
为 塑性铰 。
其最大弯矩 Mmax=Fl/4,位于跨中截面。
(c)
s?
uF
sl
当梁卸载时，塑性铰效应也随之消失。
得
s
2
u ?l
bhF ?
44
u
s
2
u
lFbhM ?? ?由
根据塑性极限分析求得极限荷载，再乘以安全系
数得到许用荷载的强度设计方法称为 极限荷载法 。而
前述弹性极限分析的强度计算方法，称为 容许应力法 。
例 10-5 承受均布荷载作用的矩形截面外伸梁如图 a
所示。已知梁的尺寸为 l=3m,b=60mm,h=120mm,
屈服极限 ?s=235MPa 。试求梁的极限荷载。
解, 先按弹性分
析的方法作出梁
的弯矩图 （图 c）
81
8 2
m a x
qlM ?
A B(a) C
3
l
q
l
9
4l
ql 81
2
8
ql 18
2
(c)
b
h
(b)
得出最大弯矩为
于是得
2
2
su 8
81
4
1
lbhq ?? ?
?
2
26
u )m3(84
81)m12.0)(m06.0)(Pa102 3 5(
??
???q
k N / m1.57N / m101.57 3 ???
481
8 2
sss
2
u
u
bhWlqM ???? ??即
当梁达到极限状态时，其最大弯矩等于极限弯矩，
梁上的荷载达到极限值。
练习题：求图示矩形截面悬臂梁的极限荷载。
材料屈服极限为 。
s?
F
h
l b
作业,2-2,2-4,2-8
死的纵向纤维组成的一个超静定系统。若其横截面上
最大正应力达到了 ?s,则横截面上正应力的变化如
图。
s
2
ss 6 ??
bhWM ??
此时的弯矩称为 屈服弯矩 Ms,其值
为
§ 10－ 4 梁的极限弯矩 塑性铰?
(a)
s??
s?
当横截面上各处的正应力均达到 ?s 时，整个截面
进入 完全塑性状态 。
若继续增大弯矩，则随着线应变的增大，横截面上
各处正应力将从上下边缘向中性轴逐渐增大到 ?s 。
s??
s?
(b) (c)
s??
s?
将横截面上受拉部分的面积记为 At,受压部分的面积
记为 Ac 。
由静力学关系，可得
ct AA ?
令 At 对中性轴的静矩为
?? t dt A AyS
Ac对中性轴的静矩为
?? c dc A AyS
这时不需要再增大荷载，梁将继续弯曲变形，即梁达
到了极限状态。
对于具有水平对称轴的横截面，
8
2
ct
bhSS ??
AyAyM AA d))((d
ct ssu ??
???? ??
)( cts SS ?? ?
梁的极限弯矩为
则极限弯矩为
s
2
u 4 ???
bhM
由 5.1
6
4
s
2
s
2
s
u ??
?
?
bh
bh
M
M 可见，考虑了材料塑性，
矩形截面梁对应的弯矩极限值可以增大 50％。
几种常用截面的 Mu/Ms 比值见下表。
表 10-1 几种常用截面的 Mu/Ms 比值
截面形状
su / MM
1.15-1.17 1.27 1.5 1.70
如果这时卸载，即荷载从 Mu变为 0，就相当于反向施
加外力偶矩 Me =Mu,则可得到横截面上的残余应力
如图。
s?
uMM ?
s2
3?
uMM ??
s2
1?
0?M
s?
例 10-3 试求圆截面梁的极限弯矩及比值 Ws/W 。
解, 圆截面对称于中性轴，故 St=Sc 。由于半 圆形
的形心到其直径边的距离为 2d/3?,所以
6π3
2)]
4
π(
2
1[2 32
cts
dddSSW ?????
极限弯矩为
s
3
ssu 6 ??
dWM ??
圆截面的弯曲截面系数 W= ?d3/32,所以
70.1π63232/π 6/3
3
s ???
d
d
W
W
)mm2 5 0(mm50)mm50(mm50mm1 6 0mm50 yy ?????
解得 mm70)mm160mm50mm250(
2
1 ????y
解, 因 T形截面无水平对称轴，
为了求 St 和 Sc,必须先确
定中性轴的位置。现以 y表示
翼缘边到中性轴的距离，由
At=Ac,可得
例 10-4 图示 T形截面梁的屈服极限 ?s=235MPa
试求该梁的极限弯矩 。
y
160
50
50
z'
例题图
200
3534c m1081mm1081mm90mm50mm180 ????????S
从而
35cts m10118 ????? SSW
? )m10118)(Pa10235( 356
ssu ????? WM ?
mkN3.277mN277300 ????
3534 m1037mm1037 ?????
mm10mm20mm50mm45mm50mm160t ??????S
则
塑性铰
在横力弯曲时，梁各横截面上的弯矩是不同的，
最大弯矩所在截面将首先屈服。
h
bl
F
4m a x
FlM ?
us FFF ??
s?
sy
(a) (b)sM sM
设一矩形截面的简支梁在跨长 l 的中点处承受
集中荷载 F 。
当力 F 增大到某个临界值 Fu 时，跨中截面完全
屈服，其邻近的横截面局部屈服，这时 F 不需继续增
加而跨中截面两侧的两段梁可以绕跨中截面的中性轴
相对旋转，犹如在该截面处安置了一个铰链，通常称
为 塑性铰 。
其最大弯矩 Mmax=Fl/4,位于跨中截面。
(c)
s?
uF
sl
当梁卸载时，塑性铰效应也随之消失。
得
s
2
u ?l
bhF ?
44
u
s
2
u
lFbhM ?? ?由
根据塑性极限分析求得极限荷载，再乘以安全系
数得到许用荷载的强度设计方法称为 极限荷载法 。而
前述弹性极限分析的强度计算方法，称为 容许应力法 。
例 10-5 承受均布荷载作用的矩形截面外伸梁如图 a
所示。已知梁的尺寸为 l=3m,b=60mm,h=120mm,
屈服极限 ?s=235MPa 。试求梁的极限荷载。
解, 先按弹性分
析的方法作出梁
的弯矩图 （图 c）
81
8 2
m a x
qlM ?
A B(a) C
3
l
q
l
9
4l
ql 81
2
8
ql 18
2
(c)
b
h
(b)
得出最大弯矩为
于是得
2
2
su 8
81
4
1
lbhq ?? ?
?
2
26
u )m3(84
81)m12.0)(m06.0)(Pa102 3 5(
??
???q
k N / m1.57N / m101.57 3 ???
481
8 2
sss
2
u
u
bhWlqM ???? ??即
当梁达到极限状态时，其最大弯矩等于极限弯矩，
梁上的荷载达到极限值。
练习题：求图示矩形截面悬臂梁的极限荷载。
材料屈服极限为 。
s?
F
h
l b
作业,2-2,2-4,2-8
