上次课回顾：
1、空间应力状态的概念
最大剪应力
2
31
m ax
??? ??
2、广义胡克定律 ? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
2133
3122
3211
1
1
1
?????
?????
?????
E
E
E
主应力
三向应力圆
?
?
O
?3
?2
?1
?max
B
D
A
? m
ax
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
213
122
211
1
1
??
?
?
????
????
E
E
E
平面应力状态：
3、各向同性材料的体积应变
? ?zyx
E
???
?
? ??
?
?
21
4、空间应力状态下的应变能密度
? ?? ?313221232221 22 1 ??????????? ?????? Ev
形状改变比能
? ? ? ? ? ?? ?231232221d 61 ??????? ??????? Ev
? ? 23216 21 ???? ???? Ev V
体积改变比能
§ 7-6 强度理论及其相当应力
? ?
1、概述
][m a x ??? ?? n jx
1）单向应力状态：
图示拉伸或压缩的单向应力状态, 材料的破
坏有两种形式：
塑性屈服：极限应力为
2.0p??? 或sjx ?
脆性断裂：极限应力为
bjx ?? ?
此时,?s,? p0.2和 ?b可由实验测得。由此可建
立如下强度条件：
][m a x ??? ?? njx
?
2)纯剪应力状态：
其中 n为安全系数。
图示纯剪应力状态, 材料的破
坏有两种形式：
塑性屈服：极限应力为
sjx ?? ?
脆性断裂：极限应力为
bjx ?? ?
其中,?s和 ?b可由实验测得。由此可建立如下
强度条件：
][m a x ?? ?
3）复杂应力状态
?x
?x
来建立, 因为 ?与 ?之间会 相互影响 。
研究复杂应力状态下材料破坏的原因, 根据一
定的假设来确定破坏条件, 从而建立强度条件, 这
就是强度理论的研究内容 。
对图示平面应力状态，不能分别用
][m a x ?? ?
4）材料破坏的形式
? 塑性屈服型：
常温、静载时材料的破坏形式大致可分为：
? 脆性断裂型：
铸铁：拉伸、扭转等；
低碳钢：三向拉应力状态。
低碳钢：拉伸、扭转等；
铸铁：三向压缩应力状态。
例如：
例如：
可见,材料破坏的形式不仅与材料有关, 还与
应力状态有关 。
根据一些实验资料, 针对上述两种破坏形式,
分别针对它们发生破坏的原因提出假说, 并认为不
论材料处于何种应力状态, 某种类型的破坏都是由
同一因素引起, 此即为 强度理论 。
maxl?
脆性断裂：
maxl?
塑性断裂,max?
dV
5）强度理论
常用的破坏判据有：
下面将讨论常用的, 基于上述四种破坏判据的
强度理论 。
2,四个常用的强度理论
jx?? ?1
强度条件：
][1 ??? ?? njx
1）最大拉应力理论 (第一强度理论 )
假设最大拉应力 ?1是引起材料脆性断裂的因
素 。 不论在什么样的应力状态下, 只要三个主应
力中的最大拉应力 ?1达到极限应力 ?jx,材料就发
生脆性断裂, 即：
可见,a)与 ?2,?3无关；
b) 应力 ?jx可用单向拉伸试样发生脆性断裂的
试验来确定 。
实验验证,铸铁：单拉, 纯剪应力状态下的破坏与
该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本
相符 。
存在问题,没有考虑 ?2,?3对脆断的影响, 无法解
释石料单压时的纵向开裂现象 。
假设最大伸长线应变 ?1是引起脆性破坏的主要
因素, 则：
jx?? ?1
?jx用单向拉伸测定，即：
E
jx
jx
?? ?
2）最大伸长线应变理论 (第二强度理论 )
实验验证：
a) 可解释大理石单压时的纵向裂缝；
b) 铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符；
c) 对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于
安全，但可用。
因此有,? ?
jx????? ??? 321
强度条件为,? ?
][321 ?????? ???? n jx
? ?? ?3211 1 ????? ??? E因为：
2
31
m a x
??? ??
jx?? ?m a x
对低碳钢等塑性材料, 单向拉伸时的屈服是
由 45° 斜截面上的切应力引起的, 因而极限应力
?jx可由单拉时的屈服应力求得, 即：
常数?? 2 sjx ??
3）最大切应力理论 (第三强度理论 )
假设最大切应力 ?max是引起材料塑性屈服的因
素, 则：
因为：
实验验证：
c) 二向应力状态基本符合，偏于安全。
b) 仅适用于拉压性能相同的材料。
由此可得，强度条件为：
][31 ???? ??? n s
a) 仅适用于拉压性能相同的材料；
b) 低碳钢单拉 (压 )对 45?滑移线吻合；
存在问题：
a)没考虑 ?2对屈服的影响，偏于安全，
但误差较大；
假设形状改变能密度 vd是引起材料塑性屈服的
因素, 即：
? ?jxvv dd ?
s?? ?1 032 ?? ??
4）形状改变能密度理论 (第四强度理论 )
因为材料单拉屈服时有：
? ?jxvd 可通过单拉试验来确定。
所以,? ? ? ?
2
d 26
1
sjx Ev ?
???
? ? ? ? ? ?? ?231232221d 61 ??????? ??????? Ev又：
? ? ? ? ? ?? ? s??????? ?????? 231232221
2
1
? ? ? ? ? ?? ? ][
2
1 2
31
2
32
2
21 ?
??????? ???????
n
s
因此：
由此可得强度条件为：
实验验证,a) 较第三强度理论更接近实际值；
b) 材料拉压性能相同时成立。
强度理论的统一形式,][?? ?
r
11 ?? ?r
? ?3212 ????? ???r
313 ??? ??r
? 最大拉应力 (第一强度 )理论：
? 最大伸长线应变 (第二强度 )理论：
? 最大切应力 (第三强度 )理论：
?r称为相当应力，分别为：
? ? ? ? ? ?? ?2312322214
2
1 ??????? ??????
r
? 形状改变能密度 (第四强度 )理论：
§ 7-7 强度理论的应用
应用范围：
a) 仅适用于常温, 静载条件下的均匀, 连续, 各
向同性的材料；
b) 不论塑性或脆性材料, 在三向拉应力状态都
发生脆性断裂, 宜采用第一强度理论；
c) 对于脆性材料, 在二向拉应力状态下宜采用第
一强度理论；
d) 对塑性材料, 除三向拉应力状态外都会发生
屈服, 宜采用第三或第四强度理论；
e) 不论塑性或脆性材料, 在三向压应力状态都发
生屈服失效, 宜采用第四强度理论 。
? ??????? 5
2
1
22
2
2
1 ????
?
??
?
???
例 7-9 两危险点的应力状态如图, ? =?,由第三,
第四强度理论分别比较其危险程度 。
?
?
(a)
?
?
(b)
解：对图 a所示应力状态，因为
?????? 54 22313 ?????r
? ? ? ? ? ?? ?
???
???????
23
2
1
22
2
31
2
32
2
214
???
??????
r
所以：
? ??????? 5
2
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22
2
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3 ????
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?
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02 ??
??? ?? 21
?? ??3
???? 2313 ???r
? ? ? ? ? ?? ?
?
???????
2
2
1 2
31
2
32
2
214
?
??????r
对图 b所示应力状态，有：
所以：?
?
22
3 4 ??? ??r
224 3??? ??r
可见：由第三强度理论, 图 b所示应力状态比
图 a所示的安全；而由第四强度理论, 两者的危险
程度一样 。
注意,图 a所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组
合加载对应的应力状态，其相当应力如下：
可记住，便于组合变形的强度校核。
?? ?1 02 ?? ?? ??3
s?? ?1 02 ?? s?? ??3
由第三强度理论，有：
sr ???? 2313 ???
例 7-10 利用第三或第四强度理论 求纯剪应力状态
下屈服应力 ?s和拉压屈服应力 ?s之间的关系 。
?
当 ? =?s时材料发生屈服，因此有：
解：图示纯剪应力状态的主应力为：
而当材料拉压屈服时有：
s?? ?
由此可得：
ss ?? 5.0? ][5.0][ ?? ?
利用第四强度理论，有：
? ? ? ? ? ?? ?
s
r
?
???????
3
2
1 2
31
2
32
2
214
?
??????
ssr ??? ?? 34
sss ??? 577.03
1 ??
][6.0][577.0][ ??? ??
即，
sr ?? ?3
纯剪：
单拉：
由此可得：
例 7-11 两端简支的工字钢梁承受荷载如图 a所示 。
已知 材料 （ Q235钢 ） 的许用应力为 [?]=170MPa和
[?]= 100MPa。 试按强度条件选择工字钢号码 。
解：首先确定钢梁的危险
截面 。
作出梁的剪力图和弯
矩图如图 b和图 c所示, 可
见 C,D截面为危险截面,
取 C截面计算, 其剪力和
弯矩为：
kN2 0 0m a x,SS ?? FF C
mkN84m a x ??? MM C
(b)200kN
200kN
FS图
M图
(c)
84kN·m
(a)
B
0.42m
2.50m
A C
200 kN 200 kN
0.42m 1.66 m
D
先按正应力强度条件选择截面型号 。 因最大
正应力发生在 C截面的上, 下边缘处, 且为单向
应力状态, 由正应力强度条件可得截面系数为：
36
6
3
m a x m104 9 6
101 7 0
1084
][
???
?
???
?
MW
据此可选用 28a号工字钢，其截面系数为：
36 m10508 ???W
再按切应力强度条件进行校核 。 对 28a号工
字钢, 查表可得截面几何性质为：
46 m1014.71 ???zI
m1062.24 2
m a x,
???
z
z
S
I
m1085.0 2???d
中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：
1 0 0 M P a][M P a5.95
1085.01062.24
102 0 0
22
3
m a x,m a x,S
m a x
???
???
?
?
?
?
??
?
?
dI
SF
z
z
可见, 选用 28a号工字钢满足切应力强度条件,
简化的截面形状和尺寸以及应力分布如图 d所示 。
(d)
a
122 13.7
280
13.7
8.5 126.3
126.3
? max
?max
利用图 d所示的截面简化尺寸和已有的 Iz,可
求得 a点的正应力 ?和切应力 ?分别为：
以上分析仅考虑了最大正应力和切应力作用的
位置, 而对工字型截面腹板和翼缘交界处 （ 图 d中
的 a点 ）, 正应力和切应力都较大, 且处于平面应
力状态 （ 见图 e）, 因此还需对此进行强度校核 。
?
?a
(e)
?
?
?
?
M P a1.1 49
1014.71
1 26 3.01084
6
3
m a x ?
?
????
?
zI
yM?
M P a8.73
0085.01014.71
1022310200
6
63
m a x,S ?
??
?????
?
?
dI
SF
z
z?
其中,Sz为横截面的下缘面积对中性轴的静矩，为：
36 m102 23
2
0 13 7.0
1 26 3.00 13 7.01 22.0
???
?
?
?
?
?
?
????zS
由前例可得，图 e所示应力状态的第四强度理论
相当应力为：
22
3 4 ??? ??r
1 7 0 M P a][M P a4.196
8.7331.1493 22224
???
?????
?
??? r
可见,28a号工字钢不能满足要求。改用 28b
号工字钢，按同样的方法可得：
1 7 8, 5 M P a1, 0 5][M P a2.1 7 34 ???? ?? r
可用。
若用第三强度理论，则相当应力为：
请自行计算最终结果。
注意,本例中对 a点的强度校核是按简化后的
截面尺寸进行的 。 实际上, 对符合国家标准的型
钢并不需要对该点进行校核；然而, 对自行设计
的焊接而成的组合工字梁则需进行校核 。
练习题,图示受力物体危险点的应力状态，
材料许用应力 [σ]=120MPa，试用第三强度理论
校核强度。
60 MPa
40 MPa
作业,7-24,7-26
1、空间应力状态的概念
最大剪应力
2
31
m ax
??? ??
2、广义胡克定律 ? ?? ?
? ?? ?
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?
?
?
?
?
?
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3122
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1
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主应力
三向应力圆
?
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E
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平面应力状态：
3、各向同性材料的体积应变
? ?zyx
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21
4、空间应力状态下的应变能密度
? ?? ?313221232221 22 1 ??????????? ?????? Ev
形状改变比能
? ? ? ? ? ?? ?231232221d 61 ??????? ??????? Ev
? ? 23216 21 ???? ???? Ev V
体积改变比能
§ 7-6 强度理论及其相当应力
? ?
1、概述
][m a x ??? ?? n jx
1）单向应力状态：
图示拉伸或压缩的单向应力状态, 材料的破
坏有两种形式：
塑性屈服：极限应力为
2.0p??? 或sjx ?
脆性断裂：极限应力为
bjx ?? ?
此时,?s,? p0.2和 ?b可由实验测得。由此可建
立如下强度条件：
][m a x ??? ?? njx
?
2)纯剪应力状态：
其中 n为安全系数。
图示纯剪应力状态, 材料的破
坏有两种形式：
塑性屈服：极限应力为
sjx ?? ?
脆性断裂：极限应力为
bjx ?? ?
其中,?s和 ?b可由实验测得。由此可建立如下
强度条件：
][m a x ?? ?
3）复杂应力状态
?x
?x
来建立, 因为 ?与 ?之间会 相互影响 。
研究复杂应力状态下材料破坏的原因, 根据一
定的假设来确定破坏条件, 从而建立强度条件, 这
就是强度理论的研究内容 。
对图示平面应力状态，不能分别用
][m a x ?? ?
4）材料破坏的形式
? 塑性屈服型：
常温、静载时材料的破坏形式大致可分为：
? 脆性断裂型：
铸铁：拉伸、扭转等；
低碳钢：三向拉应力状态。
低碳钢：拉伸、扭转等；
铸铁：三向压缩应力状态。
例如：
例如：
可见,材料破坏的形式不仅与材料有关, 还与
应力状态有关 。
根据一些实验资料, 针对上述两种破坏形式,
分别针对它们发生破坏的原因提出假说, 并认为不
论材料处于何种应力状态, 某种类型的破坏都是由
同一因素引起, 此即为 强度理论 。
maxl?
脆性断裂：
maxl?
塑性断裂,max?
dV
5）强度理论
常用的破坏判据有：
下面将讨论常用的, 基于上述四种破坏判据的
强度理论 。
2,四个常用的强度理论
jx?? ?1
强度条件：
][1 ??? ?? njx
1）最大拉应力理论 (第一强度理论 )
假设最大拉应力 ?1是引起材料脆性断裂的因
素 。 不论在什么样的应力状态下, 只要三个主应
力中的最大拉应力 ?1达到极限应力 ?jx,材料就发
生脆性断裂, 即：
可见,a)与 ?2,?3无关；
b) 应力 ?jx可用单向拉伸试样发生脆性断裂的
试验来确定 。
实验验证,铸铁：单拉, 纯剪应力状态下的破坏与
该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本
相符 。
存在问题,没有考虑 ?2,?3对脆断的影响, 无法解
释石料单压时的纵向开裂现象 。
假设最大伸长线应变 ?1是引起脆性破坏的主要
因素, 则：
jx?? ?1
?jx用单向拉伸测定，即：
E
jx
jx
?? ?
2）最大伸长线应变理论 (第二强度理论 )
实验验证：
a) 可解释大理石单压时的纵向裂缝；
b) 铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符；
c) 对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于
安全，但可用。
因此有,? ?
jx????? ??? 321
强度条件为,? ?
][321 ?????? ???? n jx
? ?? ?3211 1 ????? ??? E因为：
2
31
m a x
??? ??
jx?? ?m a x
对低碳钢等塑性材料, 单向拉伸时的屈服是
由 45° 斜截面上的切应力引起的, 因而极限应力
?jx可由单拉时的屈服应力求得, 即：
常数?? 2 sjx ??
3）最大切应力理论 (第三强度理论 )
假设最大切应力 ?max是引起材料塑性屈服的因
素, 则：
因为：
实验验证：
c) 二向应力状态基本符合，偏于安全。
b) 仅适用于拉压性能相同的材料。
由此可得，强度条件为：
][31 ???? ??? n s
a) 仅适用于拉压性能相同的材料；
b) 低碳钢单拉 (压 )对 45?滑移线吻合；
存在问题：
a)没考虑 ?2对屈服的影响，偏于安全，
但误差较大；
假设形状改变能密度 vd是引起材料塑性屈服的
因素, 即：
? ?jxvv dd ?
s?? ?1 032 ?? ??
4）形状改变能密度理论 (第四强度理论 )
因为材料单拉屈服时有：
? ?jxvd 可通过单拉试验来确定。
所以,? ? ? ?
2
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1
sjx Ev ?
???
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? ? ? ? ? ?? ? s??????? ?????? 231232221
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2
1 2
31
2
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2
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??????? ???????
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因此：
由此可得强度条件为：
实验验证,a) 较第三强度理论更接近实际值；
b) 材料拉压性能相同时成立。
强度理论的统一形式,][?? ?
r
11 ?? ?r
? ?3212 ????? ???r
313 ??? ??r
? 最大拉应力 (第一强度 )理论：
? 最大伸长线应变 (第二强度 )理论：
? 最大切应力 (第三强度 )理论：
?r称为相当应力，分别为：
? ? ? ? ? ?? ?2312322214
2
1 ??????? ??????
r
? 形状改变能密度 (第四强度 )理论：
§ 7-7 强度理论的应用
应用范围：
a) 仅适用于常温, 静载条件下的均匀, 连续, 各
向同性的材料；
b) 不论塑性或脆性材料, 在三向拉应力状态都
发生脆性断裂, 宜采用第一强度理论；
c) 对于脆性材料, 在二向拉应力状态下宜采用第
一强度理论；
d) 对塑性材料, 除三向拉应力状态外都会发生
屈服, 宜采用第三或第四强度理论；
e) 不论塑性或脆性材料, 在三向压应力状态都发
生屈服失效, 宜采用第四强度理论 。
? ??????? 5
2
1
22
2
2
1 ????
?
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???
例 7-9 两危险点的应力状态如图, ? =?,由第三,
第四强度理论分别比较其危险程度 。
?
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(a)
?
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(b)
解：对图 a所示应力状态，因为
?????? 54 22313 ?????r
? ? ? ? ? ?? ?
???
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2
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所以：
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对图 b所示应力状态，有：
所以：?
?
22
3 4 ??? ??r
224 3??? ??r
可见：由第三强度理论, 图 b所示应力状态比
图 a所示的安全；而由第四强度理论, 两者的危险
程度一样 。
注意,图 a所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组
合加载对应的应力状态，其相当应力如下：
可记住，便于组合变形的强度校核。
?? ?1 02 ?? ?? ??3
s?? ?1 02 ?? s?? ??3
由第三强度理论，有：
sr ???? 2313 ???
例 7-10 利用第三或第四强度理论 求纯剪应力状态
下屈服应力 ?s和拉压屈服应力 ?s之间的关系 。
?
当 ? =?s时材料发生屈服，因此有：
解：图示纯剪应力状态的主应力为：
而当材料拉压屈服时有：
s?? ?
由此可得：
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利用第四强度理论，有：
? ? ? ? ? ?? ?
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][6.0][577.0][ ??? ??
即，
sr ?? ?3
纯剪：
单拉：
由此可得：
例 7-11 两端简支的工字钢梁承受荷载如图 a所示 。
已知 材料 （ Q235钢 ） 的许用应力为 [?]=170MPa和
[?]= 100MPa。 试按强度条件选择工字钢号码 。
解：首先确定钢梁的危险
截面 。
作出梁的剪力图和弯
矩图如图 b和图 c所示, 可
见 C,D截面为危险截面,
取 C截面计算, 其剪力和
弯矩为：
kN2 0 0m a x,SS ?? FF C
mkN84m a x ??? MM C
(b)200kN
200kN
FS图
M图
(c)
84kN·m
(a)
B
0.42m
2.50m
A C
200 kN 200 kN
0.42m 1.66 m
D
先按正应力强度条件选择截面型号 。 因最大
正应力发生在 C截面的上, 下边缘处, 且为单向
应力状态, 由正应力强度条件可得截面系数为：
36
6
3
m a x m104 9 6
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][
???
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MW
据此可选用 28a号工字钢，其截面系数为：
36 m10508 ???W
再按切应力强度条件进行校核 。 对 28a号工
字钢, 查表可得截面几何性质为：
46 m1014.71 ???zI
m1062.24 2
m a x,
???
z
z
S
I
m1085.0 2???d
中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：
1 0 0 M P a][M P a5.95
1085.01062.24
102 0 0
22
3
m a x,m a x,S
m a x
???
???
?
?
?
?
??
?
?
dI
SF
z
z
可见, 选用 28a号工字钢满足切应力强度条件,
简化的截面形状和尺寸以及应力分布如图 d所示 。
(d)
a
122 13.7
280
13.7
8.5 126.3
126.3
? max
?max
利用图 d所示的截面简化尺寸和已有的 Iz,可
求得 a点的正应力 ?和切应力 ?分别为：
以上分析仅考虑了最大正应力和切应力作用的
位置, 而对工字型截面腹板和翼缘交界处 （ 图 d中
的 a点 ）, 正应力和切应力都较大, 且处于平面应
力状态 （ 见图 e）, 因此还需对此进行强度校核 。
?
?a
(e)
?
?
?
?
M P a1.1 49
1014.71
1 26 3.01084
6
3
m a x ?
?
????
?
zI
yM?
M P a8.73
0085.01014.71
1022310200
6
63
m a x,S ?
??
?????
?
?
dI
SF
z
z?
其中,Sz为横截面的下缘面积对中性轴的静矩，为：
36 m102 23
2
0 13 7.0
1 26 3.00 13 7.01 22.0
???
?
?
?
?
?
?
????zS
由前例可得，图 e所示应力状态的第四强度理论
相当应力为：
22
3 4 ??? ??r
1 7 0 M P a][M P a4.196
8.7331.1493 22224
???
?????
?
??? r
可见,28a号工字钢不能满足要求。改用 28b
号工字钢，按同样的方法可得：
1 7 8, 5 M P a1, 0 5][M P a2.1 7 34 ???? ?? r
可用。
若用第三强度理论，则相当应力为：
请自行计算最终结果。
注意,本例中对 a点的强度校核是按简化后的
截面尺寸进行的 。 实际上, 对符合国家标准的型
钢并不需要对该点进行校核；然而, 对自行设计
的焊接而成的组合工字梁则需进行校核 。
练习题,图示受力物体危险点的应力状态，
材料许用应力 [σ]=120MPa，试用第三强度理论
校核强度。
60 MPa
40 MPa
作业,7-24,7-26
