上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角
2、挠曲线近似微分方程 ? ?
xMwEI ????
3、挠曲线近似微分方程的积分
1d))(()(' CxxMxE I w ??? ?
? ? 11dd))(()( DxCxxxMxE I w ???? ? ?
4、积分常数确定
?位移边界条件, ?连续条件, ?光滑条件。
? ?xMwEI ????
5、积分法求解梁位移的思路：
① 建立合适的坐标系；
② 求弯矩方程 M(x) ；
③ 建立近似微分方程：
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数；
⑥ 求指定截面的挠度和转角
wEI ? ;EIw④ 积分求 和
§ 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
由于,1） 小变形, 轴向位移可忽略；
简单载荷下梁的挠度和转角见附录 IV,必须记住！
因此, 梁的挠度和转角与载荷成线性关系, 可
用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角 。
2）线弹性范围工作。
例 5-5 利用叠加原理求图 a所示弯曲刚度为 EI的简
支梁的跨中挠度 wC和两端截面的转角 ?A,?B。
解：可将原荷载看成为图 b所示关于跨中 C截面的正
对称和反对称荷载的叠加 。
q
BA C
x
y
l/2
l
(a)
(b)
+
l
A C B
q/2
A
l/2
C
B
l/2
q/2
q/2
1） 对正对称荷载, 跨中截面 C的挠度和两端的转
角分别为：
? ?
EI
ql
EI
lqw
C 7 6 8
5
3 8 4
25 44
1 ??
? ?
EI
ql
EI
lq
BA 4824
2 33
11 ???? ??
02 ?Cw
2） 对反对称荷载, 跨中截面 C的挠度等于零, 并
可分别将 AC段和 CB段看成为 l/2简支梁, 即有：
? ?? ?
EI
ql
EI
lq
BA 3 8 424
22 33
22 ??? ??
EI
ql
EI
qlwww
CCC 7 6 8
50
687
5 44
21 ?????
EI
ql
EI
ql
EI
ql
AAA 128
3
38448
333
21 ????? ???
EI
ql
EI
ql
EI
ql
BBB 3 8 4
7
3 8 448
333
21 ??????? ???
将相应的位移进行叠加，即得：
（向下）
（顺时针）
（逆时针）
例 5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 EI的悬臂梁
自由端 B截面的挠度和转角 。
解：原荷载可看成为图 a和 b两种荷载的叠加, 对应
的变形和相关量如图所示 。
F
l l l
EI
F
A BC D
?B1
F
?C1 wC1w
C1 ?C1?2l直线
wB1(a)
?D1
?B 2
wD1
·F
?D1 BD直线wD1 wB2
(b)
?
EI
Flw
C 3
3
1 ?
EI
Fl
C 2
2
1 ??
EI
Fll
EI
Fl
EI
FlBCww
CCB 3
42
23
323
111 ??????? ?
EI
Fl
CB 2
2
11 ?? ??
对图 a，可得 C截面的挠度和转角为：
由位移关系可得此时 B截面的挠度和转角为：
（向下）
（顺时针）
?B1
F
?C1 wC1w
C1 ?C1?2l直线
wB1(a)
EI
Fll
EI
Fl
EI
FlBDww
DDB 3
14
2
4
3
8 323
222 ??????? ?
EI
Fl
DB
2
12
2?? ??
? ?
EI
lFw
D 3
2 3
2 ?
? ?
EI
lP
D 2
2 2
2 ??
对图 b，可得 D截面的挠度和转角为：
同理可得此时 B截面的挠度和转角为：
（向下）
（顺时针）
?D1
?B 2
wD1
·F
?D1 BD直线wD1 wB2
(b)
?
EI
Fl
EI
Fl
EI
Flwww
BBB
333
21
6
3
14
3
4 ?????
EI
Fl
EI
Fl
EI
Fl
BBB 2
52
2
222
21 ????? ???
将相应的位移进行叠加，即得：
（向下）
（顺时针）
例 5-7 由叠加原理求图示弯曲刚度为 EI的外伸梁 C截
面的挠度和转角以及 D截面的挠度 。
解：可将外伸梁看成是图 a和 b所示的简支梁和悬臂
梁的叠加 。
B C
(b)
F=qa
A EI
D B
qa qa2/2
(a)
A C
a a a
F=qa
BDEI
（ 1）对图 a，其又可看成为图 c和 d所示荷载的组合。
+
A
F=qa
(c)
qa2/2(d)
图 c中 D截面的挠度和 B截面的转角为：
? ?
EI
aqaw
D 48
2 3
1 ?
? ?
EI
aqa
B 16
2 2
1 ???
图 d中 D截面的挠度和 B截面的转角为：
EI
qaw
D 16
2 4
2 ?? EI
qa
B 3
3
2 ??
EI
qa
EI
qa
EI
qawww
DDD 2486
444
21 ?????
? ?
EI
qa
EI
qa
EI
aqa
BBB 12316
2 332
21 ?????? ???
将相应的位移进行叠加，即得：
（向下）
（顺时针）
（ 2）对图 b,C截面的挠度和转角分别为：
EI
qaw
Cq 8
4
?
EI
qa
Cq 6
3
??
EI
qaa
EI
qa
EI
qaw
C 24
5
12
1
8
434
????
EI
qa
EI
qa
EI
qa
C 4126
333
????
所以,aww BCqC ??? CqBC ??? ??
原外伸梁 C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：
（向下）
（顺时针）
A C
a a a
F=qa
BDEI
?B
?Cq
?B× a
wCq
例 5-8 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 EI的中间铰梁
铰接点 B处的挠度和 B点右截面的转角以及 D截面的挠
度，其中,F=2qa。
解：可在铰接点处将梁分成图 a和 b所示两部分, 并
可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：
qaFFF BB ???? 2
q
A
EI EI
F
B
Ca/2
D
a a
F/2wB
直线
Bw
DF
w /2
+
F/2
wB
q
B C
A F (a)
B C
q
(b)
F/2
B C
图 a和 b中分别给出了两部分的变形情况 。
(c)
并且图 b又可分解为图 c所示两种载荷的组合。
EI
qaw
BBF 3
4
? 8 E I
4qa
w Bq ?
EI
qa
BBF 2
3
???
EI
qa
Bq 6
3
???
（ 1）对图 b，可得其 B截面的挠度和转角为：
EI
qa
EI
qa
EI
qwww
BqBFB B 24
11
83
a 444 ?????
EI
qa
EI
qa
EI
qa
BqBFB B 3
2
62
333
????
?
?
???
?
????? ??? 右
进行相应的叠加可得：
（向下）
（逆时针）
EI
qa
EI
qa
EI
qawww
BDFD 48
13
48
11
48
2
2
1 444 ?????
（ 2） 图 a可看成为右支座有一定竖直位移 （ 位移量
为 wB） 的简支梁, 此时 D截面的挠度为：
（向下）
F/2wB
直线
Bw
DF
w /2
A F (a)
例 5-9 用叠加原理求图示弯曲刚度为 EI的悬臂梁 B截
面的挠度和转角 。
解：分布荷载可看成为无数微小集中荷载所组成,
求梁的位移也可利用叠加原理 。 任取一个微段 dx。
x dx
l
A B
q0
y
x
q(x)
可将该微段上的均布力看成为作用在 x处的一个
微小集中力，讨论此时自由端的位移，如图 a所示。
x
x
A B
q(x)dx
dwB
l
(a)
xEI xxqEI xxxqxw d3 )(3 d)()(d
33
???
由附录 IV可知该微力作用下 x处梁的位移为：
xl xqxxq d)d( 0?
对图 a所示任意截面 x处取微段 dx,则作用在微
段上的微集中荷载为：
xEI xxqEI xxxqx d2 )(2 d)()(d
22
????
xEI xxqxB d2 )()(dd
2
?? ??
在 x=0,l范围对 q(x)dx的作用进行叠加, 相当于
对上两式在前述范围内积分, 即：
x
EI
xlxxq
xlxxww B
d
6
)3()(
)()(d)(dd
2 ?
?
???? ?
其在 B处产生的挠度和转角分别为：
?? ??? ll BB EI lqxEI xxq0
3
0
2
0 8
d2 )(d ??
EI
lqx
EI
xlxxqww ll
BB 120
11d
6
)3()(d 40
0
2
0
???? ??
? ??? ?m a x
§ 5-4 梁的刚度校核 ?提高梁的刚度的措施
1,梁的刚度校核
保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的
变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：
??
?
??
??
l
w
l
w m a x
??
?
??
?
l
w 与 ? ?? 为许可值，可查设计手册。其中，
例 5-10 图示简支梁,F=40kN,l=4.5m,[σ ]=150MPa,
[w/l]=1/400,E=200GPa,选择工字钢型号。
F
l
解,1、由强度条件选择工字
钢型号：
333
6
m a x
m a x
m a x
m a x
3 0 0103 0 0
1 5 04
105.440
][
][
4
1
cmmm
M
W
W
M
FlM
z
z
???
?
??
??
??
?
?
??
应选 22a工字钢,Wz=309cm3,Iz=3400cm4
2、校核刚度
mm
l
wmm
EI
Fl
w
25.11
4 0 0
][2.11
103 4 0 0102 0 048
4 5 0 01040
48
43
333
m a x
????
????
??
??
选择 22a工字钢。
2） 减少梁的跨度或增加支承 。
2,提高刚度措施
除外加载荷外, 梁的位移 w,?还与梁的弯曲刚
度 EI成反比, 与跨长 l的 n次方成正比, 因此, 提高
刚度的措施有：
1）升高 EI。
各种钢材 E相差不大，主要提高 I，在截面面积
A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。
如工字形、箱形等截面。
如下图所示结构：
超静定梁,
B
A B
A C B
§ 5-5 弯曲应变能
EI
lMl e??
??
或
?lEIM ?e
图示纯弯曲梁，弹性范围内的变形有：
?
?
(b)
O ? ?
M e
M e
(a)
l
εVW ?
?e21 MW ?
则应变能为：
EI
lMMWV
22
1 2e
eε ??? ?
2
ε 2 ?l
EIV ?
可见，满足线性关系。
外力功：
功能转换定律：
或：
? ? x
EI
xMV d
2d
2
ε ?
全梁的弯曲应变能为：
? ??? ?? ll x
EI
xMVV
0
2
0 εε
d2d
? ?xM 需分段列出时,V?分段求，然后求和。
对横力弯曲：弯曲应变能 +剪切应变能
对弯曲应变能, 取 dx段 （ 见左
图 ）, dx很小, dM(x)为一阶无
穷小量, 则 dx段上的应变能为
对细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比可忽略。
M(x)+dM(x)M(x)
F(x)S
?d?
dx
例 5-11 求图示弯曲刚度为 EI的悬臂梁内储存的应
变能, 并利用功能原理求 A端的挠度 wA。
解：梁的弯矩方程为：
? ? FxxM ?
梁内的应变能为：
? ?
EI
lFx
EI
xFx
EI
xMV ll
6d2d2
32
0
22
0
2
ε ??? ??
外载 F所作的功为：
AFwW 2
1?
由功能定理有：
εVW ?
x
wA
B
F
A
l
即：
EI
lFFw
A 62
1 32?
最后可得 A端的挠度为：
EI
Flw
A 3
3
?
q ( x )= q
0
x
2
/ l
2
q
0
A B
l
练习题,图示悬臂梁，抗弯刚度 EI为常数，求 θ B和 wB。
x
y
2
5
0
2
4
0
23
2
4
0
2
62
)(
2
)(
3
)(
22
)(
E I l
dxxq
E I l
dxlxq
xl
EI
xdxxq
EI
xdxxq
dw
E I l
dxxq
EI
xdxxq
d
B
B
???
?
?
?
?
?
?
??
EI
lq
dx
E I l
xq
E I l
lxq
dfw
EI
lq
E I l
dxxq
d
l
B
l
B
l
B
l
B
180
13
)
62
(
102
4
0
2
5
0
0
2
4
0
0
3
0
2
4
0
00
????
???
??
?? ??
作业,5-13,5-15,5-18(a)
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角
2、挠曲线近似微分方程 ? ?
xMwEI ????
3、挠曲线近似微分方程的积分
1d))(()(' CxxMxE I w ??? ?
? ? 11dd))(()( DxCxxxMxE I w ???? ? ?
4、积分常数确定
?位移边界条件, ?连续条件, ?光滑条件。
? ?xMwEI ????
5、积分法求解梁位移的思路：
① 建立合适的坐标系；
② 求弯矩方程 M(x) ；
③ 建立近似微分方程：
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数；
⑥ 求指定截面的挠度和转角
wEI ? ;EIw④ 积分求 和
§ 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
由于,1） 小变形, 轴向位移可忽略；
简单载荷下梁的挠度和转角见附录 IV,必须记住！
因此, 梁的挠度和转角与载荷成线性关系, 可
用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角 。
2）线弹性范围工作。
例 5-5 利用叠加原理求图 a所示弯曲刚度为 EI的简
支梁的跨中挠度 wC和两端截面的转角 ?A,?B。
解：可将原荷载看成为图 b所示关于跨中 C截面的正
对称和反对称荷载的叠加 。
q
BA C
x
y
l/2
l
(a)
(b)
+
l
A C B
q/2
A
l/2
C
B
l/2
q/2
q/2
1） 对正对称荷载, 跨中截面 C的挠度和两端的转
角分别为：
? ?
EI
ql
EI
lqw
C 7 6 8
5
3 8 4
25 44
1 ??
? ?
EI
ql
EI
lq
BA 4824
2 33
11 ???? ??
02 ?Cw
2） 对反对称荷载, 跨中截面 C的挠度等于零, 并
可分别将 AC段和 CB段看成为 l/2简支梁, 即有：
? ?? ?
EI
ql
EI
lq
BA 3 8 424
22 33
22 ??? ??
EI
ql
EI
qlwww
CCC 7 6 8
50
687
5 44
21 ?????
EI
ql
EI
ql
EI
ql
AAA 128
3
38448
333
21 ????? ???
EI
ql
EI
ql
EI
ql
BBB 3 8 4
7
3 8 448
333
21 ??????? ???
将相应的位移进行叠加，即得：
（向下）
（顺时针）
（逆时针）
例 5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 EI的悬臂梁
自由端 B截面的挠度和转角 。
解：原荷载可看成为图 a和 b两种荷载的叠加, 对应
的变形和相关量如图所示 。
F
l l l
EI
F
A BC D
?B1
F
?C1 wC1w
C1 ?C1?2l直线
wB1(a)
?D1
?B 2
wD1
·F
?D1 BD直线wD1 wB2
(b)
?
EI
Flw
C 3
3
1 ?
EI
Fl
C 2
2
1 ??
EI
Fll
EI
Fl
EI
FlBCww
CCB 3
42
23
323
111 ??????? ?
EI
Fl
CB 2
2
11 ?? ??
对图 a，可得 C截面的挠度和转角为：
由位移关系可得此时 B截面的挠度和转角为：
（向下）
（顺时针）
?B1
F
?C1 wC1w
C1 ?C1?2l直线
wB1(a)
EI
Fll
EI
Fl
EI
FlBDww
DDB 3
14
2
4
3
8 323
222 ??????? ?
EI
Fl
DB
2
12
2?? ??
? ?
EI
lFw
D 3
2 3
2 ?
? ?
EI
lP
D 2
2 2
2 ??
对图 b，可得 D截面的挠度和转角为：
同理可得此时 B截面的挠度和转角为：
（向下）
（顺时针）
?D1
?B 2
wD1
·F
?D1 BD直线wD1 wB2
(b)
?
EI
Fl
EI
Fl
EI
Flwww
BBB
333
21
6
3
14
3
4 ?????
EI
Fl
EI
Fl
EI
Fl
BBB 2
52
2
222
21 ????? ???
将相应的位移进行叠加，即得：
（向下）
（顺时针）
例 5-7 由叠加原理求图示弯曲刚度为 EI的外伸梁 C截
面的挠度和转角以及 D截面的挠度 。
解：可将外伸梁看成是图 a和 b所示的简支梁和悬臂
梁的叠加 。
B C
(b)
F=qa
A EI
D B
qa qa2/2
(a)
A C
a a a
F=qa
BDEI
（ 1）对图 a，其又可看成为图 c和 d所示荷载的组合。
+
A
F=qa
(c)
qa2/2(d)
图 c中 D截面的挠度和 B截面的转角为：
? ?
EI
aqaw
D 48
2 3
1 ?
? ?
EI
aqa
B 16
2 2
1 ???
图 d中 D截面的挠度和 B截面的转角为：
EI
qaw
D 16
2 4
2 ?? EI
qa
B 3
3
2 ??
EI
qa
EI
qa
EI
qawww
DDD 2486
444
21 ?????
? ?
EI
qa
EI
qa
EI
aqa
BBB 12316
2 332
21 ?????? ???
将相应的位移进行叠加，即得：
（向下）
（顺时针）
（ 2）对图 b,C截面的挠度和转角分别为：
EI
qaw
Cq 8
4
?
EI
qa
Cq 6
3
??
EI
qaa
EI
qa
EI
qaw
C 24
5
12
1
8
434
????
EI
qa
EI
qa
EI
qa
C 4126
333
????
所以,aww BCqC ??? CqBC ??? ??
原外伸梁 C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：
（向下）
（顺时针）
A C
a a a
F=qa
BDEI
?B
?Cq
?B× a
wCq
例 5-8 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 EI的中间铰梁
铰接点 B处的挠度和 B点右截面的转角以及 D截面的挠
度，其中,F=2qa。
解：可在铰接点处将梁分成图 a和 b所示两部分, 并
可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：
qaFFF BB ???? 2
q
A
EI EI
F
B
Ca/2
D
a a
F/2wB
直线
Bw
DF
w /2
+
F/2
wB
q
B C
A F (a)
B C
q
(b)
F/2
B C
图 a和 b中分别给出了两部分的变形情况 。
(c)
并且图 b又可分解为图 c所示两种载荷的组合。
EI
qaw
BBF 3
4
? 8 E I
4qa
w Bq ?
EI
qa
BBF 2
3
???
EI
qa
Bq 6
3
???
（ 1）对图 b，可得其 B截面的挠度和转角为：
EI
qa
EI
qa
EI
qwww
BqBFB B 24
11
83
a 444 ?????
EI
qa
EI
qa
EI
qa
BqBFB B 3
2
62
333
????
?
?
???
?
????? ??? 右
进行相应的叠加可得：
（向下）
（逆时针）
EI
qa
EI
qa
EI
qawww
BDFD 48
13
48
11
48
2
2
1 444 ?????
（ 2） 图 a可看成为右支座有一定竖直位移 （ 位移量
为 wB） 的简支梁, 此时 D截面的挠度为：
（向下）
F/2wB
直线
Bw
DF
w /2
A F (a)
例 5-9 用叠加原理求图示弯曲刚度为 EI的悬臂梁 B截
面的挠度和转角 。
解：分布荷载可看成为无数微小集中荷载所组成,
求梁的位移也可利用叠加原理 。 任取一个微段 dx。
x dx
l
A B
q0
y
x
q(x)
可将该微段上的均布力看成为作用在 x处的一个
微小集中力，讨论此时自由端的位移，如图 a所示。
x
x
A B
q(x)dx
dwB
l
(a)
xEI xxqEI xxxqxw d3 )(3 d)()(d
33
???
由附录 IV可知该微力作用下 x处梁的位移为：
xl xqxxq d)d( 0?
对图 a所示任意截面 x处取微段 dx,则作用在微
段上的微集中荷载为：
xEI xxqEI xxxqx d2 )(2 d)()(d
22
????
xEI xxqxB d2 )()(dd
2
?? ??
在 x=0,l范围对 q(x)dx的作用进行叠加, 相当于
对上两式在前述范围内积分, 即：
x
EI
xlxxq
xlxxww B
d
6
)3()(
)()(d)(dd
2 ?
?
???? ?
其在 B处产生的挠度和转角分别为：
?? ??? ll BB EI lqxEI xxq0
3
0
2
0 8
d2 )(d ??
EI
lqx
EI
xlxxqww ll
BB 120
11d
6
)3()(d 40
0
2
0
???? ??
? ??? ?m a x
§ 5-4 梁的刚度校核 ?提高梁的刚度的措施
1,梁的刚度校核
保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的
变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：
??
?
??
??
l
w
l
w m a x
??
?
??
?
l
w 与 ? ?? 为许可值，可查设计手册。其中，
例 5-10 图示简支梁,F=40kN,l=4.5m,[σ ]=150MPa,
[w/l]=1/400,E=200GPa,选择工字钢型号。
F
l
解,1、由强度条件选择工字
钢型号：
333
6
m a x
m a x
m a x
m a x
3 0 0103 0 0
1 5 04
105.440
][
][
4
1
cmmm
M
W
W
M
FlM
z
z
???
?
??
??
??
?
?
??
应选 22a工字钢,Wz=309cm3,Iz=3400cm4
2、校核刚度
mm
l
wmm
EI
Fl
w
25.11
4 0 0
][2.11
103 4 0 0102 0 048
4 5 0 01040
48
43
333
m a x
????
????
??
??
选择 22a工字钢。
2） 减少梁的跨度或增加支承 。
2,提高刚度措施
除外加载荷外, 梁的位移 w,?还与梁的弯曲刚
度 EI成反比, 与跨长 l的 n次方成正比, 因此, 提高
刚度的措施有：
1）升高 EI。
各种钢材 E相差不大，主要提高 I，在截面面积
A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。
如工字形、箱形等截面。
如下图所示结构：
超静定梁,
B
A B
A C B
§ 5-5 弯曲应变能
EI
lMl e??
??
或
?lEIM ?e
图示纯弯曲梁，弹性范围内的变形有：
?
?
(b)
O ? ?
M e
M e
(a)
l
εVW ?
?e21 MW ?
则应变能为：
EI
lMMWV
22
1 2e
eε ??? ?
2
ε 2 ?l
EIV ?
可见，满足线性关系。
外力功：
功能转换定律：
或：
? ? x
EI
xMV d
2d
2
ε ?
全梁的弯曲应变能为：
? ??? ?? ll x
EI
xMVV
0
2
0 εε
d2d
? ?xM 需分段列出时,V?分段求，然后求和。
对横力弯曲：弯曲应变能 +剪切应变能
对弯曲应变能, 取 dx段 （ 见左
图 ）, dx很小, dM(x)为一阶无
穷小量, 则 dx段上的应变能为
对细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比可忽略。
M(x)+dM(x)M(x)
F(x)S
?d?
dx
例 5-11 求图示弯曲刚度为 EI的悬臂梁内储存的应
变能, 并利用功能原理求 A端的挠度 wA。
解：梁的弯矩方程为：
? ? FxxM ?
梁内的应变能为：
? ?
EI
lFx
EI
xFx
EI
xMV ll
6d2d2
32
0
22
0
2
ε ??? ??
外载 F所作的功为：
AFwW 2
1?
由功能定理有：
εVW ?
x
wA
B
F
A
l
即：
EI
lFFw
A 62
1 32?
最后可得 A端的挠度为：
EI
Flw
A 3
3
?
q ( x )= q
0
x
2
/ l
2
q
0
A B
l
练习题,图示悬臂梁，抗弯刚度 EI为常数，求 θ B和 wB。
x
y
2
5
0
2
4
0
23
2
4
0
2
62
)(
2
)(
3
)(
22
)(
E I l
dxxq
E I l
dxlxq
xl
EI
xdxxq
EI
xdxxq
dw
E I l
dxxq
EI
xdxxq
d
B
B
???
?
?
?
?
?
?
??
EI
lq
dx
E I l
xq
E I l
lxq
dfw
EI
lq
E I l
dxxq
d
l
B
l
B
l
B
l
B
180
13
)
62
(
102
4
0
2
5
0
0
2
4
0
0
3
0
2
4
0
00
????
???
??
?? ??
作业,5-13,5-15,5-18(a)
