第六章
点的运动学
§ 6-1 矢量法
? ?r r t?运动方程
单位 m/s
速度 （定义） d
d
rvr
t
??
加速度 （定义）
单位 2/ms
2
2
dd
d d
vr
a v r
t t
? ? ? ?
矢端曲线
速度
矢径矢端曲线切线
加速度
速度矢端曲线切线
直角坐标与矢径坐标之间的关系
? ? ( ) ( )r x t i y t j z t k? ? ?
运动方程
()
()
()
x x t
y y t
z z t
?
?
?
§ 6-2 直角坐标法
d
dx
xv
t?
d
dy
yv
t?
d
dz
zv
t?
d d d d
d d d d x y z
r x y zv i j k v i v j v k
t t t t? ? ? ? ? ? ?
速度
2
2
y
y
v ya
t t??
d d
d d
2
2
z
z
vza
t t??
dd
d d
2
2
x
x
v xa
t t??
d d
d d
加速度
dd dd
d d d d
yx z
x y z
vv vva i j k a i a j a k
t t t t? ? ? ? ? ? ?
例 6-1 椭圆规的曲柄 OC 可绕定轴 O 转动，其
端点 C 与规尺 AB 的中点以铰链相连接，而规尺 A，
B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。
,,O C A C B C l M C a t??? ? ? ? ?：已知
求：① M 点的运动方程
② 轨迹
③ 速度
④ 加速度
解：点 M作曲线运动，取坐标系 xoy
运动方程
talCMOCx ?? c o s)(c o s)( ????
talAMy ?? s i n)(s i n ???
消去 t,得轨迹
1
)(( 2
2
2
2
?
?
?
? al
y
al
x
）
taMClBCACOC ?? ?????,,
求,x=x(t),y=y(t)。
已知：
速度
? ? talxv x ?? s in???? ?
talyv y ?? c o s)( ??? ?
22
( ) sinc o s(,)
2 c o s 2
xv l a tvi
v l a a l t
?
?
?? ? ?
??
22
( ) c o sc o s (,)
2 c o s 2
yv l a tvj
v l a a l t
?
?
???
??
2 2 2 2 2 2 2 2
22
( ) sin ( ) c o s
2 c o s 2
xyv v v l a t l a t
l a a l t
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ?
taMClBCACOC ?? ?????,,
求,x=x(t),y=y(t)。
已知：
加速度
? ? talxva xx ?? c o s2????? ???
? ? talyva yy ?? s i n2????? ???
? ? taltalaaa yx ???? 24224222 s i n(c o s ）??????
talal ?? 2c o s222 ???
22
( ) c o sc o s (,)
2 c o s 2
ya l a tai
a l a a l t
?
?
?? ? ?
??
求,x=x(t),y=y(t)。
taMClBCACOC ?? ?????,,已知：
22
( ) sinc o s(,)
2 c o s 2
xa l a taj
a l a a l t
?
?
?? ? ?
??
例 6-2 正弦机构如图所示。曲柄 OM长为 r，绕 O
轴匀速转动，它与水平线间的夹角为 其中
θ为 t=0的夹角,ω为一常数。已知动杆上 A,B两点间
距离为 b，求点 A和 B的运动方程及点 B的速度和加速
度。
,??? ?? t
求：① A,B点运动方程
② B点速度、加速度
bABtrOM ?????,,,常数????已知：
解,A,B点都作直线运动，取 ox轴如图所示。
运动方程
)s i n (s i n ??? ????? trbrbx A
)s i n (s i n ??? ??? trrx B
求：① A,B点运动方程
② B点速度、加速度
bABtrOM ?????,,,常数????已知：
A
? ?fxTtx ??? )(
B点的速度和加速度
? ???? ??? trxv BB c o s?
? ?
B
BB
x
trxa
2
2 s i n
?
???
??
???? ??
周期运动
频率Tf 1?
求：① A,B点运动方程
② B点速度、加速度
bABtrOM ?????,,,常数????已知：
例 6-3 如图所示，当液压减振器工作时，它的
活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度
（ v为活塞的速度,k为比例常数 )，初速度为 v0,求活
塞的运动规律。
a kv??
00
,
,t
a k v
vv?
??
?
：已知
? ?tx ?：求
? ?00,,ta k v v v x t?? ? ? ?已知,求：
解,1 活塞作直线运动，取坐标轴 Ox如图
kvtva ??? dd2 由
? ???vv t tkvv
0 0
dd得
ktevvkt
v
v ????
00
0
,ln
ktev
t
xv ????
0d
d3 由
tevx ktx
x
t dd
0 0
0
?? ??得
? ?ktekvxx ???? 100
§ 6-3 自然法
()s f t?弧坐标1
d d d d 1
d d d ds s s
? ? ? ?
??
? ? ?
d
dn s
???
副法线 单位矢量 bn???
?切向单位向量
n主法线 单位矢量
自然轴系2
自然坐标轴的几何性质
d d d d
d d d d
r r s svv
t s t t ??? ? ? ?
3 速度
d d d
d d d
vvav
t t t
??? ? ?4 加速度
d d d
d d d
sv n
t s t
??
???
代入
2d
d tn
vva n a a n
t ???? ? ? ?
则
22
tna a a??
2
2
dd
d dt
vsa
t t?? —
切向加速度
22 1d
dn
vsa
t??
????
???? —
法向加速度
曲线匀速运动运动
0 0 00,,ta v v s s v t? ? ? ? ?
常数
曲线匀变速运动运动
0
2
00
,,
1
2
tt
t
a v v a t
s s v t a t
? ? ?
? ? ?
常数
例 6-4 列车沿半径为 R=800m的圆弧轨道作匀
速运动。如初速度为零，经过 2min后，速度到达
54km/h。求列车起点和未点的加速度。
0,00 ??? ? vva t常数?已知,R=800m=常数，
hkmm i n 542 ?v
m i n20,?? tt aa：求
解,1 列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图
0,0 ?? va t 常数由2 tav t?
21 2 5.015 sm
1 2 0 s
sm ???
t
va
t
② 1 2 0 sm in2 ??t
222 308.0 sm???
nt aaa
① 0,0 ??
nat 21 2 5.0 sm?? taa
2
22
2 8 1.08 0 0 )15( smm sm ??? Rva n
0,00 ??? ? vva t常数?已知,R=800m=常数，
hkmm i n 542 ?v m i n20,?? tt aa：求
解：由点 M的运动方程，得
txatxv xx 4s i n32,4c o s8 ????? ???
tyatyv yy 4c o s32,4s i n8 ?????? ???
0,4 ???? zajv zz ???
2222222 32,80 smsm ?????????
zyxzyx aaaavvvv从而
2sm
d
d 32,0 ???? aa
t
va
nt而
m5.2
2
??
na
v?故
例 6-5 已知点的运动方程为 x=2sin 4t m，
y=2cos 4t m,z=4t m。
?求：点运动轨迹的曲率半径 。
例 6-6 半径为 R的轮子沿直线轨道无滑动地滚动
（称为纯滚动），设轮子转角,
如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一
点 M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法
向加速度。
)( 为常值??? t?
,,,常数已知 ?? ??? tr：
求,M点的运动
方程、速度和
加速度
解,M点作曲线
运动，取直角坐
标系如图。
O C M C r r t??? ? ?由纯滚动条件
? ?ttrMOOCx ??? s i ns i n1 ????从而
? ?trMOCOy ?? c o s1c o s11 ????
,,,常数已知 ?? ??? tr：
求,M点的运动方程、速度和加速度。
? ? tryvtrxv yx ???? s i n,c o s1 ????? ??
)202s i n2)c o s1(222 ?????? ??????? ttrtrvvv yx （
tryatrxa yx ???? c o s,s i n 22 ???? ????
222 ?raaa
yx ???
,,,常数已知 ?? ??? tr：
求,M点的运动方程、速度和加速度。
点的运动学
§ 6-1 矢量法
? ?r r t?运动方程
单位 m/s
速度 （定义） d
d
rvr
t
??
加速度 （定义）
单位 2/ms
2
2
dd
d d
vr
a v r
t t
? ? ? ?
矢端曲线
速度
矢径矢端曲线切线
加速度
速度矢端曲线切线
直角坐标与矢径坐标之间的关系
? ? ( ) ( )r x t i y t j z t k? ? ?
运动方程
()
()
()
x x t
y y t
z z t
?
?
?
§ 6-2 直角坐标法
d
dx
xv
t?
d
dy
yv
t?
d
dz
zv
t?
d d d d
d d d d x y z
r x y zv i j k v i v j v k
t t t t? ? ? ? ? ? ?
速度
2
2
y
y
v ya
t t??
d d
d d
2
2
z
z
vza
t t??
dd
d d
2
2
x
x
v xa
t t??
d d
d d
加速度
dd dd
d d d d
yx z
x y z
vv vva i j k a i a j a k
t t t t? ? ? ? ? ? ?
例 6-1 椭圆规的曲柄 OC 可绕定轴 O 转动，其
端点 C 与规尺 AB 的中点以铰链相连接，而规尺 A，
B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。
,,O C A C B C l M C a t??? ? ? ? ?：已知
求：① M 点的运动方程
② 轨迹
③ 速度
④ 加速度
解：点 M作曲线运动，取坐标系 xoy
运动方程
talCMOCx ?? c o s)(c o s)( ????
talAMy ?? s i n)(s i n ???
消去 t,得轨迹
1
)(( 2
2
2
2
?
?
?
? al
y
al
x
）
taMClBCACOC ?? ?????,,
求,x=x(t),y=y(t)。
已知：
速度
? ? talxv x ?? s in???? ?
talyv y ?? c o s)( ??? ?
22
( ) sinc o s(,)
2 c o s 2
xv l a tvi
v l a a l t
?
?
?? ? ?
??
22
( ) c o sc o s (,)
2 c o s 2
yv l a tvj
v l a a l t
?
?
???
??
2 2 2 2 2 2 2 2
22
( ) sin ( ) c o s
2 c o s 2
xyv v v l a t l a t
l a a l t
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ?
taMClBCACOC ?? ?????,,
求,x=x(t),y=y(t)。
已知：
加速度
? ? talxva xx ?? c o s2????? ???
? ? talyva yy ?? s i n2????? ???
? ? taltalaaa yx ???? 24224222 s i n(c o s ）??????
talal ?? 2c o s222 ???
22
( ) c o sc o s (,)
2 c o s 2
ya l a tai
a l a a l t
?
?
?? ? ?
??
求,x=x(t),y=y(t)。
taMClBCACOC ?? ?????,,已知：
22
( ) sinc o s(,)
2 c o s 2
xa l a taj
a l a a l t
?
?
?? ? ?
??
例 6-2 正弦机构如图所示。曲柄 OM长为 r，绕 O
轴匀速转动，它与水平线间的夹角为 其中
θ为 t=0的夹角,ω为一常数。已知动杆上 A,B两点间
距离为 b，求点 A和 B的运动方程及点 B的速度和加速
度。
,??? ?? t
求：① A,B点运动方程
② B点速度、加速度
bABtrOM ?????,,,常数????已知：
解,A,B点都作直线运动，取 ox轴如图所示。
运动方程
)s i n (s i n ??? ????? trbrbx A
)s i n (s i n ??? ??? trrx B
求：① A,B点运动方程
② B点速度、加速度
bABtrOM ?????,,,常数????已知：
A
? ?fxTtx ??? )(
B点的速度和加速度
? ???? ??? trxv BB c o s?
? ?
B
BB
x
trxa
2
2 s i n
?
???
??
???? ??
周期运动
频率Tf 1?
求：① A,B点运动方程
② B点速度、加速度
bABtrOM ?????,,,常数????已知：
例 6-3 如图所示，当液压减振器工作时，它的
活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度
（ v为活塞的速度,k为比例常数 )，初速度为 v0,求活
塞的运动规律。
a kv??
00
,
,t
a k v
vv?
??
?
：已知
? ?tx ?：求
? ?00,,ta k v v v x t?? ? ? ?已知,求：
解,1 活塞作直线运动，取坐标轴 Ox如图
kvtva ??? dd2 由
? ???vv t tkvv
0 0
dd得
ktevvkt
v
v ????
00
0
,ln
ktev
t
xv ????
0d
d3 由
tevx ktx
x
t dd
0 0
0
?? ??得
? ?ktekvxx ???? 100
§ 6-3 自然法
()s f t?弧坐标1
d d d d 1
d d d ds s s
? ? ? ?
??
? ? ?
d
dn s
???
副法线 单位矢量 bn???
?切向单位向量
n主法线 单位矢量
自然轴系2
自然坐标轴的几何性质
d d d d
d d d d
r r s svv
t s t t ??? ? ? ?
3 速度
d d d
d d d
vvav
t t t
??? ? ?4 加速度
d d d
d d d
sv n
t s t
??
???
代入
2d
d tn
vva n a a n
t ???? ? ? ?
则
22
tna a a??
2
2
dd
d dt
vsa
t t?? —
切向加速度
22 1d
dn
vsa
t??
????
???? —
法向加速度
曲线匀速运动运动
0 0 00,,ta v v s s v t? ? ? ? ?
常数
曲线匀变速运动运动
0
2
00
,,
1
2
tt
t
a v v a t
s s v t a t
? ? ?
? ? ?
常数
例 6-4 列车沿半径为 R=800m的圆弧轨道作匀
速运动。如初速度为零，经过 2min后，速度到达
54km/h。求列车起点和未点的加速度。
0,00 ??? ? vva t常数?已知,R=800m=常数，
hkmm i n 542 ?v
m i n20,?? tt aa：求
解,1 列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图
0,0 ?? va t 常数由2 tav t?
21 2 5.015 sm
1 2 0 s
sm ???
t
va
t
② 1 2 0 sm in2 ??t
222 308.0 sm???
nt aaa
① 0,0 ??
nat 21 2 5.0 sm?? taa
2
22
2 8 1.08 0 0 )15( smm sm ??? Rva n
0,00 ??? ? vva t常数?已知,R=800m=常数，
hkmm i n 542 ?v m i n20,?? tt aa：求
解：由点 M的运动方程，得
txatxv xx 4s i n32,4c o s8 ????? ???
tyatyv yy 4c o s32,4s i n8 ?????? ???
0,4 ???? zajv zz ???
2222222 32,80 smsm ?????????
zyxzyx aaaavvvv从而
2sm
d
d 32,0 ???? aa
t
va
nt而
m5.2
2
??
na
v?故
例 6-5 已知点的运动方程为 x=2sin 4t m，
y=2cos 4t m,z=4t m。
?求：点运动轨迹的曲率半径 。
例 6-6 半径为 R的轮子沿直线轨道无滑动地滚动
（称为纯滚动），设轮子转角,
如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一
点 M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法
向加速度。
)( 为常值??? t?
,,,常数已知 ?? ??? tr：
求,M点的运动
方程、速度和
加速度
解,M点作曲线
运动，取直角坐
标系如图。
O C M C r r t??? ? ?由纯滚动条件
? ?ttrMOOCx ??? s i ns i n1 ????从而
? ?trMOCOy ?? c o s1c o s11 ????
,,,常数已知 ?? ??? tr：
求,M点的运动方程、速度和加速度。
? ? tryvtrxv yx ???? s i n,c o s1 ????? ??
)202s i n2)c o s1(222 ?????? ??????? ttrtrvvv yx （
tryatrxa yx ???? c o s,s i n 22 ???? ????
222 ?raaa
yx ???
,,,常数已知 ?? ??? tr：
求,M点的运动方程、速度和加速度。
