第八讲
刚体运动方程
和平衡方程
刚体学习方法 类比法
Lp
MF
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a
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M
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2
1
2
1
22
本讲导读
? 刚体运动分类：平动、转动
? 角位移、角速度矢量
? 欧勒角和欧勒运动学方程
? 空间力系和平行力系的求和
? 刚体运动微分方程和平衡方程
? 简单转动惯量的计算
一、刚体运动
形状和大小都不变的物体
任意两质点之间的距离保持不变的质点系
刚体：
1 刚体运动形式
平动, 刚体在运动过程中,
其上任意两点的连线始终
保持平行, 可以用一个质点
的运动来描述刚体的平动,
A
B
A’
B’ B”
A”
刚体的平动
转动, 刚体上所有质点都绕同一
直线作圆周运动, 这条直线称为
转轴,
定轴转动,转轴固定不动的转动,
转轴上的质点不动, 只需一个量描述刚体绕该
轴转动的角度,就确定了刚体的位置 (一个变量 ).
平面平行运动,一点始终在固定平面内运动,
这时运动可分解为一平面内一
点的 平 动及绕通过此点且垂直于固
定平面的固定轴的转动 (三 个变量 ).
定点转动,一点 固 定不 动,刚 体围绕过
这点的某一瞬时轴转动 (三 个变量 ).
一般运动,刚体不受任何约束，可以在空间任意运 动,
可分解为质心的平动与绕通过质心的某 轴 线 的 定点转
动 (六 个独立变量 )．
2 描述刚体转动的物理量
? x
z
P
角坐标 ? ?d角位移
角速度：
角速度大小：
dt
d?? ?
由右手螺旋法则确定, 角速度 的方向：??
P点线速度与角速度的关系：
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k
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角加速度
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P点线加速度与角量的关系：
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对于定轴转动
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刚体各质元的角量相同,线量一般不同,
3 欧勒角 欧勒运动学方程
刚体定点转动时,选定点为坐
标系原点,用三个独立角度来确定
转动轴在空间的取向和刚体绕这轴
所转过的角度, 这三个能够独立变
化的角度叫做欧勒角,
欧勒角的选取, 取两组右手正交坐标系,它们的原点
都在定点 O上, 坐标系 O-???固定不动,而另一组坐标系
O-xyz 则固定在刚体上随之一起转动, 设 z 轴是转动轴,
?O?平面 和 xOy 平面的交线 ON 称节线, ON和 O?间的夹角
?是一个欧勒角 (进动角 ),ON和 Ox间的夹角 ?是另一个欧
勒角 (自转角 ),O?和 Oz间的夹角 ?是第三个欧勒角 (章动角 ).
从图知, z轴垂直 ON,故 z轴位置与 N有关,因此 z轴
位置要用 ?与 ?两个角来确定, ?为系统绕 z轴转动的角,
假定 O-???系 和 O-xyz系开始重合,令 O-xyz绕 ?轴逆时针转动 ?,
于是 x轴和 ?轴分开,y 轴和 ?轴分开,而且 Ox轴转到 Ox’(即 ON);
然后令活动系绕 ON 转动 ?,于是 z 轴和 ?轴分开,活动系三个
轴变到 x’,y’’和 z,z 轴和 ?轴夹角是 ?,x’Oy’’平面和 ?O?平面夹
角也是 ?,最后，令活动系绕 z轴转动 ?,这时 ON和 Ox夹角是 ?,
Oy’’和 Oy夹角也是 ?,这时,活动系为 Oxyz.
刚体绕着通过定点 O某一轴线以角速度 ?转动,?在
活动系 Oxyz上的投影是 ?x,?y和 ?z,则
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也可以认为 ?是绕轴 O?的角速度,绕 ON轴的角速度
及绕 Oz轴的角速度 三者的矢量和,
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—— 欧勒运动学方程
4 刚体运动方程与平衡方程
(i) 力系的简化 将所有空间力作用点都迁移到一点,
设 F’为作用在刚体 A点上的一个力,P为空间任意一
点,但不在 F’的作用线上,
F’
r
A
P
F1F2
在 P点添上两个与 F’的作用线
平行的力 F1及 F2,且
FFFFF ???? 2121,0??
这样 F’可以化为过 P点的力 F1和 F’及 F2所组成的
一个力偶, 同理可以把所有空间力化为过一点的力
和力偶, P点叫 简化中心,力的矢量和叫 主矢,力偶矩
的矢量和叫对简化中心的 主矩,
(ii) 刚体运动微分方程
如果 ri代表刚体中任一质点 Pi 对静止系 S原点 O的位
矢,rC 为质心 C对 O的位矢,而 ri’ 为 Pi 对质心 C的位矢,动
坐标系 S’随质心作平动,其原点与质心 C重合, 则刚体质
心 C的运动方程为
FFrm eiC ????? ?? ? )(
另外,刚体在动坐标系 S’中的相对运动对质心 C 的总角
动量满足
'ML ????
对固定坐标系中的定点 O,上式仍有效,只需将 J’改 J
(对定点 O的总角动量 ),M’改 M.
刚体有六个独立变 量, 故 质心运动 及 绕质心转动 两
组方程式恰好确定刚体的运动情况, 也可应用动能原理，
作为一个辅助方程来代替方程中的任意一个,
注意, 这时刚体内力所作元功之和为零,故刚体动能的
微分等于刚体在运动过程中外力所作的 元 功之和,
(iii) 刚体平衡方程
??
?
?
?
?
?
0
0
M
F
?
?
如为共面力系,且设诸力均位于 xy平面内,则平衡方
程简化为
0,0,0 ??? zyx MFF
刚体以 ?作定点转动,其中质点 Pi对定点的位矢是 ri,
则质点对定点的角动量为
iii vmr
???
5 刚体转动惯量
整个刚体对定点的角动量为
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i
iii vmrL
???
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i
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i
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角动量一般不与刚体角速度共线, (动量与速度总共线 )
(i) 刚体的角动量
在直角坐标系下
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所以
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引入符号
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则刚体角动量表达式简化为
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zzzyzyxzxz IIIL ??? ????
刚体对各轴的转动惯量 惯量积
刚体以 ?作定点转动,对定点的转动动能为 ? ?
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i
iiii
i
ii
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(ii) 刚体的转动动能
刚体对定点的转动动能也可以写为 ? ? ? ?
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上式中 ?i为 Pi的位矢 ri 与角速度矢量 ?之间的夹角,
?i 为自 Pi至转动瞬轴的垂直距离，而 I 称为刚体绕
转动瞬轴的转动惯量,
(iii) 刚体的转动惯量
z
回转半径 mIrG /?
Gr物体的转动惯量决定于物体的质量分布的情况,又决定于转动轴的位置, 转动
轴不同,即使是同一物 体 转动惯 量 也不同,
平行轴定理
若刚体 对过质心的轴 的转动惯量为 Ic,则刚体对与
该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量 Iz 是
2mdII
cz ??
质量为 m,长为 l 的细棒绕通过其端点合质心
的垂直轴的转动惯量
o
x
z
dx
dm
x
2
3
1 mlI ? 2
12
1 mlI
C ?
质量为 m,半径为 R 的均匀圆盘,通过盘中心
并与盘面垂直的轴的转动惯量
2
2
1 mRI ? o r drR
例 1,一 根 均匀的 棍 子、重为 P长为 2l,今将其一端置于
粗 糙地面上，又以其上的 C点,靠 在 墙 上，墙离地面的
高度为 h.当棍子与地面的角度 ?为最小值 ?0时,棍子在
上述位置仍处于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数 ?
A
x
y
B
C
h
O
l
l
P
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N1
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f
解,受力分析知 本题是一
共面力系的平衡问题,取棍
子所在的平面为 xy平面,则
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对 A点 0s in/c o s
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hPlPN
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例 2,质量 m = 16 kg,半径为 R = 0.15 m 的实心
滑轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体,
求（ 1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离,
（ 2）绳子的张力,
解,maTmg ??
m
M
mg
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2
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例 3,一质量为 m,长为 l 的均质细杆，转轴在 O
点，距 A端 l/3, 杆从静止开始由水平位置绕 O点转
动, 求：（ 1）水平位置的角速度和角加速度,
（ 2）垂直位置时的角速度和角加速度,
解：
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1
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（ 2）垂直
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机械能守恒
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势能零点 O
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（ 3）任意位置
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作 业
3,1 3.2 3.3 3.5
刚体运动方程
和平衡方程
刚体学习方法 类比法
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本讲导读
? 刚体运动分类：平动、转动
? 角位移、角速度矢量
? 欧勒角和欧勒运动学方程
? 空间力系和平行力系的求和
? 刚体运动微分方程和平衡方程
? 简单转动惯量的计算
一、刚体运动
形状和大小都不变的物体
任意两质点之间的距离保持不变的质点系
刚体：
1 刚体运动形式
平动, 刚体在运动过程中,
其上任意两点的连线始终
保持平行, 可以用一个质点
的运动来描述刚体的平动,
A
B
A’
B’ B”
A”
刚体的平动
转动, 刚体上所有质点都绕同一
直线作圆周运动, 这条直线称为
转轴,
定轴转动,转轴固定不动的转动,
转轴上的质点不动, 只需一个量描述刚体绕该
轴转动的角度,就确定了刚体的位置 (一个变量 ).
平面平行运动,一点始终在固定平面内运动,
这时运动可分解为一平面内一
点的 平 动及绕通过此点且垂直于固
定平面的固定轴的转动 (三 个变量 ).
定点转动,一点 固 定不 动,刚 体围绕过
这点的某一瞬时轴转动 (三 个变量 ).
一般运动,刚体不受任何约束，可以在空间任意运 动,
可分解为质心的平动与绕通过质心的某 轴 线 的 定点转
动 (六 个独立变量 )．
2 描述刚体转动的物理量
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角坐标 ? ?d角位移
角速度：
角速度大小：
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由右手螺旋法则确定, 角速度 的方向：??
P点线速度与角速度的关系：
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对于定轴转动
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刚体各质元的角量相同,线量一般不同,
3 欧勒角 欧勒运动学方程
刚体定点转动时,选定点为坐
标系原点,用三个独立角度来确定
转动轴在空间的取向和刚体绕这轴
所转过的角度, 这三个能够独立变
化的角度叫做欧勒角,
欧勒角的选取, 取两组右手正交坐标系,它们的原点
都在定点 O上, 坐标系 O-???固定不动,而另一组坐标系
O-xyz 则固定在刚体上随之一起转动, 设 z 轴是转动轴,
?O?平面 和 xOy 平面的交线 ON 称节线, ON和 O?间的夹角
?是一个欧勒角 (进动角 ),ON和 Ox间的夹角 ?是另一个欧
勒角 (自转角 ),O?和 Oz间的夹角 ?是第三个欧勒角 (章动角 ).
从图知, z轴垂直 ON,故 z轴位置与 N有关,因此 z轴
位置要用 ?与 ?两个角来确定, ?为系统绕 z轴转动的角,
假定 O-???系 和 O-xyz系开始重合,令 O-xyz绕 ?轴逆时针转动 ?,
于是 x轴和 ?轴分开,y 轴和 ?轴分开,而且 Ox轴转到 Ox’(即 ON);
然后令活动系绕 ON 转动 ?,于是 z 轴和 ?轴分开,活动系三个
轴变到 x’,y’’和 z,z 轴和 ?轴夹角是 ?,x’Oy’’平面和 ?O?平面夹
角也是 ?,最后，令活动系绕 z轴转动 ?,这时 ON和 Ox夹角是 ?,
Oy’’和 Oy夹角也是 ?,这时,活动系为 Oxyz.
刚体绕着通过定点 O某一轴线以角速度 ?转动,?在
活动系 Oxyz上的投影是 ?x,?y和 ?z,则
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也可以认为 ?是绕轴 O?的角速度,绕 ON轴的角速度
及绕 Oz轴的角速度 三者的矢量和,
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—— 欧勒运动学方程
4 刚体运动方程与平衡方程
(i) 力系的简化 将所有空间力作用点都迁移到一点,
设 F’为作用在刚体 A点上的一个力,P为空间任意一
点,但不在 F’的作用线上,
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在 P点添上两个与 F’的作用线
平行的力 F1及 F2,且
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这样 F’可以化为过 P点的力 F1和 F’及 F2所组成的
一个力偶, 同理可以把所有空间力化为过一点的力
和力偶, P点叫 简化中心,力的矢量和叫 主矢,力偶矩
的矢量和叫对简化中心的 主矩,
(ii) 刚体运动微分方程
如果 ri代表刚体中任一质点 Pi 对静止系 S原点 O的位
矢,rC 为质心 C对 O的位矢,而 ri’ 为 Pi 对质心 C的位矢,动
坐标系 S’随质心作平动,其原点与质心 C重合, 则刚体质
心 C的运动方程为
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另外,刚体在动坐标系 S’中的相对运动对质心 C 的总角
动量满足
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对固定坐标系中的定点 O,上式仍有效,只需将 J’改 J
(对定点 O的总角动量 ),M’改 M.
刚体有六个独立变 量, 故 质心运动 及 绕质心转动 两
组方程式恰好确定刚体的运动情况, 也可应用动能原理，
作为一个辅助方程来代替方程中的任意一个,
注意, 这时刚体内力所作元功之和为零,故刚体动能的
微分等于刚体在运动过程中外力所作的 元 功之和,
(iii) 刚体平衡方程
??
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如为共面力系,且设诸力均位于 xy平面内,则平衡方
程简化为
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刚体以 ?作定点转动,其中质点 Pi对定点的位矢是 ri,
则质点对定点的角动量为
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5 刚体转动惯量
整个刚体对定点的角动量为
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角动量一般不与刚体角速度共线, (动量与速度总共线 )
(i) 刚体的角动量
在直角坐标系下
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所以
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则刚体角动量表达式简化为
zxzyxyxxxx IIIL ??? ???
zyzyyyxyxy IIIL ??? ????
zzzyzyxzxz IIIL ??? ????
刚体对各轴的转动惯量 惯量积
刚体以 ?作定点转动,对定点的转动动能为 ? ?
? ?
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(ii) 刚体的转动动能
刚体对定点的转动动能也可以写为 ? ? ? ?
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上式中 ?i为 Pi的位矢 ri 与角速度矢量 ?之间的夹角,
?i 为自 Pi至转动瞬轴的垂直距离，而 I 称为刚体绕
转动瞬轴的转动惯量,
(iii) 刚体的转动惯量
z
回转半径 mIrG /?
Gr物体的转动惯量决定于物体的质量分布的情况,又决定于转动轴的位置, 转动
轴不同,即使是同一物 体 转动惯 量 也不同,
平行轴定理
若刚体 对过质心的轴 的转动惯量为 Ic,则刚体对与
该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量 Iz 是
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质量为 m,长为 l 的细棒绕通过其端点合质心
的垂直轴的转动惯量
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质量为 m,半径为 R 的均匀圆盘,通过盘中心
并与盘面垂直的轴的转动惯量
2
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例 1,一 根 均匀的 棍 子、重为 P长为 2l,今将其一端置于
粗 糙地面上，又以其上的 C点,靠 在 墙 上，墙离地面的
高度为 h.当棍子与地面的角度 ?为最小值 ?0时,棍子在
上述位置仍处于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数 ?
A
x
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B
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解,受力分析知 本题是一
共面力系的平衡问题,取棍
子所在的平面为 xy平面,则
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例 2,质量 m = 16 kg,半径为 R = 0.15 m 的实心
滑轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体,
求（ 1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离,
（ 2）绳子的张力,
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例 3,一质量为 m,长为 l 的均质细杆，转轴在 O
点，距 A端 l/3, 杆从静止开始由水平位置绕 O点转
动, 求：（ 1）水平位置的角速度和角加速度,
（ 2）垂直位置时的角速度和角加速度,
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（ 2）垂直
l
g3??
0,0 ?? ?M
机械能守恒
00
62
1 2
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lmgI ?
c
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BA
势能零点 O
c
o
BA
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（ 3）任意位置
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6 0
IlmgM ??
00 s i n
62
1 2
0 ??? ??
lmgI 势能零点 O
作 业
3,1 3.2 3.3 3.5
