第十七讲
哈密顿函数
本讲导读
? 广义动量守恒原理
? 哈密顿函数
? 非完整系统的动力学
? 拉格朗日动力学的推广
如拉格朗日函数 L不包含某个广义坐标 q?,即 ?L/ ? q?
=0,这种广义坐标叫作循环坐标 (可遗坐标 ),于是,拉格
朗日方程 (5.29)给出
0dd ???
?q
L
t ?
即广义动量守恒
如果循环坐标是系统的整体平移坐标,拉格朗日函数不包含整体
平移坐标,即拉格朗日函数 L对于整体平移是不变的,广义动量守
恒原理就归结为动量守恒原理, 若拉格朗日函数不包含整体转动
坐标,拉格朗日函数 L对于整体转动不变,拉格朗日函数是各向同
性的,则广义动量守恒原理归结为角动量守恒原理, 在矢量力学中,
动量守恒原理和角动量守恒原理是以牛顿第三定律为先决条件
(内力的矢量和为零,内力的力矩和为零 ),而广义动量守恒原理则
并不以牛顿第三定律先决条件,
一,广义动量守恒原理
例 1 质量为 M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上,质 量 为 m的
光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下, 求这两个楔子的加速度,
解, 大楔子在水平方向运动,小楔子在大楔子
斜边上运动, 系统有两个自由度, 取桌面上的
固定点 O,大楔子质心相对于 O点坐标记作 X.
小楔子质心相对于大楔子斜边底面而沿着斜
边的坐标记作 q,X和 q可作为系统的广义坐标,
主动力是两个楔子所受的重力,大楔子的势能在运动过程中
不起变化,可以不考虑, 只要讨论小楔子的势能就够了, 计算动能
的时候要注意,小楔子的速度分量不仅仅是沿斜边的,而目还有随
着大楔子在水平方向运动的速度,
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拉格朗日函数 L是时间、广义坐标和广义速度的函数,
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在主动力全是保守力的情况下,利用完整系统的拉格朗
日方程把 ?L/ ? q?改写,即得
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二,哈密顿函数守恒原理
定义哈密顿函数
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如拉格朗日 函 数 L不是时间显 函 数,哈密顿函数 H守恒
哈密顿函数是什么？
因为坐标变换不显含时间,所以 ?
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这样,我们得到
VTVTTLqpH
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在坐标变换不显含时间的条件下,动能是广义速度的二
次齐次式,哈密顿函数就是机械能,
如果约束是不稳定的或者约束是稳定的,但变换 ri＝ ri(q,t)
显含时间,
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哈密顿函数,
VTTLqpH
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????? ?
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02
1?
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这样,在变换式显含时间的条件下,哈密顿函数 H并非机械能,
只能姑名之为广义能量,
注意, 矢量力学关于机械能守恒的条件为作用力是保守力, 可是,
哈密顿函数守恒即机械能守恒却还要求坐标变换式不显含时间,
这两种根源是否矛盾呢? 原来,这两者并不是一回事, 矢量力学
所说的势能对应于所有的力,包括主动力和约束力,而拉格朗日
函数 L和哈密顿函数 H中的势能则只对应广义力,即只包括主动
力,不包括理想约束力, 可见这两种势能并不相同,机械能守恒
的条件当然也就不同了,
用拉格朗日方程求解完整系力学问题的一般程序：
(a)分析系统所受的约束,如系统确为完整系,就根据系统的自
由度选择恰当的广义坐标,
(b)建立各质点的矢径与广义坐标的变换方程, 为方便起见,
尽可能使变换方程不显含时间, 如果能直接完成下一步 (c),则此
步骤可以省略,
(c)用广义坐标和广义速度表示动能,用广义坐标表示广义力,
对于保守系统,写出广义坐标表示的势能, 最后写出系统的拉格
朗日函数,
注意，这里的动能和势能一般是指惯性系中的动能和势能,
若使用非惯性系,则应加上与惯性力相应的势能, 它可能不是只
依赖于广义坐标和时间,而是和广义速度有关的广义势能,
(d)列出拉格朗日方程,
(e)利用初始条件解出拉格朗日方程,
(f)分析结果,
例如,在匀速直线运动的汽车上有一谐振子在光滑水平槽中
往返振动,取 q轴沿振动方向,原点在谐振子的平衡点, 选这汽
车为参考系,谐振子的
22
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1
2
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显然 0?
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t
L
所以 H守恒, 另一方面，由于动能 T是广义速度的二次单项式，
所以 H就是机械能．诚然，
VTkqqmkqqmqqmLqpH ????????? 2222 21212121 ?????
改取地面为参考系,这也是惯性系,如果谐振子的振动槽平行于汽
车行进方向，则
? ? 220 2121 kqqvmVTL ????? ?
v0是汽车的速度, 因 所以 H守恒,但动能 T不是广义
速度的二次齐次式，所以 H不是机械能．事实上
0/ ??? tL
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kqqvmqqvmLqpH
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如汽车是匀加速运动,其速度为 at,仍以地面为参考系,则
? ? 22 2121 kqqatmVTL ????? ?
这时,0?
?
?
t
L
所以 H不守恒, 另一方面,T 不是广义速度二次齐次式,所以 H也
不是机械能, 事实上,? ? ? ?
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kqqatmqqatmLqpH
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例 2 试按“拉格朗日方式”研究单摆的运动,
解, 单摆有一个自由度, 取角坐标作为广义坐标, 主
动力是重力 mg,是保守力, 系统的拉格朗日函数
? ? ?? c o s21 2 m g llmVTL ???? ?
拉格朗日方程给出运动方程 0s in/ ?? ?? lg??
我们不直接解这个微分方程, 考虑到 L 不显含时间,哈密顿函数
守恒, 哈密顿函数
???? c o s21 22 m g lmlLLH ?????? ???
这是机械能, 这样
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上式可改写为 ?
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这是一阶微分方程,为求解这个微分方程,应区分三种情况
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这时,随着摆球的上升,它的角速度不
断减小并将在某个角度成为零,然后,
摆球折回而下降, 方程可变为
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这类积分不能用初等函数表出,它叫第一类椭圆积分,
摆球从 ?＝ 0到 ?所经历的时间是周期的四分之一, 相应地从 ?＝ 0
变到 ?／ 2,这样,周期
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其中的积分叫第一类完全椭圆积分,通常记作 K(k).如果把被积函
数展为幂级数,然后逐项积分,则
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1c o s2 002 ?? ???gl 原方程可以化为
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1c o s2 002 ?? ???gl 这时没有折回现象,原方程化为
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两边积分,仍得椭圆积分
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广义坐标的个数超过了系统的实际的自由度, 尽管
可以用广义坐标把达朗伯原理写为
但这些虚位移并不独立,受到非完整约束方程的约束
),1,2,( 0),,( ktqqf ?? ?? ??
对于线性非完整约束，约束方程可表示为
),1,2,( 0
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其中 A??和 A ?只 是广义坐标和时间的函数,取微分,
),1,2,( 0
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三,不完整约束系统的动力学
由于虚位移不是时间的函数,所以 ?t =0,所以
),1,2,( 0
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即 ),1,2,( 0
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把上述方程组各个方程分别乘以待定常数 ??并与达朗
伯方程相加,得
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虽然虚位移不独立,我们总可以选择乘子,使得
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把上述动力学方程和约束条件联立起来就可以解出问
题,
如所有的主动力是保守力,相应的势能为 V,则广义主
动力可表为
则
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? k
q
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q
L
q
L
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最后一项正是广义力形式,对应第 ?个约束的约束力的
各个分量,
例 3 斜冰面上冰刀简化模型的运动,
解, 设冰刀可抽象为以刚性轻杆相连的
两个质点,并且 m1=m2=m.杆的长为 l,当
冰刀在冰面上运动时,质心 (杆的中点 )
的速度只能沿杆长的方向, 已知冰面的
倾角为 ?,
取固定于斜冰面的坐标系 oxyz,其中 oz垂直于冰面,oy在冰面上
并沿水平方向, 为确定冰刀的位形,可取质心的坐标 (x,y)及冰刀
与 x轴的夹角 ?为广义坐标, 质心只沿杆长方向运动,约束表示为
0c o ss in ??? ?? yxf ??
这是非完整约束,
系统的动能为质心平动动能与绕质心转动动能之和,即
? ?? ? 2222 2121221 ???? ?
?
??
?
???? mlyxmT
系统的势能为 ?s in2 m g xV ??
于是 可以 写出拉格朗日 函 数,按照拉格朗日乘子法建立动力学方程
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约束方程,知 ??
?? s i n,c o ss i nc o s KyKxK
yx ????? ????
对时间求导,
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所以
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tt
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再积分一次,得 ? ? ? ?
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2
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0
0
2
2
c o s2s i n
2
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s i ns i ns i n
2
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tt
g
x
利用初始条件 ??? ?????? ???,000000 yxyx
? ? ? ??????? ??? ttgytgx ??? ??? ? 2s i n212s i n,s i n2s i n 222
对于保守系,广义力 Q?=-?V/ ? q?,定义拉格朗日函数
L=T-V,就得到拉格朗日方程
? ? ( 5,2 9 ),1,2,0dd sq Lq Lt ?? ??????? ?
??
以上引进的势函数 V与广义速度无关,可称之为 普通势
但是,拉格朗日方程并不只适用于普通势的系统, 我
们可以作如下推 广,假 定系统的广义力 Q?满足
? ?,1,2,dd sqVqVtQ ?? ??????? ?
??
?
显然,定义 L＝ T-V,拉格朗日方程依然成立,为保证广义力表达式
不显含广义加速度,V函数只可能含有广义速度的线性项,即
四,拉格朗日动力学的推广
),(),( 0
1
tqVqtqVV
s
?? ?
??
?? ?
这个 势函数 V叫 广义 势,或 速度相关 势
推广到广义势,意味着从机械运动推广开来, 例如,
在经典电磁学中,带电粒子在电磁场中所受的力是
? ?BvEqF ???? ???
引入矢量势 A(r,t)和标量势 ?(r,t)
t
AEAB
?
???????? ???? ?,
则可得到
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?Av
t
qAvq
Av
t
qAvq
t
A
qAvqAv
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A
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其中
kvjviv
zyx
v
???
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??
?
??
?
???
这样，可定义广义势能
Avqq ?? ??? ?V
而广义力为
????
???
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q
V
tq
V
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tq
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V
q
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d
d
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定义 L=T-V AvqqmvL ?? ???? ?2
2
1
所以,仍有 ? ? 31,2,0
d
d ??
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? ?
?? q
L
q
L
t ?
这样,拉格朗日力学也可以用来研究电磁运动等,而
不像牛顿力学那样只能研究机械运动,
这时,如果 x是循环坐标,就是说 L不包含 x,即 ?和 A与 x无
关,则相应的动量 px守恒,即
? ? xx qAxmvAqxxTxLp ???????????? ??????
注意, 这动 量 并不就是 运动动量,而多出一项 qAx,多出的 这 项其
实是电磁场的动 量,
注意, 动量守恒的根据只在于 x是循环坐标,跟牛顿定律无关, 可
见电磁场很难 采用, 牛顿方式,,电磁场的作用也谈不上牛顿定
律,对应 哈密顿函 数
? ? ?
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qAqp
m
qmvLvAqmvLvpH
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2
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2
1
2
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具有普通势或广义势的系统,拉格朗日函数可表示为
动能减势能,而且一定可写为
012 LLLVTL ?????
L2是广义速度二次式,L1是广义速定一次式,L0与广义速
度无关, 这种构造的系统称为 自然拉格朗日系统, 不能
写为这种形式的系统叫 非自然拉格朗日系统,
VcmL cv ???? 22120 ? ?
2
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例, 质点运动速度接近光速时,牛顿定律已不再适用,但拉格朗日
方程仍然可以适用, 在保守场 V中的质点,定义
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这正是狭义相对论中的质点运
动方程
但要注意拉格朗日函数已不再是 T-V,因为狭义相对论中的动能
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2
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至于哈密顿函数
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c
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仍是质点的总能量 (包括静止能 moc2).
这样,拉格朗日动力学实际上概括了比牛顿力学广泛得多的
系统,甚至可包括电气系统和控制系统,
作 业
5.12 5.14 5.15
哈密顿函数
本讲导读
? 广义动量守恒原理
? 哈密顿函数
? 非完整系统的动力学
? 拉格朗日动力学的推广
如拉格朗日函数 L不包含某个广义坐标 q?,即 ?L/ ? q?
=0,这种广义坐标叫作循环坐标 (可遗坐标 ),于是,拉格
朗日方程 (5.29)给出
0dd ???
?q
L
t ?
即广义动量守恒
如果循环坐标是系统的整体平移坐标,拉格朗日函数不包含整体
平移坐标,即拉格朗日函数 L对于整体平移是不变的,广义动量守
恒原理就归结为动量守恒原理, 若拉格朗日函数不包含整体转动
坐标,拉格朗日函数 L对于整体转动不变,拉格朗日函数是各向同
性的,则广义动量守恒原理归结为角动量守恒原理, 在矢量力学中,
动量守恒原理和角动量守恒原理是以牛顿第三定律为先决条件
(内力的矢量和为零,内力的力矩和为零 ),而广义动量守恒原理则
并不以牛顿第三定律先决条件,
一,广义动量守恒原理
例 1 质量为 M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上,质 量 为 m的
光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下, 求这两个楔子的加速度,
解, 大楔子在水平方向运动,小楔子在大楔子
斜边上运动, 系统有两个自由度, 取桌面上的
固定点 O,大楔子质心相对于 O点坐标记作 X.
小楔子质心相对于大楔子斜边底面而沿着斜
边的坐标记作 q,X和 q可作为系统的广义坐标,
主动力是两个楔子所受的重力,大楔子的势能在运动过程中
不起变化,可以不考虑, 只要讨论小楔子的势能就够了, 计算动能
的时候要注意,小楔子的速度分量不仅仅是沿斜边的,而目还有随
着大楔子在水平方向运动的速度,
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222
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大楔子的加速度 以及小楔子相对于大楔子的加速度为
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拉格朗日函数 L是时间、广义坐标和广义速度的函数,
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q
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L
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L
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d
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日方程把 ?L/ ? q?改写,即得
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二,哈密顿函数守恒原理
定义哈密顿函数
LqpLqqLH
ss
?????? ??
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如拉格朗日 函 数 L不是时间显 函 数,哈密顿函数 H守恒
哈密顿函数是什么？
因为坐标变换不显含时间,所以 ?
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这样,我们得到
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s
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)(2
1
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在坐标变换不显含时间的条件下,动能是广义速度的二
次齐次式,哈密顿函数就是机械能,
如果约束是不稳定的或者约束是稳定的,但变换 ri＝ ri(q,t)
显含时间,
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哈密顿函数,
VTTLqpH
s
????? ?
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02
1?
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这样,在变换式显含时间的条件下,哈密顿函数 H并非机械能,
只能姑名之为广义能量,
注意, 矢量力学关于机械能守恒的条件为作用力是保守力, 可是,
哈密顿函数守恒即机械能守恒却还要求坐标变换式不显含时间,
这两种根源是否矛盾呢? 原来,这两者并不是一回事, 矢量力学
所说的势能对应于所有的力,包括主动力和约束力,而拉格朗日
函数 L和哈密顿函数 H中的势能则只对应广义力,即只包括主动
力,不包括理想约束力, 可见这两种势能并不相同,机械能守恒
的条件当然也就不同了,
用拉格朗日方程求解完整系力学问题的一般程序：
(a)分析系统所受的约束,如系统确为完整系,就根据系统的自
由度选择恰当的广义坐标,
(b)建立各质点的矢径与广义坐标的变换方程, 为方便起见,
尽可能使变换方程不显含时间, 如果能直接完成下一步 (c),则此
步骤可以省略,
(c)用广义坐标和广义速度表示动能,用广义坐标表示广义力,
对于保守系统,写出广义坐标表示的势能, 最后写出系统的拉格
朗日函数,
注意，这里的动能和势能一般是指惯性系中的动能和势能,
若使用非惯性系,则应加上与惯性力相应的势能, 它可能不是只
依赖于广义坐标和时间,而是和广义速度有关的广义势能,
(d)列出拉格朗日方程,
(e)利用初始条件解出拉格朗日方程,
(f)分析结果,
例如,在匀速直线运动的汽车上有一谐振子在光滑水平槽中
往返振动,取 q轴沿振动方向,原点在谐振子的平衡点, 选这汽
车为参考系,谐振子的
22
2
1
2
1 kqqmVTL ???? ?
显然 0?
?
?
t
L
所以 H守恒, 另一方面，由于动能 T是广义速度的二次单项式，
所以 H就是机械能．诚然，
VTkqqmkqqmqqmLqpH ????????? 2222 21212121 ?????
改取地面为参考系,这也是惯性系,如果谐振子的振动槽平行于汽
车行进方向，则
? ? 220 2121 kqqvmVTL ????? ?
v0是汽车的速度, 因 所以 H守恒,但动能 T不是广义
速度的二次齐次式，所以 H不是机械能．事实上
0/ ??? tL
? ? ? ?
VTkqqmmv
kqqvmqqvmLqpH
??????
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222
0
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如汽车是匀加速运动,其速度为 at,仍以地面为参考系,则
? ? 22 2121 kqqatmVTL ????? ?
这时,0?
?
?
t
L
所以 H不守恒, 另一方面,T 不是广义速度二次齐次式,所以 H也
不是机械能, 事实上,? ? ? ?
? ? VTkqqmatm
kqqatmqqatmLqpH
??????
???????
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22
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1
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例 2 试按“拉格朗日方式”研究单摆的运动,
解, 单摆有一个自由度, 取角坐标作为广义坐标, 主
动力是重力 mg,是保守力, 系统的拉格朗日函数
? ? ?? c o s21 2 m g llmVTL ???? ?
拉格朗日方程给出运动方程 0s in/ ?? ?? lg??
我们不直接解这个微分方程, 考虑到 L 不显含时间,哈密顿函数
守恒, 哈密顿函数
???? c o s21 22 m g lmlLLH ?????? ???
这是机械能, 这样
00
2222 c o s
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上式可改写为 ?
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这是一阶微分方程,为求解这个微分方程,应区分三种情况
1c o s21 002 ???? ???gl
这时,随着摆球的上升,它的角速度不
断减小并将在某个角度成为零,然后,
摆球折回而下降, 方程可变为
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这类积分不能用初等函数表出,它叫第一类椭圆积分,
摆球从 ?＝ 0到 ?所经历的时间是周期的四分之一, 相应地从 ?＝ 0
变到 ?／ 2,这样,周期
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其中的积分叫第一类完全椭圆积分,通常记作 K(k).如果把被积函
数展为幂级数,然后逐项积分,则
? ? 642 53142 312112/4 6
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1c o s2 002 ?? ???gl 原方程可以化为
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1c o s2 002 ?? ???gl 这时没有折回现象,原方程化为
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两边积分,仍得椭圆积分
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可以用广义坐标把达朗伯原理写为
但这些虚位移并不独立,受到非完整约束方程的约束
),1,2,( 0),,( ktqqf ?? ?? ??
对于线性非完整约束，约束方程可表示为
),1,2,( 0
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其中 A??和 A ?只 是广义坐标和时间的函数,取微分,
),1,2,( 0
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k dt AdqA
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三,不完整约束系统的动力学
由于虚位移不是时间的函数,所以 ?t =0,所以
),1,2,( 0
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即 ),1,2,( 0
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把上述方程组各个方程分别乘以待定常数 ??并与达朗
伯方程相加,得
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虽然虚位移不独立,我们总可以选择乘子,使得
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q
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把上述动力学方程和约束条件联立起来就可以解出问
题,
如所有的主动力是保守力,相应的势能为 V,则广义主
动力可表为
则
?
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? k
q
f
q
L
q
L
t 1d
d
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最后一项正是广义力形式,对应第 ?个约束的约束力的
各个分量,
例 3 斜冰面上冰刀简化模型的运动,
解, 设冰刀可抽象为以刚性轻杆相连的
两个质点,并且 m1=m2=m.杆的长为 l,当
冰刀在冰面上运动时,质心 (杆的中点 )
的速度只能沿杆长的方向, 已知冰面的
倾角为 ?,
取固定于斜冰面的坐标系 oxyz,其中 oz垂直于冰面,oy在冰面上
并沿水平方向, 为确定冰刀的位形,可取质心的坐标 (x,y)及冰刀
与 x轴的夹角 ?为广义坐标, 质心只沿杆长方向运动,约束表示为
0c o ss in ??? ?? yxf ??
这是非完整约束,
系统的动能为质心平动动能与绕质心转动动能之和,即
? ?? ? 2222 2121221 ???? ?
?
??
?
???? mlyxmT
系统的势能为 ?s in2 m g xV ??
于是 可以 写出拉格朗日 函 数,按照拉格朗日乘子法建立动力学方程
0
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约束方程,知 ??
?? s i n,c o ss i nc o s KyKxK
yx ????? ????
对时间求导,
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d
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c os
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所以
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2
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再积分一次,得 ? ? ? ?
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2
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0
2
2
c o s2s i n
2
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2
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利用初始条件 ??? ?????? ???,000000 yxyx
? ? ? ??????? ??? ttgytgx ??? ??? ? 2s i n212s i n,s i n2s i n 222
对于保守系,广义力 Q?=-?V/ ? q?,定义拉格朗日函数
L=T-V,就得到拉格朗日方程
? ? ( 5,2 9 ),1,2,0dd sq Lq Lt ?? ??????? ?
??
以上引进的势函数 V与广义速度无关,可称之为 普通势
但是,拉格朗日方程并不只适用于普通势的系统, 我
们可以作如下推 广,假 定系统的广义力 Q?满足
? ?,1,2,dd sqVqVtQ ?? ??????? ?
??
?
显然,定义 L＝ T-V,拉格朗日方程依然成立,为保证广义力表达式
不显含广义加速度,V函数只可能含有广义速度的线性项,即
四,拉格朗日动力学的推广
),(),( 0
1
tqVqtqVV
s
?? ?
??
?? ?
这个 势函数 V叫 广义 势,或 速度相关 势
推广到广义势,意味着从机械运动推广开来, 例如,
在经典电磁学中,带电粒子在电磁场中所受的力是
? ?BvEqF ???? ???
引入矢量势 A(r,t)和标量势 ?(r,t)
t
AEAB
?
???????? ???? ?,
则可得到
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?Av
t
qAvq
Av
t
qAvq
t
A
qAvqAv
t
A
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)(
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d
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其中
kvjviv
zyx
v
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???
这样，可定义广义势能
Avqq ?? ??? ?V
而广义力为
????
???
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q
V
tq
V
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V
tq
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V
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V
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d
d
d
d
定义 L=T-V AvqqmvL ?? ???? ?2
2
1
所以,仍有 ? ? 31,2,0
d
d ??
?
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?? q
L
q
L
t ?
这样,拉格朗日力学也可以用来研究电磁运动等,而
不像牛顿力学那样只能研究机械运动,
这时,如果 x是循环坐标,就是说 L不包含 x,即 ?和 A与 x无
关,则相应的动量 px守恒,即
? ? xx qAxmvAqxxTxLp ???????????? ??????
注意, 这动 量 并不就是 运动动量,而多出一项 qAx,多出的 这 项其
实是电磁场的动 量,
注意, 动量守恒的根据只在于 x是循环坐标,跟牛顿定律无关, 可
见电磁场很难 采用, 牛顿方式,,电磁场的作用也谈不上牛顿定
律,对应 哈密顿函 数
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qAqp
m
qmvLvAqmvLvpH
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22
2
1
2
1
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具有普通势或广义势的系统,拉格朗日函数可表示为
动能减势能,而且一定可写为
012 LLLVTL ?????
L2是广义速度二次式,L1是广义速定一次式,L0与广义速
度无关, 这种构造的系统称为 自然拉格朗日系统, 不能
写为这种形式的系统叫 非自然拉格朗日系统,
VcmL cv ???? 22120 ? ?
2
22
2
1
1 2020
c
v
x
c
v
x
vcmcm
v ?
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例, 质点运动速度接近光速时,牛顿定律已不再适用,但拉格朗日
方程仍然可以适用, 在保守场 V中的质点,定义
F
v
cm
t
c
v
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2
21d
d 2
0
这正是狭义相对论中的质点运
动方程
但要注意拉格朗日函数已不再是 T-V,因为狭义相对论中的动能
2
0
2
0
2
21
cmcmT
c
v
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至于哈密顿函数
VcmTVcmvmLvpH
c
v
c
v
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???? 2020
2
0
2
2
2
2
1
1
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仍是质点的总能量 (包括静止能 moc2).
这样,拉格朗日动力学实际上概括了比牛顿力学广泛得多的
系统,甚至可包括电气系统和控制系统,
作 业
5.12 5.14 5.15
