第十六讲
拉格朗日动力学
? 达朗贝原理
? 基本拉格朗日方程
? 保守系的拉格朗日方程
本讲导读
按照牛顿运动定律,力学系统的第 i质点的运动方程是
0 ??? iiii rmRF ?????
只要把最后一项理解为一种力,上式就变为平衡方程的
类型, 事实上,研究第 i质点的运动时,若选用跟随这质点
一同平动的参考系统,这质点显然是 (相对 )静止的,它应
当遵守平衡方程, 最后一项就是惯性力, 这就叫作达朗伯
原理,
? ? ( 5,2 3 ) 0
1
????
?
n
i
iiii rrmF
????? ?
—— 达朗伯 -拉格朗日方程
一 达朗伯原理
达朗伯原理是以牛顿定律加上理想约束假定作
为逻辑推理的出发点导出的, 从这个基本法出发再
利用约束对虚位移的限制关系式,可以导出力学系
统的动力学方程, 从而概括了力学系统的运动规律,
由于约束的性质是纯几何的或运动学的,因此可认为
真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基本方
程,故称之为, 原理,, 这比承认牛顿定律再加上理
想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性, 当
存在非理想约束时,达朗伯原理也适用,它可叙述为:
主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和为零,
对于完整约束或非完整约束,这个原理都适用,因此
它可以称为分析动力学的普遍原理,
ni
zzmFyymFxxmF iiiiziiiiyi
i
iiix
,,,????
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21
0δ)(δ)(δ)( ??????
动力学普遍方程的直角坐标形式
)21(0δ)( nim i
i
iii,,,raF ????????
? ? ? ? ? ?iiiiiiiiiziyixi zyxzyxFFF δδδδ,,r,,,a,,,F ??? ??????
适用于具有稳定(或非稳定)约束的系统;
适用于具有完整(或非完整)约束的系统;
适用于具有保守力(或非保守力)的系统。
适用于具有理想约束或双面约束的系统;
二、动力学普遍方程
* 达朗贝尔-拉格朗日方程主要应用于求解动力
学第二类问题,即:已知主动力求系统的运动规
律。
* 应用达朗贝尔-拉格朗日方程求解系统运动
规律时,重要的是正确分析运动,并在系统上施
加惯性力。
* 由于达朗贝尔-拉格朗日方程中不包含约束
力,因此,不需要解除约束,也不需要将系统拆
开。
* 应用达朗贝尔-拉格朗日方程时,需要正确
分析主动力和惯性力作用点的虚位移,并正确计
算相应的虚功。
例 题 1
? BA
C
l
l
l
l? ?
O1 x1
y1
离心调速器
已知:
m1- 球 A,B 的质量;
m2- 重锤 C 的质量;
l- 杆件的长度;
?- O1 y1轴的旋转角速度。
求:
?- ? 的关系。
三、应用举例
?
C
l
l
l
l? ?
O1 x
y
A B
解:不考虑摩擦力,这一系统的约束为理想约束;系
统具有一个自由度。 取广义坐标 q=?
1、分析运动、确定惯性力
球 A,B绕 y轴等速转动;重锤静止不动。
球 A,B的惯性力为 2
II s in ??mlFF BA ==
FIBFIA
m1 g m
1 g
m2 g
2、给系统有一虚位移 ??。 A,B,C
三处的虚位移分别为 ?rA,?rB,?rC
??
?rB?rA
?rC 3、应用达朗贝尔-拉格朗日方程
0δδ
δδδ
21
1II
?????
?????
CB
ABBAA
ygmygm
ygmxFxF
?
C
l
l
l
l? ?
O1 x
y
A B
m1 g m
1 g
m2 g
??
?rB?rA
?rC
根据几何关系,有
?
?
?
?
?
c o s2
c o s
s in
c o s
s in
ly
ly
lx
ly
lx
C
B
B
A
A





?
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??
??
??
δs in2δ
δs inδ
δc osδ
δs inδ
δc osδ
ly
ly
lx
ly
lx
C
B
B
A
A
?
?
?
?





FIBFIA
0δs i n2δs i n2δc o ss i n2 2121 ??? ???????? glmglmllm
?? c o s
)(
1
212
lm
gmm ??
0δδδδδ 211II ?????????? CBABBAA ygmygmygmxFxF
例 题 2
xO
y
C2
D
质量为 m1的 三棱柱 ABC通过滚
轮搁置在光滑的水平面上。质量
为 m2、半径为 R的均质圆轮沿 三棱
柱的斜面 AB无滑动地滚下。
求,1、三棱柱后退的加
速度 a1;
2、圆轮质心 C2相对于 三
棱柱加速度 ar。
C1
A
C B?
xO
y
C2
D
C1
A
C B?
解,1、分析运动
三棱柱作平移,加速度为 a1。
a1
圆轮作平面运动,质心的牵连加速度为 ae= a1 ; 质心的
相对加速度为 ar; 圆轮的角加速度为 ?2。
ae
ar
?2
2、施加惯性力
11I1 amF ? 12I2 e amF ?
r2I2 r amF ?
22I 2 r αJM ? 222 2
1 rmJ ?
m1g
m2 g
FI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2
3、确定虚位移
xO
y
C2
D
C1
A
C B?
m1g
m2 g
FI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2
?x
??
考察三棱柱和圆盘组成的
系统,系统具有两个自由度
?δδ,x
xO
y
C2
D
C1
A
C B?
m1g
m2 g
FI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2
?x
??
0δ0δ ?? ?,令 x
0δδδc o sδs i n 22r2Ie2I2 ??????? ??????? RJRFRFRgm -
0)23c o s(1s in r1 ???? aag ??
4、应用达朗贝尔-拉格朗日方程
0δ0δ ?? ?,令 x
0δc o sδ)( r2Ie2I1I ???? xFxFF ?
?c o s
)( 121
r m
amma ??
求解联立方程,得:
?
?
?
?
2
221
21
r
2
221
2
1
c os2)3(
)(s in2
c os2)3(
s in 2
mmm
mmg
a
mmm
gm
a


?
?
?
?
?
由于约束条件,n个矢径并不独立, 现在引入独立的广义
坐标 q? 把矢径用广义坐标表示出
? ? ;,,,21 tqqqrr sii ??? ?
对时间求导
d
d
d
d
1 t
q
q
r
t
r
t
r s iii ?
? ?
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? ?
??
?
?? ???
因为位矢只是广义坐标和时间的函数,它对广义坐标的
偏导数也是广义坐标和时间的函数,因此速度就是广义
坐标、广义速度以及时间的函数,但是位矢对时间和
广义坐标的偏导数并不是广义速度的函数, 因为广义
速度也是独立的,所以
( 5, 2 4 )
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四、基本拉格朗日方程
再来看位矢对广义坐标的偏导数的时间变化率
( 5, 2 5 ) dd dd
1
2
1
2
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ii
s
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即位矢对广义坐标的偏导数和对时间的偏导数可以 对易
这样把广义坐标表示代入达朗贝 — 拉格朗日方程,
?
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111111
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1111
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d
d
d
d
d
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考虑 (5.24)和 (5.25)
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1
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d
d
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上式中的两个括号正是力学系统的动能 T,所以
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T
q
T
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( 5, 2 6 ) 0
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q
T
q
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Q
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? ? ( 5,2 7 ),1,2,dd sQqTqTt ?? ???????? ??
??
—— 拉 格朗日方程
这里已经甩掉了虚位移, 因为 T 和 Q?都是 t,q?和 它
的时间变化率的 已知函数,所以这是关于 s 个未知函数
q?(t)的常微分方程组,其中每个方程一般 都含有 这 s 个
未知函数的二阶导数,
? ?,1,2,sqT ?? ??? ?
?
叫 广义动量 ?q? 叫广义速度
?q
T
?
? 叫 拉 格朗日 力Q? 叫 广义力
广义动量时间变化率等广义主动力与拉格朗日力之和
注意,拉格朗日方程在数学上是 q?的常微分方程,在物理
上是实际运动所遵从的运动定律, 方程中的 d/dt 运算当然
是把描写实际运动的 q?当作时间 t的函数 q?(t),而广义速度
则是 q?(t)的时间变化率, 可是,为了具体写出 (5.27),必须先
计算 T(q?,dq?/dt,t) 的偏导数 dT/dq?和 dT/d(dq?/dt ),在作
这种运算时,是把广义坐标、广义速度和时间当作独立变
数看待的,也就是说,不把 q?作为时间的函数,也不把广义
速度作为 q?的时间变化率,
这是怎么回事?原来,作为研究问题的出发点,我们并不局
限于实际实现的运动情况,而是考虑瞬时, 冻结, 了的约
束条件所允许的一切可能的运动情况 (虚位移概念就是这
样引入的 ),q?并不是指某个时刻的实际的广义坐标,而是约
束条件所允许的任意的广义坐标,所以它不是时间的函数,
广义速度也是约束条件所允许的任意的广义速度,所以它
也不是广义坐标时间变化率,而是独立于广义坐标的,
对于只具有完整约束、自由度为 N的系统,可以得到
由 N个拉格朗日方程组成的方程组。
应用拉格朗日方程,一般应遵循以下 步骤:
○ 首先,要判断约束性质是否完整、主动力是否有势,
决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。
○ 其次,要确定系统的自由度,选择合适的广义坐标。
○ 按照所选择的广义坐标,写出系统的动能、势能或广义力。
○ 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
五,拉格朗日方程的应用
例 1 试推导平面极坐标中的质点运动方程.
解, 这里有两个自由度,广义坐标即极径 ?和极角 ?,径向速度和横向
速度分别是
广义动量为
? ?? ?2221,,?????? ?? ???? ???? mTvv
它们分别是径向动量和相对于极点的角动量, 拉格朗日力为
????? ?? ???? 2,mTpmTp ????????
前一个是质点绕极点运动的惯性离心力, 广义力 Q?,Q?可利用虚功
来求, 先令 ??=0,虚功 ?W=F ? r=F? ??,得到 Q?= F?.这是力的径向
分量,
0,2 ?????? ???? TmT ?
同理 先令 ?? =0,利用虚功 得到 Q?= ? F?.这是相对极点的力矩,
例 2,如果某一广义坐标 q?,反映力学系统的整体平移,
其平移方向沿着单位矢量 n(如图 ),即
? ? ? ? ndqtq,qrtdqq,qrr ββiββii ???? ????,,
其中 q代表 q?以外的所有各广义坐
标,dq? n则是所有质点的共同平移,
在这情况下,
?q
rn i
?
?? ??
相应的广义动量
?
?
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q
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11
11 2
1
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???
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????
?
这正是力学系统的动 量 在 n方向的分量, 同理可以证明
相应的广义力是主动力之和在 n方向的分量, (课下作业 )
例 3,如广义坐标 q?,反映系统的整体转动,其转动轴沿着单位矢量
n
? ? ? ? ? ?tq,qrndqtq,qrtdqq,qrr βiββiββii,,,????? ?????
q? 是系统绕转动周转过的角度,此时
i
i rn
q
r ??? ??
?
?
?
相应的广义动量
? ?
Lnrrmn
rnrm
q
r
rm
q
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???
1
111 ??
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这正是力学系统的角动量上在 n方向的分量,即力学系统对 n轴的角
动量, 相应广义力 Q?为 ? ?
MnFrn
rnF
q
r
FQ
n
i
i
n
i
ii
i
n
i
i
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?????
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?
??
1
11 ?
?
当主动力 Fi全是保守力时,存在一个势能函数 V(r1,
r2,…,rn,t) 使
V F ii ???
则,广义力为
????
??
?
q
V
q
z
z
V
q
y
y
V
q
x
x
V
q
r
V
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i
i
i
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i
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n
i
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1
11
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拉格朗日方程就可以改写为
? ? ( 5, 2 8 ),1,2,dd sqVqTqTt ?? ?????????? ?
???
六、保守系的拉格朗日方程
因为势能中一般不包括广义速度,令 代表系统
的动能和势能之差,则
VTL ??
????? q
V
q
T
q
L
q
T
q
L
?
??
?
??
?
?
?
??
?
?
??
则 (5.28)变为
? ? ( 5,2 9 ),1,2,0dd sq Lq Lt ?? ??????? ?
??
这是保守系的拉格朗日方程,L叫拉格朗日函数,
通常定义广义动量
所以,广义动量的时间变化率等于广义力
? ?sqLp,1,2,?? ???? ?
?
?
例 1 不可伸缩的柔软轻绳绕过两个定滑轮杯和意个动滑轮 (图 ),滑轮
的重量很轻,质量为 m1,m2和 m3的物体分别悬挂于绳的两端和动滑
轮下, 求各物体的加速度,
解, 三个物体作上下方向的一维运动,又受到一
不可伸缩的绳的限制,因此只有 2个自由度,
取左右两边的绳长 l1和 l2作为力学系统的广义坐
标, l1+2l3+l2=常数 l.
三个物体受到的都是重力,是保守系统,所以
? ?? ?2132211 21 lllgmglmglmV ??????
? ?? ? 2213222211 812121 llmlmlmT ???? ?????
VTL ??
拉格朗日方程给出
?
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2
1
4
1
4
1
d
d
0
2
1
4
1
4
1
d
d
3213232
3123131
gmmlmlmm
t
gmmlmlmm
t
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g
mmmmmm
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g
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l
g
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l
132321
132321
3
132321
231321
2
132321
132321
1
4
4
4
34
4
34
??
??
??
例 2 图示系统中,物块 A与球 B看成两个质点,质量
分别为,用质量不计的长为 l 的杆相连。水
平面光滑,求系统的运动微分方程。 21
mm 与
解,系统受理想约束,主动力 (重力 )有势。系统有二自
由度,选 为广义坐标。?,x
2
22
2
1 2
1
2
1 vmxmT ?? ? )c o s2(
2
1
2
1 222
2
2
1 ??? xllxmxm ????? ????
??? c o s21)(21 2222221 xlmlmxmm ???? ????
?cos2 glmV ??
代入拉氏方程 x
V
x
T
x
T
dt
d
?
???
?
??
?
? )(
?
??? ?
???
?
??
?
? VTT
dt
d )(
?
系统运动微分方程
0s i ns i nc o s
0s i nc o s)(
22
2
22
2
2221
?????
?????
?????
????
glmxlmlmxlm
lmlmxmm
??????
?????
例 3
?
x
O
x
l0
A
B
质量为 m、长度为 l的均质杆 AB可以绕 A端的铰链在
平面内转动。 A端的小圆轮与刚度系数为 k的弹簧相连,
并可在滑槽内上下滑动。弹簧的原长为 l0。
求:系统的运动微分方程
C
k
解,1、系统的约束为完整约束,主
动力为有势力。
2、系统具有两个自由度,广义坐
标选择为 q=(x,?),x 坐标的原点取在弹
簧原长的下方 。
x
O
?
x
l0
A
B
C
k
3、计算系统的动能:不计弹簧的质量,
系统的动能即为 AB杆的动能
22
2
1
2
1 ??
CC JmvT ??
??? s i n2c o s2 ??? lxxlxx CC ????
??? c o s2s i n2 ?? lyly CC ??
)
3
1
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2
1
2
1
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2
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2
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2
1
222
222
???
?????
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llxxm
J
l
xmT C
???
??
?
?
??
?
???
x
O
?
x
l0
A
B
C
k
系统的势能由弹簧势能与重力势能所
组成,以 O点为共同的势能零点:
)c o s2(21 2 ?lxmgkxV ???
拉格朗日函数
)c o s2(21 2 ?lxmgkx ??-
VTL ?? )31s i n-(21 222 ??? ???? llxxm ??
4、应用拉格朗日方程运动微分方程
0)(dd =-
jj q
L
q
L
t ?
?
?
?
?
?? ???? ????? 2121,,2,1,qxqqxqjq j广义坐标
m g xkxxL ???? - ?? s in21- lmxmxL ??? ???
???? c o s21s i n21-)(dd 2 lmlmxmxLt ?????? ????
???? s i n21-c o s21 m g llxmL ??????
??? s in21-31 2 xmlmlL ?? ???
)c o s2(21 2 ?lxmgkx ??-
VTL ??
)31s i n-(21 222 ??? ???? llxxm ??
????? c o s21s i n21-3)(dd
2
lxmxmlmlLt ??????? ????
??? s in21-31 2 xmlmlL ?? ???
0c o s21s i n21 2 ????? mgkxmlmlxm ???? ?????
0s i n21s i n213 ?? ??? gxl ????-
B
A
k
O r0
例 4 均质杆 OA,重量为 W,
长度为 l绕 O作定轴转动。重量
同为 W的滑块 B套在 OA杆上,
可在 OB杆上滑动。刚度系数为
k、不计质量的弹簧,两端分别
与 A,B相连。 弹簧未变形时,
OB= r0。
求:系统的运动微分方程 (摩擦
忽略不计 )
B
A
k
r0
?
B'
r
O
解,1、系统的约束为完整约束,且主动力是保守力
2、系统的自由度 N= 2。取广义坐标 q=(r,?)。
3、确定系统的动能和势能:
22222 )
3
1(
2
1)(
2
1 ?? ??? l
g
Wrr
g
WT ???
2
0 )r(2
1c o s
2c o s --- rk
lWWrV ?? ??W
FW
F
零势能取弹簧原长及水平线。
2
0 )r(2
1c o s
2c o s -rk
lWWr ??? ??
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应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解。
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作 业
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