第十七讲
小 振 动
本讲导读
? 动能和势能的泰勒展开
? 线性齐次方程的求解
? 简正频率
? 简正坐标
一、多自由度力学体系的小振动
一个完整 的 稳定、保守的力学体系在平衡位置时的
广义坐 标 均等于零, 如果力学体系自平衡位置发生微小偏
移,力学体系的势能 可以 在平衡位形区域内展 成 泰勒级数,
)(
2
1 2
1
1
0
2
1 0
0 qOqqqq
V
q
q
V
VV
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利用保守体系的平衡方程,略去二级以上的高级项并
令 V=0,就得到
??
??
?? qqcV
s
?
?
?
1,2
1
在稳定约束时,动能 T只是速度的二次齐次函数,即
式 中 系数 a??是广义坐标 q?的显函数, 把 a??在力学体系
平衡位形的区域内展成泰勒级数,就得到
由于 q?值很小,因此展开式中只保留头一项,动能 T变为
??
??
?? qqaT
s
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1
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1
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1,2
1
现在式中系数 a??是不变的, 展 开式中的系数具有特别名称,即 c??
称为 恢 复系数或准弹 性 系数,而 a??则称为惯性系数,
所以
0,
d
d,
11
?
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1
把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体
系在平衡位置附近的动力学方程
? ? ? ??
?
???
s
sqcqa
1
,,2,1,0
?
?????? ? ???
这是线性齐次常微分方程组,它的解 teAq ??? ?
式中 A?及 ?是常数,把这表示式代回,得
? ? ? ??
?
???
s
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1
2,,2,1,0
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从行列式
0
2
2
2
21
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2
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ssssssss
ss
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cacaca
cacaca
cacaca
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??
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求出 2s个 ?的本征值 ?l,(l＝ 1,2,…,2s),然后 求出一组 A?(l),
方程式的解 即 是
),,2,1(
2
1
)( seAq
s
l
tl l ??? ?
?
????
为了物体在平衡位置附近振动,则 力学体系的势能 V> 0
(即平衡位置 V＝ 0是极小值 ),方程 所有的根 ?l为纯虚数,
既然 ?l是纯虚数,因此可令
ll i?? ??
这样,解可以写为 ? ??
?
???
s
l
tiltil ll eAeAq
1
)()( ' ?
?
?
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实数 解为 ? ??
?
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s
l
l
l
l
l tbtaq
1
)()( s inc o s ??
???
实际上,我们把 ?的某一本征值 ?l代入原方程后,并不能
得出 s个互相独立的常数 A?(?＝ 1,2,…,s),而只能得出它
们的比,因为此时系数行列式等于零, 如果行列式的 (s-1)
阶代数余 子 式中有一个不等于零,则在一组解 A?中只有
一个数是可以任意取的,如果设此常数为 A(l),则 A? (l)可写
为 ? ?
21)()( lll AA ??? ??
即 ? ? ? ? ? ?2
1)()(212)()(2211)()(1,,,lsllsllllll AAAAAA ??? ?????? ?
在方程的解中共有 2s2个常数,因为每个 ?l对应一个任意
常数,而共有 2s个 ?l,所以 2s2个常数只有 2s个是独立的, 这
2s个常数,可由起始条件决定,即 t＝ 0时的初始位置和初
始速度应为已知, 这样，
? ? ? ?? ??
?
???????
s
l
ti
l
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l
l ll eAeAq
1
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s
l
ll
l
ll
l tbtaq
1
2)(2)( s i nc o s ????
???实数解：
这里的 ?l叫做简正频率,它的数目共有 s个,和力学体系
的自由度数相等,
多自由度体系的小振动问题比较复杂的原因是在势
能和动能中都有交叉项 (相互作用 ),消除之,可以简化问
题,
因为动能总是正定的,根据线性代数理论,总能找到线
性变换
?
?
?
s
l
llgq
1
???
使得 T和 V同时变成正则形式,即没有交叉项, 变换后
??
??
??
s
l
ll
s
l
ll cVaT
1
20
1
20
2
1,
2
1 ???
相应的拉氏方程为
0
d
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?
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?
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?
???
?
?
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lll
VTT
t ????
二、简正坐标
所以
)21( 000,s,,lca llll ??? ??? ??
可得,解
? ? ? ? ? ? ),,2,1( c o ss i nc o s sltCtB tA llllllll ?????? ?????
式中
0
0
l
l
l a
c??
坐标 ?l叫做简正坐标,?l仍为简正频率,
每一个 简正坐标都做具有自己固有频率 ?l的谐振动,
而广义坐标,作为简正坐标的线性函数,将是 s个谐
振叠加而成的复杂运动,
例 1 耦合摆 两相同的单摆,长为 a,摆锤的质量为 m,用倔强系数
为 k且其自然长度等于两摆悬点之间距离的无重弹簧相耦合,略去阻
尼作用,试求此体系的运动,
解,两个摆在同一平面内振动,取振动平面
为 xy平 面,并且令两个摆锤的坐标为 (x1,y1)
及 (x2,y2),则由于约束关系 (两摆的摆长一
定 ),四个坐标中只有两个是独立的, 选 x1及
x2作为两个广义坐标,而 x1及 x2等于零时
相当于耦合摆的平衡状态,
耦合摆的势能等于弹簧的弹性势能与摆
锤重力势能两者之和,即
? ? 2122121 m g ym g yxxkV ????
耦合摆的动能为
? ? ? ?22222121 2121 yxmyxmT ???? ????
因为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
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xa
x
yxaya
x
xa
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故
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2
22
2
2
2
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12
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2
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2
11
2
1 x
xa
xmx
xa
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?
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?
?
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为了算出在平衡位置附近的势能及动能,按泰勒级数展开,可得
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mgk
x
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xx
Vc
a
mgk
x
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xxx
????
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2
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2
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0
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1
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11
211
,,
? ? ? ? mama ?? 022011,
又
故在平衡位置附近,V与 T简化为
2
221
2
1 2
1
2
1
2
1 x
a
mgkxkxx
a
mgkV ?
?
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?
? ????
?
??
?
? ??
? ?222121 xxmT ?? ??
运用拉氏方程,得动力学方程
1211 )( xa
mgxxkxm ??????
2212 )( xa
mgxxkxm ?????
这是二阶常系数线性齐次方程组,具有形式解
tt eAxeAx ?? 2211,??
所以
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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2
2
1
k
a
mg
mAkA
kAk
a
mg
mA
?
?
此方程组有非零解的充要条件为
0
2
2
?
???
???
k
a
mg
m λk
kk
a
mg
m λ
由此得到 4个本征值如下,
这样得到通解
2211
2,???? i
m
k
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a
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,
,
2211
2211
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2
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11
titititi
titititi
eAeAeAeAx
eAeAeAeAx
????
????
????
????
????
????
把 ?1,?2带入行列式,得到
? ? ? ? ? ? ? ? )1(1211)1(121112111,,,,??? ????????? AAAAAAkk?
? ? ? ? ? ? ? ? )2(2221)1(222112112,,,,??? ???????????? AAAAAAkk?
,
,
2211
2211
)2()2()1()1(
2
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1
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????
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titititi
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eAeAeAeAx
eAeAeAeAx
????
????
4个任意常数由初始条件决定,
如果令 则 ?1,?2将以单一的频率 ?1,
?2振动,因此 ?1,?2就是简正坐标,
? ? ? ?212211 21,21 xxxx ???? ??
例 2 线对称三原子分子的振动 设两个质量为 m的原子,对称地位
于质量为 M的原子两侧,三者皆处于一直线上,其间的相互作用可
近似地认为是准弹性的,即相当于用弹性系数为 k的两个相同弹簧
把它们联结起来, 如平衡时,M与每一 m间的距离均等于 b,求三者
沿联线振动时的简正频率,
解,由图知,若以水平轴 x上某处 O为原
点, 系统的势能为
? ? ? ? bxxkbxxkV 223212 22 ??????
而 ? ?
xMxxmT 222321 2121 ??? ???
令
b xqbxqxq 2,,332211 ?????
则
? ? ? ? qqkqqkV 223212 22 ???? ? ? qMqqmT 222321 2121 ??? ???
本问题是三个自由度,故 q1,q2,q3就是广义坐标,由拉氏方程得
?
?
?
?
?
???
????
???
0
02
0
323
3212
211
kqkq qm
kqkqkqqM
kqkqqm
??
??
??
设解的形式为
)s in ( ???? ?? tcq
带入动力学方程组,得
0)(0
0)2(
00)(
2
32
3
2
21
2
2
1
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?????
????
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?
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mkckc
kcMkckc
kcmkc
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mkk
kMkk
kmk
于是
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?
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M
m
m
k
m
k 21,,0
321 ???
弹簧耦合摆小振动
的简正模与简正频率
大 学 物 理
COLLEGE PHYSICS
1998年 8月 第 17卷 第 8期
科技期刊
将耦合摆弹簧作为弹性均匀杆，导出了对称简
正模与反对称简正模的本征方程，给出各角频
率值的近似式，并进行了讨论
作 业
5.16----------------------------5.19
小 振 动
本讲导读
? 动能和势能的泰勒展开
? 线性齐次方程的求解
? 简正频率
? 简正坐标
一、多自由度力学体系的小振动
一个完整 的 稳定、保守的力学体系在平衡位置时的
广义坐 标 均等于零, 如果力学体系自平衡位置发生微小偏
移,力学体系的势能 可以 在平衡位形区域内展 成 泰勒级数,
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令 V=0,就得到
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1,2
1
在稳定约束时,动能 T只是速度的二次齐次函数,即
式 中 系数 a??是广义坐标 q?的显函数, 把 a??在力学体系
平衡位形的区域内展成泰勒级数,就得到
由于 q?值很小,因此展开式中只保留头一项,动能 T变为
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现在式中系数 a??是不变的, 展 开式中的系数具有特别名称,即 c??
称为 恢 复系数或准弹 性 系数,而 a??则称为惯性系数,
所以
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把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体
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这是线性齐次常微分方程组,它的解 teAq ??? ?
式中 A?及 ?是常数,把这表示式代回,得
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方程式的解 即 是
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为了物体在平衡位置附近振动,则 力学体系的势能 V> 0
(即平衡位置 V＝ 0是极小值 ),方程 所有的根 ?l为纯虚数,
既然 ?l是纯虚数,因此可令
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实际上,我们把 ?的某一本征值 ?l代入原方程后,并不能
得出 s个互相独立的常数 A?(?＝ 1,2,…,s),而只能得出它
们的比,因为此时系数行列式等于零, 如果行列式的 (s-1)
阶代数余 子 式中有一个不等于零,则在一组解 A?中只有
一个数是可以任意取的,如果设此常数为 A(l),则 A? (l)可写
为 ? ?
21)()( lll AA ??? ??
即 ? ? ? ? ? ?2
1)()(212)()(2211)()(1,,,lsllsllllll AAAAAA ??? ?????? ?
在方程的解中共有 2s2个常数,因为每个 ?l对应一个任意
常数,而共有 2s个 ?l,所以 2s2个常数只有 2s个是独立的, 这
2s个常数,可由起始条件决定,即 t＝ 0时的初始位置和初
始速度应为已知, 这样，
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的自由度数相等,
多自由度体系的小振动问题比较复杂的原因是在势
能和动能中都有交叉项 (相互作用 ),消除之,可以简化问
题,
因为动能总是正定的,根据线性代数理论,总能找到线
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所以
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可得,解
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坐标 ?l叫做简正坐标,?l仍为简正频率,
每一个 简正坐标都做具有自己固有频率 ?l的谐振动,
而广义坐标,作为简正坐标的线性函数,将是 s个谐
振叠加而成的复杂运动,
例 1 耦合摆 两相同的单摆,长为 a,摆锤的质量为 m,用倔强系数
为 k且其自然长度等于两摆悬点之间距离的无重弹簧相耦合,略去阻
尼作用,试求此体系的运动,
解,两个摆在同一平面内振动,取振动平面
为 xy平 面,并且令两个摆锤的坐标为 (x1,y1)
及 (x2,y2),则由于约束关系 (两摆的摆长一
定 ),四个坐标中只有两个是独立的, 选 x1及
x2作为两个广义坐标,而 x1及 x2等于零时
相当于耦合摆的平衡状态,
耦合摆的势能等于弹簧的弹性势能与摆
锤重力势能两者之和,即
? ? 2122121 m g ym g yxxkV ????
耦合摆的动能为
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又
故在平衡位置附近,V与 T简化为
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运用拉氏方程,得动力学方程
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这是二阶常系数线性齐次方程组,具有形式解
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此方程组有非零解的充要条件为
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由此得到 4个本征值如下,
这样得到通解
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如果令 则 ?1,?2将以单一的频率 ?1,
?2振动,因此 ?1,?2就是简正坐标,
? ? ? ?212211 21,21 xxxx ???? ??
例 2 线对称三原子分子的振动 设两个质量为 m的原子,对称地位
于质量为 M的原子两侧,三者皆处于一直线上,其间的相互作用可
近似地认为是准弹性的,即相当于用弹性系数为 k的两个相同弹簧
把它们联结起来, 如平衡时,M与每一 m间的距离均等于 b,求三者
沿联线振动时的简正频率,
解,由图知,若以水平轴 x上某处 O为原
点, 系统的势能为
? ? ? ? bxxkbxxkV 223212 22 ??????
而 ? ?
xMxxmT 222321 2121 ??? ???
令
b xqbxqxq 2,,332211 ?????
则
? ? ? ? qqkqqkV 223212 22 ???? ? ? qMqqmT 222321 2121 ??? ???
本问题是三个自由度,故 q1,q2,q3就是广义坐标,由拉氏方程得
?
?
?
?
?
???
????
???
0
02
0
323
3212
211
kqkq qm
kqkqkqqM
kqkqqm
??
??
??
设解的形式为
)s in ( ???? ?? tcq
带入动力学方程组,得
0)(0
0)2(
00)(
2
32
3
2
21
2
2
1
????
?????
????
?
?
?
mkckc
kcMkckc
kcmkc
有非零解的条件
0
0
2
0
2
2
2
?
??
???
??
?
?
?
mkk
kMkk
kmk
于是
?
?
??
?
? ????
M
m
m
k
m
k 21,,0
321 ???
弹簧耦合摆小振动
的简正模与简正频率
大 学 物 理
COLLEGE PHYSICS
1998年 8月 第 17卷 第 8期
科技期刊
将耦合摆弹簧作为弹性均匀杆，导出了对称简
正模与反对称简正模的本征方程，给出各角频
率值的近似式，并进行了讨论
作 业
5.16----------------------------5.19
